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广东省深圳市第二高级中学2014届高三上学期第一次月考数学(文)试卷


深圳市第二高级中学 2014 届高三第一次月考 文科数学试卷
本试卷共 4 页,满分为 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓 名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,

用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的, 答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?1, 2? , B ? ?2,3? ,则 A ? ? B ? U A. ?4,5? 2. 设 i 为虚数单位,则复数 A. ?4 ? 3i B. ?2,3? C. ?1? D. ?2? 2013 年 8 月

?

?

3 + 4i ? i
B. ?4 ? 3i C. 4 ? 3i D. 4 ? 3i

3. 函数 f ( x) ? x 2 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 A. y ? 4 x ? 4 B. y ? 4 x ? 4 C. y ? 4 x ? 2 D. y ? 4

4. 已知 F1 、 F2 分别为椭圆 C 的两个焦点,点 B 为其短轴的一个端点,若 ?BF1 F2 为等边三角形, 则该椭圆的离心率为 A.

3 2

B. 1 2

C. 2

D. 3

5.一个几何体的三视图中主视图和左视图是边长为 2 的等边三角形,俯视图为圆,则该几何体的体积
·1·

是 A. 3? B.

4 3 ? 3

C. 4 3?

D.

3 ? 3

6. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意 x1 , x2 ? [0,+∞),且 x1 ? x2 都有 则 A. f (3) ? f (?2) ? f (1) C. f (?2) ? f (1) ? f (3) B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0, x1 ? x2

7.已知 f ( x) ? log 2 x ,函数 y ? g (x) 是它的反函数,则函数 y ? g (1 ? x) 的大致图象是

8. 有下列四个命题: ①对于 ?x ? R ,函数 f ( x) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,则函数 f ( x) 的最小正周期为 2; ②所有指数函数的图象都经过点 (0,1) ; ③若实数 a、b 满足 a ? b ? 1 ,则

1 4 ? 的最小值为 9; a b

b ④已知两个非零向量 a , b ,则“ a ? b ”是“ a ? =0 ”的充要条件.
其中真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3

? ?

?

?

? ?

?x ? y ? 2 ? 0 ? y 9. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 7 ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? 1 ?
A. 6 B. 3 C.

9 5
2

D.1

10.已知定义域在 (?1,1) 上的奇函数 f ( x) 是减函数,且 f (a ? 3) ? f (9 ? a ) ? 0 ,则 a 的取值范围是
·2·

A.(2 2 ,3)

B.(3, 10 )

C.(2 2 ,4)

D.(-2,3)

二、填空题(本大题共 5 小题,其中 14-15 为选做题,考生选做其中一道,每小题 5 分,共 20 分.) 11. 函数 y ?

x ?1 的定义域为 ln x
2

. .

12.函数 f ( x) ? log 1 ( ? x 2 ? 2 x ? 3) 的单调递增区间是 13. 已知函数 y ? f (x) ( x ? R ) 满足 f ( x ? 1) ? ?

1 2 ,且 x ? [ ? 1, 1 ] 时, f ( x) ? x ,则 y ? f (x) f ( x)

与 g ( x) ? lg x 的图象的交点个数为____________. 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 P(2, 为 .

3? ) 到直线 l : 3? cos ? ? 4? sin ? ? 3 的距离 2

D
15.(几何证明选讲选做题)如图, AB 是⊙ O 的直 径,点 C 在 AB 的延长线上, CD 与⊙ O 相切于点 D . 若 ?C ? 18? ,则 ?CDA =_____________. 15

B
C

O

?

A

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos( x ? ) . (1)求函数 f ? x ? 在区间 ? ? (2)若 f (? ) ?

π 4

? π π? , 上的最大值和最小值; ? 12 2 ? ?

3 π 3π ,其中 ? ? ? , 求 sin ? 的值. 5 4 4

17. (本小题满分 12 分)
·3·

在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c ,且满足 c ? 2b cos A. (1)求证: A ? B ; (2)若 ?ABC 的面积 S ?

15 4 , cos C ? , 求c 的值. 2 5

18.(本小题满分 14 分) 某年某省有 23 万多文科考生参加高考,除去成绩为 670 分 (含 670 分) 以上的 6 人与成绩为 350 分(不含 350 分)以下的 38390 人,还有约 19 .4 万文科考生的成绩集中在 [350 , 670 ) 内,其成绩的频 率分布如下表所示: 分数段 频率 分数段 频率

[350 , 390 )
0.108

[390 , 430 )
0.133

[430 , 470 )
0.161

[470 , 510 )
0.183

[510 , 550 )
0.193

[550 , 590 )
0.154

[590 , 630 )
0.061

[630 , 670 )
0.007

(1)请估计该次高考成绩在 [350 , 670 ) 内文科考生的平均分(精确到 0.1 ) ; (2)考生 A 填报志愿后,得知另外有 4 名同分数考生也填报了该志愿.若该志愿计划录取 2 人,并在 同分数考生中随机录取,求考生 A 被该志愿录取的概率. ( 参 考 数 据 : 610 × 0.061+570 × 0.154+530 × 0.193+490 × 0.183+450 × 0.161+410 × 0.133=443.93)

19. (本小题满分 14 分) (1)已知命题 p : 2 x ? 3 x ? 1 ? 0 和命题 q : x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ,若 ?p 是 ?q 的必要不充
2
2

分条件,求实数 a 的取值范围. (2)已知命题 s : 方程 x ? (m ? 3) x ? m ? 0 的一根在 (0,1) 内,另一根在 (2,3) 内.
2

命题 t : 函数 f ( x) ? ln(mx ? 2 x ? 1) 的定义域为全体实数.
2

若s?

t 为真命题,求实数 m 的取值范围.

·4·

20. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 y ? f ( x) 的图象经过坐标原点, 其导函数为 f ?( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和 为 S n ,点 (n, Sn )(n ? N? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上. (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)求数列 {an } 的通项公式;

(3) bn ? 设

3 m , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N? 都成立的最小正整数 m . an an ?1 20

21. (本题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ln x ?

a ( a ?R ). x

(1)当 a ? 0 时,判断 f ( x) 在定义域上的单调性; (2)若 f ( x) 在 ?1, e ? 上的最小值为
2

3 ,求 a 的值; 2

(3)若 f ( x) ? x 在 (1, ??) 上恒成立,试求 a 的取值范围.

·5·

深圳市第二高级中学 2014 届高三 8 月份月考 文科数学
二、选择题 题号 答案 二、填空题 11. (0,1) ? (1 ? ?) ; , 14.1; 三、解答题 16. 解: (1)? x ? ? ? 15. 126 ? 12. (?1,1) ( ?1 可以取等号, 1 不可以) ; 13. 9; 1 C 2 D 3 A 4 B 5 D 6 B 7 D 8 C 9 A 10 A

参考答案

2013.8.29

? π π? , ? 12 2 ? ?

??????????????????1 分

?x ?
当x? 当x?

?

? π π? ? ? ? , ? ????????????????????????2 分 4 ? 3 4?

?
?
4

??

?
3

时取得最小值

1 ;????????????4 分 2
???????????????????6 分 ????????????7 分

4

? 0 时取得最大值 1 .
π 4

(2)? f (? ) ? cos(? ? ) ?

3 π π ,且 0 ? ? ? ? , 5 4 2

π? 4 ? ??????????????8 分 ? sin ? ? ? ? ? . 4? 5 ? ?? ?? ?? ??????????????9 分 ? sin ? ? sin ?? ? ? ? ? ? 4 ? 4? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? sin ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? sin 4? 4 4? 4 ???????????11 分 ? ? 7 ? 2 ????????????12 分 10 17. 解: (1)由 c ? 2b cos A ,根据正弦定理,得: sin C ? 2sin B cos A. ????2 分
又在△ABC 中 , A ? B ? C ? ? ,则 sin C ? sin( A ? B) ,所以 sin( A ? B) ? 2sin B cos A.
·6·

即 sin A cos B ? cos A sin B ? 2sin B cos A. 所以 sin A cos B ? cos A sin B ? 0 ,即 sin( A ? B) ? 0 又 A、B 为三角形内角,所以 A ? B 。 (2)由(1)得 A ? B ,所以 a ? b 角 C 为三角形内角且 cos C ?

????????4 分

????????????5 分

????????????6 分

4 3 ,所以 sin C ? 1 ? cos 2 C ? ?????8 分 5 5 15 1 1 2 3 15 又S ? ,即: S ? ab sin C ? a ? ? 2 2 2 5 2
解得: a ? 5 ????????????10 分
2 2 2

由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cos C ? 10 所以 c ? 10 ????????????12 分 18. 解: (1)由所给的数据估计该年广东省文科考生成绩在 [350 , 670 ) 内的平均分为

650 ? 0.007 ? 610 ? 0.061 ? 570 ? 0.154 ? 530 ? 0.193 ? 490 ? 0.183 ? 450 ? 0.161 ? 410 ? 0.133 ? 370 ? 0.108 ? 488.44 ? 488.4 ??????????6 分
(列式 3 分,计算 2 分,近似值 1 分.列式无计算而写 ? 488 .4 扣 1 分;列式无计算而写 ? 488 .4 扣 2 分) ( 2 ) 设 另 外 4 名 考 生 分 别 为 b 、 c 、 d 、 e , 则 基 本 事 件 有 :

( A, b), ( A, c), ( A, d ), ( A, e), (b, c), (b, d ), (b, e), (c, d ), (c, e), (d , e) ????????10 分
共 10 种 考生 A 被录取的事件有 ( A, b), ( A, c), ( A, d ), ( A, e) ,共 4 种 所以考生 A 被录取的概率是 P ? ???????11 分 ???????13 分

4 ? 0.4 10

?????????????14 分

19. 解: (1)对于命题 p : 2 x ? 3 x ? 1 ? 0 ,解得:
2
2

1 ? x ? 1 ????????1 分 2

? ) 0 对于命题 q : x ? ( 2a? 1 )x? a (a 1 ? ,解得: a ? x ? a ? ???????3 分 1
由 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,所以 ?q ? ?p 且 ?p ? ?q . ? 于是所以 p ? q 且 q ? p . ? ???????????5 分

·7·

1 1 ? ? 1 ?a ? ?a ? 所以 ? 2 .解得 ? 2 ,即: 0 ? a ? 2 ?a ? 1 ? 1 ?a ? 0 ? ?
所以实数 a 的取值范围是 0 ? a ?
2

1 .???????????7 分 2

(2)对于命题命题 s : 方程 x ? (m ? 3) x ? m ? 0 的一根在 (0,1) 内,另一根在 (2,3) 内,

? g (0) ? 0 ?m ? 0 ? g (1) ? 0 ?1 ? m ? 3 ? m ? 0 ? ? 2 设 g ( x) ? x ? (m ? 3) x ? m ,则:? ,即:? ? g (2) ? 0 ? 4 ? 2m ? 6 ? m ? 0 ? g (3) ? 0 ?9 ? 3m ? 9 ? m ? 0 ? ?
9分 解得: 0 ? m ?

???????

2 3

???????10 分
2

对于命题命题 t : 函数 f ( x) ? ln(mx ? 2 x ? 1) 的定义域为全体实数, 则有: ?

?m ? 0 ? ? ? 4 ? 4m ? 0

???????12 分

解得: m ? 1 又s?

???????13 分

t 为真命题,即 s 为真命题或 t 为真命题。
2 或 m ? 1. 3
???????14 分

所以所求实数 m 的取值范围为 0 ? m ?

20. 解: (1)设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ,则 f ?( x) ? 2ax ? b . ???????1 分 由于 f ?( x) ? 6 x ? 2 ,得: a ? 3, b ? ?2 所以 f ( x) ? 3x ? 2 x .
2
?

??????????2 分

??????????3 分

(2)由点 (n, Sn )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,又 f ( x) ? 3x ? 2 x ,
2

所以 Sn ? 3n ? 2n .
2

??????????4 分

·8·

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (3n ? 2n) ? [3(n ? 1) ? 2(n ? 1)] ? 6n ? 5 ;???6 分
2 2

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ?1 ? 2 ? 5 .
2

??????????7 分

所以, an ? 6n ? 5 (n ? N )

?

??????????8 分

(3)由(2)得知 bn ?

3 3 3 ? = ?????9 分 a n a n ?1 (6n ? 5) ? 6(n ? 1) ? 5? (6n ? 5)(6n ? 1)



1 1 1 ( ? ) , ????????11 分 2 6n ? 5 6n ? 1
1 2
1 1 1 1 1 ? ? ?(1 ? 7 ) ? ( 7 ? 13 ) ? ... ? ( 6n ? 5 ? 6n ? 1)? ? ?
????????12 分

故 Tn ? b1 ? b2 ? … ? bn =



1 1 (1 ? ). 2 6n ? 1

要使 Tn ? 分

1 1 1 1 m 1 m ( n ? N ? )成立,需要满足 ≤ ,???13 (1 ? )? ? ? 2 6n ? 1 2 2(6n ? 1) 20 2 20

即 m ? 10 ,所以满足要求的最小正整数 m 为 10. ????????14 分 21.解:(1)由题意得 x ? 0 ,且 f ?( x) ?

1 a ? ????????????1 分 x x2

显然, a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立, f ( x) 在定义域上单调递增; 当 ??????????? 3分 (2)当 a ? 0 时由(1)得 f ( x ) 在定义域上单调递增,所以 f ( x) 在 ?1, e ? 上的最小值为 f (1) , 即 f (1) ?

3 3 3 ;???????5 分 ? ?a ? ? a ? ? (与 a ? 0 矛盾,舍) 2 2 2

当 a ? 0 , f ( x) ? ln x 显然在 ?1, e ? 上单调递增,最小值为 0,不合题意;???????6 分 当 a ? 0 , f ?( x) ?

1 a x?a ? ? 2 , x x2 x

·9·

当x ? (0, ? a ), f ?( x) ? 0, f ( x)单调递减, 当x ? ? a, f ?( x ) ? 0, 当x ? ( ? a, ??), f ?( x) ? 0, f ( x)单调递增.
若 ?a ? 1, f ( x)min ? f (1) ? ?a ?

3 3 ; ? a ? ? (舍) 2 2
1 3 ; ? a ? ?e 2 (满足题意) 2

若 1 ? ?a ? e, f ( x) min ? f (?a) ? 1 ? ln(?a) ?

?a ? e, f ( x)min ? f (e) ? 1 ?
1 2

a 3 e ;???????9 分 ? ? a ? ? (舍) e 2 2

综上所述 a ? ? e .???????????????10 分
2 (3)若 f ( x) ? x 在 (1, ??) 上恒成立,即在 (1, ??) 上 x ?
2

a ? ln x ? 0 恒成立,(分离参数求解) x

等价于 a ? x ln x ? x 在 (1, ??) 恒成立,
3

令 g ( x) ? x ln x ? x , ( x ? 1) .
3 2

则 g ?( x) ? 1 ? ln x ? 3x , ( x ? 1) ;???????11 分
2

令 h( x) ? g ?( x) ? 1 ? ln x ? 3x , ( x ? 1) ,则 h?( x) ?

1 1 ? 6x2 ? 6x ? x x

显然当 x ? 1 时 h?( x) ? 0 , h( x ) 在 (1, ??) 上单调递减, h( x)max ? h(1) ? ?2 ? 0 , 即 g ?( x) ? 0 恒成立,说明 g ( x) 在 (1, ??) 单调递减, g ( x)max ? g (1) ? ?1 ;???13 分 所以 a ? ?1 . ???????????14 分

·10·


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