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江苏省名校2014届高三12月月考数学试题分类汇编15:应用题


江苏省名校 2014 届高三 12 月月考数学试题分类汇编 应用题
1、(江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考) 某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2000 件,要使销售的总收入不低于原收 入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明

年对该商品进行全面技术革新和营销策 略改革,并提高定价到 .x 元.公司拟投入 6 ( x ? 600) 万元作为技改费用,投入 50 万元作为固定宣
2

1

传费用,投入

1 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时, 5

才可能使明年的销售收入不低于原收入 与总投入 之和?并求出此时商品的每件定价. ... ... 解:(1)设每件定价为 x 元,依题意,有 (8 ?

x ? 25 ? 0.2) x ? 25 ? 8 , 1 2 整理得 x ? 65 x ? 1000 ? 0 ,解得 25 ? x ? 40 .

∴ 要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元.………7′ (2)依题意, x ? 25 时, 不等式 ax ? 25 ? 8 ? 50 ?

1 2 1 150 1 1 ( x ? 600) ? x 有解, 等价于 x ? 25 时, a ? ? x ? 有解, 6 5 x 6 5

150 1 150 1 ? x?2 ? x ? 10 ?当且仅当x ? 30时,等号成立? , x 6 x 6 ? a ? 10.2 . ∴ 当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与 总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元.……14′ 2、(江苏省南京市第一中学 2014 届高三 12 月月考) 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度 a 成正比,与它的厚度 d 的平方成正比, 与它的长度 l 的平方成反比. (Ⅰ)将此枕木翻转 90°(即宽度变为厚度),枕木的安全负荷会如何变化?为什么?(设翻转前后 枕木的安全负荷分别为 y1 , y 2 且翻转前后的比例系数相同都为 k )
(Ⅱ)现有一根横断面为半圆(已知半圆的半径为 R )的木材,用它来截取成长方体形的枕木,其长 度为 10,问截取枕木的厚度为 d 多少时,可使安全负荷 y 最大? 解:(Ⅰ)安全负荷 y1 ? k ?

ad 2 da2 (k 为正常数)翻转 90?后, y 2 ? k ? 2 ,?2 分 2 l l

y1 d ? , y2 a ? 当 0 ? d ? a 时, y1 ? y2 安全负荷变 l ?
大. ????4 分 当

0 ? a ? d时, y2 ? y1 , 安

全 负 d

d 荷变小;????6 分 当 a ? d 时, y1 ? y2 安全负荷不 a 变. ?????7 分

a

a (II)如图,设截取的宽为 a ,厚度为 d ,则 ( ) 2 ? d 2 ? R 2 ,即a 2 ? 4d 2 ? 4 R 2 . 2

k kad 2 k a2 2 (4 R 2 a ? a 3 ) ( x ? (0,2 R) k ? 0) ?9 分 y? ? a( R ? ) = ? 400 100 100 4 3k 4 2 3 y? ? ? (a 2 ? R 2 ) 令 y ? ? 0 得: a ? R 400 3 3 2 3 2 3 当 a ? (0, , R) 时 y ? ? 0, 函数 y 在 (0, R) 上为增函数; 3 3 2 3 2 3 当a?( R,2 R) 时 y ? ? 0, 函数 y 在 ( R,2 R) 上为减函数; 3 3 6 2 3 当 a? R 时,安全负荷 y 最大。????14 分,此时厚度 d ? R ????15 分 3 3 6 答:当问截取枕木的厚度为 R 时,可使安全负荷最大。?16 分 3 (说明: a 范围不写 (0,2 R) 扣 1 分)

[来

3、(江苏省诚贤中学 2014 届高三 12 月月考) 如图, 两座建筑物 AB, CD 的底部都在同一个水平面上, 且均与水平面垂直, 它们的高度分别是 9 cm 和 15 cm ,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? . (1) 求 BC 的长度; (2) 在 线 段 BC 上 取 一 点 P ( 点 P 与 点 B , C 不 重 合 ) , 从 点 P 看 这 两 座 建 筑 物 的 视 角 分 别 为 ?APB ? ? , ?DPC ? ? , 问点 P 在何处时, ? ? ? 最小?

D A
⑴作 AE ? CD ,垂足为 E ,则 CE ? 9 , DE ? 6 ,设 BC ? x , 则 tan ?CAD ? tan(?CAE + ?DAE) ?

tan ?CAE + tan ?DAE 1 ? tan ?CAE ? tan ?DAE

B

?
P

?
C
第 17 题图

9 6 + ? x x ? 1 ,化简得 x 2 ? 15 x ? 54 ? 0 ,解之得, x ? 18 9 6 1? ? x x
或 x ? ?3 (舍) 答: BC 的长度为 18m .???????????????6 分 ⑵设 BP ? t ,则 CP ? 18 ? t (0 ? t ? 18) ,

9 15 + 162 + 6t 6(27 + t ) t 18 ?t ? tan(? + ? ) ? ? 2 .?????????8 分 2 9 15 ?t + 18t ? 135 ?t + 18t ? 135 1? ? t 18 ? t
设 f (t ) ?

t 2 + 54t ? 27 ? 23 27 + t ? f ( t ) ? , , 令 f ?(t )? 0, 因 为 0 ? t ? 18 , 得 (t 2 ? 18t + 135) 2 ?t 2 + 18t ? 135

t ? 15 6 ? 27 , 当 t ? ( 0 , 1 5 ? 6
时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是增函数,

2时 7 ) , f ?(t )? 0, f (t ) 是 减 函 数 ; 当 t ? (1 5 6 ? 27,18)

所以,当 t ? 15 6 ? 27 时, f (t ) 取得最小值,即 tan(? + ? ) 取得最小值,???12 分 因为 ?t 2 + 18t ? 135 ? 0 恒成立,所以 f (t ) ? 0 ,所以 tan(? + ? ) ? 0 , ? + ? ? ( , ?) , 因为 y ? tan x 在 ( , ?) 上是增函数,所以当 t ? 15 6 ? 27 时, ? + ? 取得最小值. 答:当 BP 为 (15 6 ? 27)m 时, ? + ? 取得最小值. ???????????14 分 4、(江苏省东海县第二中学 2014 届高三第三次学情调研) 某小商品 2012 年的价格为 8 元/件,年销量为 a 件, 现经销商计划在 2013 年将该商品的价格降至 5.5 元/件到 7.5 元/件之间,经调查,顾客的期望价格为 4 元/件,经测算,该商品的价格下降后新增的 年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比,比例系数为 k ,该商品的成本价格为 3 元/件。 (1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益 y 与实际价格 x 的函数关系式。 (2)设 k ? 2a ,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商 2013 年的收益比 2012 年至少 增长 20%? 解 : ( 1 ) 设 该 商 品 价 格 下 降 后 为 x 元 / 件 , 销 量 增 加 到 (a ?

? 2

? 2

k ) 件,年收益 x?4

y ?( a?

k ) (x ? 3 ) , 5 ? .5 x ? x?4

7.5 ,?????????? 7分
2a )( x ? 3) ? (8 ? 3)a ? (1 ? 20%) 解之得 x?4

(2)当 k ? 2a 时,依题意有 (a ?

x ? 6或4 ? x ? 5 ,??????????12 分
又 5.5 ? x ? 7.5 所以 6 ? x ? 7.5 因此当实际价格最低定为 6 元/件时,仍然可以保证经销商 2013 年的收益比 2012 年至少增长 20%。??????????14 分 5、(江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考) 近年来,某企业每年消耗电费约 24 万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设 备接入本企业电网 , 安装这种供电设备的工本费 (单位 : 万元 )与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为 0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的 模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费 C (单位:万元)与安装的这种太阳能电

池板的面积 x (单位:平方米)之间的函数关系是

C ( x) ?

k ( x ? 0, k 20 x ? 100 为常数). 记 F 为该

村安装这种太阳能供电设备的费用与该村 15 年共将消耗的电费之和.

(1)试解释 C (0) 的实际意义, 并建立 F 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值是多少万元? 解: (1) C (0) 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用, 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费

k ? 24 ,得 k ? 2400 100 2400 1800 ? 0.5 x ? ? 0.5 x, x ? 0 ---------8 分 所以 F ? 15 ? 20 x ? 100 x?5 1800 ? 0.5( x ? 5) ? 0.25 ? 2 1800 ? 0.5 ? 0.25 ? 59.75 (2)因为 F ? x?5 1800 ? 0.5( x ? 5) ,即 x ? 55 时取等号 当且仅当 x?5 所以当 x 为 55 平方米时, F 取得最小值为 59.75 万元
由 C (0) ? (说明:第(2)题用导数求最值的,类似给分) -----------------------16 分 6、 (江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研)某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC, ∠C=90° , AB=2 百米,BC=1 百米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB、BC、CA 上取点 D,E,F,如图(1),使得 EF‖AB,EF⊥ED,在△DEF 喂食,求△DEF 面积 S△DEF 的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,如图(2),建造△DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△DEF 为正三角形,设求△DEF 边长的最小值.

答案:

7、(江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等 腰梯形,腰与底边成角为 60 (如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要 求面积为 9 3 平方米,且高度不低于 3 米.记防洪堤横断面的腰长为 x (米),外周长(梯形的 ... 上底线段 )为 y (米). ....BC 与两腰长的和 ...... ⑴求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; ⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? ⑶当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求 此时外周长的值.
?

B
x
60

C

A

D

解:⑴ 9 3 ?

1 x 3 ( AD ? BC ) h ,其中 AD ? BC ? 2 ? ? BC ? x , h ? x, 2 2 2
? 3 h? x? 3 ? ? 2 由? ,得 2 ? x ? 6 ? BC ? 18 ? x ? 0 ? x 2 ?

18 x 1 3 ∴ 9 3 ? (2 BC ? x) x ,得 BC ? ? , x 2 2 2
∴ y ? BC ? 2 x ? ⑵y? ⑶y?

18 3x ? , (2 ? x ? 6) ; --------------------6 分 x 2

18 3x ? ? 10.5 得 3 ? x ? 4 ∵ [3, 4] ? [2,6) ∴腰长 x 的范围是 [3, 4] ------10 分 x 2
18 3 x 18 3x 18 3x ,即 x ? 2 3 ? ? ?2 ? ? 6 3 ,当并且仅当 ? [2,6) 时等号成立.∴外周 x 2 x 2 x 2
------14 分

长的最小值为 6 3 米,此时腰长为 2 3 米。

8、(江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考) 某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为 4 元,并且每件商品需向总店交 a(1 ? a ? 3) 元的管理费, 预计当每件商品的售价为 x(7 ? x ? 9) 元时,一年的销售量为 (10 ? x) 2 万件. (I)求该连锁分店一年的利润 L (万元)与每件商品的售价 x 的函数关系式 L( x) ; (II)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值. 解: (Ⅰ)由题得该连锁分店一年的利润 L (万元)与售价 x 的 函数关系式为 L( x) ? ( x ? 4 ? a )(10 ? x) , x ? [7,9] . ……………………………3 分
2

(Ⅱ) L?( x) ? (10 ? x) ? 2( x ? 4 ? a )(10 ? x) ? (10 ? x)(18 ? 2a ? 3 x), …………………………………………6 分
2

令 L ( x) ? 0 ,得 x ? 6 ?
'

2 a 或 x ? 10 3

……………………………8 分

20 2 ? 6 ? a ? 8. 3 3 2 3 ①当 6 ? a ? 7 ,即 1 ? a ? 时, 3 2 ? ? x ? [7,9] 时, L ( x) ? 0 , L( x) 在 x ? [7,9] 上单调递减, 故 L( x) max ? L(7) ? 27 ? 9a ……………10 分 1 ? a ? 3,?

2 3 a ? 7 ,即 ? a ? 3 时, 3 2 2 2 ? x ? [7, 6 ? a ] 时, L' ( x) ? 0 ; x ? [6 ? a,9] 时, L?( x) ? 0 3 3 2 2 ? L( x) 在 x ? [7, 6 ? a ] 上单调递增;在 x ? [6 ? a,9] 上单调递减, 3 3 2 a 故 L( x) max ? L(6 ? a ) ? 4(2 ? )3 ……………14 分 3 3 3 答:当 1 ? a ? 每件商品的售价为 7 元时,该连锁分店一年的利润 L 最大,最大值为 27 ? 9a 万元; 2 3 2 a 当 ? a ? 3 每件商品的售价为 6 ? a 元时 , 该连锁分店一年的利润 L 最大 , 最大值为 4(2 ? )3 万 2 3 3
②当 6 ? 元. ……………16 分 9、(江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试) 如图, A, B 为相距 2km 的两个工厂,以 AB 的中点 O 为圆心,半径为 2km 画圆弧。 MN 为圆弧上 两点,且 MA ? AB, NB ? AB ,在圆弧 MN 上一点 P 处建一座学校。学校 P 受工厂 A 的噪音影 响度与 AP 的平方成反比,比例系数为 1,学校 P 受工厂 B 的噪音影响度与 BP 的平方成反比, 比例系数为 4 。学校 P 受两工厂的噪音影响度之和为 y ,且设 AP ? xkm 。 (1)求 y ? f ( x) ,并求其定义域; (2)当 AP 为多少时,总噪音影响度最小?
N P M

解:(Ⅰ)连接 OP,设 余弦定理得




B

在△AOP 中, 由

O

A

, 余弦定理得 ,????4 分

在△BOP 中, 由



,则

,?????.6 分



,则

,∴

,∴





。????????????8 分

(Ⅱ)令

,∴

,..10 分



,得

或 t=-10(舍去),当

,函数在

上单调递减;



,函数在

上单调递增;∴当

时,即

时,函数有最小值,

也即当 AP 为

(km)时,“总噪音影响度”最小.???14 分

10、(江苏省睢宁县菁华高级中学 2014 届高三 12 月学情调研) 如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于 A, B, C 三点处, AB ? AC , A 到线段 BC 的距离

AO ? 40 , ?ABO ? 2? (参考数据: tan 2? ? 2 3 ). 今计划建一个生活垃圾中转站 P ,为方便 7 3 7
运输, P 准备建在线段 AO (不含端点)上. (1) 设 PO ? x(0 ? x ? 40) ,试将 P 到三个小区距离的最远者 S 表示为 x 的函数,并求 S 的最小 值; (2) 设 ?PBO ? ? (0 ? ?

?

2? ,试将 P 到三个小区的距离之和 表示为 ? 的函数,并确定当 y ) 7

? 取何值时,可使 y 最小?

y ? 2?

20 3 2 ? sin ? ??????????????11 分 ? 40 ? 20 3 tan ? ? 40 ? 20 3 ? cos ? cos ?

因为 y? ? 20 3 ?

? 2sin ? ? 1 1 ,令 y? ? 0 ,即 sin ? ? ,从而 ? ? , 2 6 cos ? 2

当0 ??

?

?
6

时 , y ? ? 0 ;当

?
6

?? ?

2? 7

时, y? ? 0 .

11、(江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考) 如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC,其中 OAE 是一个游泳池,计 划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直路 l (宽度不计) , 切点为 M, 并把该地块分为两部分. 现 以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,若池边 AE 满足函数

2 4 y ? ? x2 ? 2(0 ? x ? 2 的图象,且点 M 到边 OA 距离为 t ( ? t ? ) . 3 3 2 (1)当 t ? 时,求直路 l 所在的直线方程; 3 (2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?

解:(1) M ( ,

2 14 ), l : 12 x ? 9 y ? 22 ? 0 3 9

(2) M (t ,?t 2 ? 2) ,过切点 M 的切线 l : y ? (?t 2 ? 2) ? ?2t ( x ? t )

t t ,故切线 l 与 AB 交于点 ( ,2) ; 2 2 t 1 t 1 2 4 令 y?0 , 得 x? ? , 又 x? ? 在 [ , ] 递 减 , 所 以 2 t 2 t 3 3 t 1 17 11 x ? ? ?[ , ] 2 t 12 6 t 1 故切线 l 与 OC 交于点 ( ? ,0) 。 2 t l 地块 OABC 在切线 右上部分区域为直角梯形, ? 1 t 1 t 1 1 面积 S ? (2 ? ? ? 2 ? ) ? 2 ? 4 ? t ? ? 4 ? (t ? ) ? 2 , 2 2 t 2 t t
即 y ? ?2tx ? t 2 ? 2 ,令 y ? 2 得 x ? 等号 t ? 1 , S max ? 2 。


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