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必修一同步1.2.2第2课时分段函数与映射


成才之路 ·数学
人教A版 ·必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章
集合与函数的概念

第一章
1.2 1.2.2 函数及其表示 函数的表示法

第二课时 分段函数与映射

1

优 效 预 习

/>3

当 堂 检 测

2

高 效 课 堂

4

课 时 作 业

优效预习

●知识衔接
描点 、_______ 连线 成图. 列表 、_______ 1.函数图象的作法:_______
? ?a ?a≥0? 2.实数的绝对值|a|=? ? -a (a<0) ?_____________

.

5 3.当-2<x<3时,|x+2|+|x-3|=________.

4.已知g(x+2)=2x+3,则g(3)等于(
A.2 C.4 [答案] D B.3 D.5

)

5 .如果二次函数的图象开口向上且关于直线 x = 1 对称,

且过点(0,0),则此二次函数的解析式为(
A.f(x)=x2-1 C.f(x)=(x-1)2+1 [答案] D

)

B.f(x)=-(x-1)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1

●自主预习 1.分段函数 所 谓 分 段函 数 , 是指 在 定 义域 的 不 同部 分 , 有不 同 的 对应关系 的函数. __________ [ 名师点拨 ] 值域的并集. 分段函数是一个函数,不要把它误认为是几 个函数.分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段

2.映射
(1) 定义:一般地,设 A , B 是两个非空的集合,如果按某 任意一个 元素x,在 一个确定的对应关系f,使对于集合A中的_________ 唯一确定 的元素 y 与之对应,那么就称对应 f : 集合 B 中都有 _________ A B 的一个映射. A→B为从集合________ 到集合________

[归纳总结] 满足下列条件的对应f:A→B为映射:
(1)A,B为非空集合; (2)有对应法则f; (3) 集合 A 中的每一个元素在集合 B 中均有唯一元素与之对 应.

(2)映射与函数的关系:函数是特殊的映射,即当两个集合 非空数集 时,从 A 到 B 的映射就是函数,所以函数 A , B 均为 __________ 一定是映射,而映射不一定是函数,映射是函数的推广.

[ 归纳总结 ]

函数新概念,记准三要素;定义域值域,关

系式相连;函数表示法,记住也不难;图象和列表,解析最常 见;函数变映射,只是数集变;不再是数集,任何集不限.

●预习自测 1.下列对应不是映射的是( )

[答案] D [ 解析 ] 结合映射的定义可知 A , B , C 均满足 M 中任意一 个数x ,在 N中有唯一确定的 y 与之对应,而 D 中元素 1 在 N 中有

a,b两个元素与之对应,故不是映射.

2.函数y=|x|的图象是(

)

[答案] B
[ 解析] 因为

? ?x,x≥0, y=|x|=? ? ?-x,x<0,

所以 B 选项正确.

2 ? x ? ,x>0, 3.函数y=? ? ?-2,x<0

的定义域为________.

[答案] (-∞,0)∪(0,+∞) [ 解析 ] 每段函数自变量的取值范围的并集是分段函数的

定义域,即(-∞,0)∪(0,+∞).

?2x-3,x>0, ? 4.已知函数f(x)=?3,x=0, ?2x+3,x<0, ?

1 求f(f(2))的值.

[答案] -1
[ 解析] 1, 1 ∴f(f(2))=f(-2)=-1. 1 1 f( 2 )= 2 ×2-3=-2,f(-2)=2×(-2)+3=-

高效课堂

●互动探究
分段函数及其应用
(2015· 山东潍坊一中高一月考试题)已知函数f(x) ?x+1,x≤-2, ? 2 =?x +2x,-2<x<2, ?2x-1,x≥2. ? 5 (1)求f(-5),f(- 3),f(f(-2))的值; (2)若f(a)=3,求实数a的值; (3)若f(m)>3m-5(m≥2),求实数m的取值范围.

探究1.形如f(f(x))的求值问题,应如何解决?
探究2.在已知分段函数值的情况下,如何确定其对应的自 变量的值?
[ 解析] 5 (1)由-5∈(-∞,-2],- 3 ∈(-2,2),- 2 ∈

(-∞,-2],知f(-5)=-5+1=-4, f(- 3)=(- 3)2+2(- 3)=3-2 3. 5 5 3 3 ∵f(-2)=-2+1=-2,而-2<-2<2, 5 3 32 3 9 3 ∴f(f(-2))=f(-2)=(-2) +2×(-2)=4-3=-4.

(2) 当 a≤ - 2 时, a + 1 = 3 ,即 a = 2> - 2 ,不合题意,舍
去.当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0. 所以(a-1)(a+3)=0,得a=1,或a=-3. ∵1∈(-2,2),-3?(-2,2),∴a=1符合题意. 当a≥2时,2a-1=3,即a=2符合题意.

综上可得,当f(a)=3时,a=1,或a=2.
(3)∵m≥2,∴f(m)=2m-1, 即2m-1>3m-5, 解得m<4, 又m≥2,∴m的取值范围为[2,4).

[ 规律总结]

分段函数的应用

? ?f1?x?,x∈I1, 设分段函数f(x)=? ? ?f2?x?,x∈I2.

(1)已知x0,求f(x0); ①判断x0的范围,即看x0∈I1,还是x0∈I2; ②代入相应解析式求解.

(2)已知 f(x0)=a,求 x0: ①当 x0∈I1 时,由 f1(x0)=a,求 x0; ②验证 x0 是否属于 I1,若是则留下,反之则舍去; ③当 x0∈I2 时,由 f2(x0)=a,求 x0,判断是否属于 I2,方法 同上; ④写出结论. (3)解不等式 f(x)>a:
? ?x∈I1, f(x)>a?? ? ?f1?x?>a, ? ?x∈I2, 或? ? ?f2?x?>a.

? ?1+1,x>1, x ? 已知函数 f(x)=?x2+1,-1≤x≤1, ? ? ?2x+3,x<-1. 1 (1)求 f(1- ),f(f(f(-2)))的值; 2-1 (2)求 f(3x-1); 3 (3)若 f(a)=2,求 a.

[ 解析]

1 (1)因为 1- =1-( 2+1)=- 2<-1, 2-1

1 所以 f(1- )=f(- 2)=-2 2+3. 2-1 因为 f(-2)=-1,f(f(-2))=f(-1)=2, 1 3 所以 f(f(f(-2)))=f(2)=1+2=2.

2 (2)当 3x-1>1,即 x>3时,f(3x-1)=1+ 2 当-1≤2x-1≤1,即 0≤x≤3时, f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2; 当 3x-1<-1,即 x<0 时, f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1. 2 ? 3x ?3x-1,x>3, ? 2 综上,f(3x-1)=? 2 ?9x -6x+2,0≤x≤3, ? ?6x+1,x<0.

1 3x = ; 3x-1 3x-1

1 3 (3)当a>1时,f(a)=1+a=2,所以a=2>1; 3 当-1≤a≤1时,f(a)=a +1=2,
2

2 所以a=± 2 ∈[ -1,1] ; 3 当a<-1时,f(a)=2a+3=2, 3 所以a=-4>-1(舍去). 2 综上,a=2或a=± 2 .

映射的概念
判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射: (1)A=N*,B=N*,对应关系f:x→|x-3|; (2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系f; 作圆的内接矩形; (3)A={高一(1)班的男生},B=R,对应关系f:每个男生 对应自己的身高; (4)A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤6},对应关系f:x→y= 1 2x.

探究1.从集合A到B的映射中元素是怎样对应的?
探究2.怎样判断一个对应是映射? [ 解析] (1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对
值为0,而0?B,故不是映射. (2)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个元 素在集合B中有无数个元素与之对应,故不是映射. (3)对A中任何一个元素,按照对应关系f,在B中都有唯一 的元素与之对应,符合映射定义,是映射. 1 (4)因为A中每一个元素在f:x→y= 2 x作用下对应的元素构 成的集合C={y|0≤y≤1}?B,符合映射定义,是映射.

已知A={1,2,3,…,9},B=R,从集合A到集合B的映射 x f:x→ . 2x+1 (1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么? 4 (2)与B中元素9相对应的A中的元素是什么?

[ 解析]

x (1)A中元素1,即x=1,代入对应关系,得 2x+1

1 1 1 = = ,即与A中元素1相对应的B中的元素是3. 2×1+1 3 4 4 4 x (2)B中元素 9 ,即 = 9 ,解得x=4,因此与B中元素 9 2x+1 相对应的A中的元素是4.

●探索延拓 分段函数的实际应用 如图,在边长为4的正方形ABCD的边上有一点

P ,沿折线 BCDA 由点 B( 起点 ) 向点 A( 终点 ) 运动,设点 P 运动的
路程为x,△APB的面积为y. (1)求y关于x的函数关系式y=f(x); (2)画出y=f(x)的图象; (3)若△APB的面积不小于2,求x的取值范围. 探究1.点P位置不同△ABP的形状一样吗? 探究2.注意该函数的定义域.

[ 解析]

?0≤x≤4? ?2x ? (1)y=?8 ?4<x≤8? ?2?12-x? ?8<x≤12? ?

.

(2)y=f(x)的图象如图所示. (3)即f(x)≥2,当0≤x≤4时,2x≥2,∴x≥1, 当8<x≤12时,2(12-x)≥2, ∴x≤11,∴x的取值范围是1≤x≤11.

[ 点评 ]

(3) 可以作直线 y = 2 与函数 y = f(x) 的图象交于点

A(1,2),B(11,2),要使y≥2,应有1≤x≤11.

[规律总结] 利用分段函数求解实际应用题的策略
(1)首要条件:把文字语言转换为数学语言. (2)解题关键:建立恰当的分段函数模型. (3)思想方法:解题过程中运用分类讨论的思想方法.

某市出租车的计价标准是:4 km以内10元,超过4 km且不 超过18 km的部分1.2元/km,超过18 km的部分1.8元/km. (1)如果不计等待时间的费用,建立车费与行车里程的函数

关系式;
(2)如果某人乘车行驶了20 km,他要付多少车费?

[ 解析]

(1)设车费为 y 元,行车里程为 x km.

?10,0<x≤4, ? 则根据题意得 y=?1.2x+5.2,4<x≤18, ?1.8x-5.6,x>18. ? (2)当 x=20 时,y=1.8×20-5.6=30.4, 即当乘车 20 km 时,要付车费 30.4 元.

●误区警示 易错点 映射概念的理解错误

设集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},
其中a,k∈N,映射f:A→B使B中的元素y=3x+1与A中的元素 x对应,求a及k的值.

[ 错解]

∵B 中的元素 y=3x+1 与 A 中元素 x 对应,∴A

中元素 1,2 分别对应 B 中的元素 4,7.
4 ? a ? =3×3+1=10, ∴? 2 ? ?a +3a=3k+1.

∵a,k∈N,∴a 不存在,∴k 不存

在.

[ 错因分析 ]
[思路分析]

以上解法的错误之处在于误解了映射的定
对于A映射f:A→B,A中的元素x的象可能是B

义.a4=10或a2+3a=10都有可能,因而要分类讨论. 中的任意一个元素,故在解此类题时要将问题考虑全面.

[ 正解]

∵B 中的元素 y=3x+1 与 A 中的元素 x 对应,∴
4 ? a ? =10, 4,7,10.∴? 2 ? 3 k + 1 = a +3a ?

A 中的元素 1,2,3, 对应 B 中的元素
2 ? a ? +3a=10. ? 4 ? 3 k + 1 = a . ?



? ?a=2, ∵a,k∈N,∴? ? ?k=5.

这就是所求 a,k 的值.

a,b 为实数,集合

?b ? M=?a,1?,N={a,0},f:x→2x ? ?

表示

把集合 M 中的元素 x,映射到集合 N 中为 2x,求 a+b 的值.

[ 解析]

由题意知,集合 M 中的元素 1 只能对应集合 N 中

b 的 a,故 a=2,故 N={2,0},而 M 中的a可能对应集合 N 中的 b b 2 或 0,当a对应 2 时,则a=1,即 b=2,此时 M 中有两个相 b b 同元素,不合适,故 b=2 应舍去,当a对应 0 时,则a=0,即 b=0.此时 M={0,1},符合题意,综上可知 a=2,b=0,即 a +b=2.

当堂检测

1.在如图的对应关系中,哪些对应不是集合A到集合B的 映射( )

A.①、② C.②、⑤ [答案] D

B.①、④ D.①、②、③

[解析]

由图知①②中元素a1在B中对应元素不唯一,③中

元素a2在B中无象,都不是映射,④⑤是映射,故选D.

2.在下列的四个图象中,是函数f(x)= ( )

x |x|

的图象的是

[ 答案]

C

?x+2,?x≤-1? ? 2 3.函数f(x)= ?x ,?-1<x<2? ?2x?x≥2? ? ( ) A.1 3 C.2 [ 答案]

,若f(x)=3,则x的值为

B.1或 3 D. 3
D

4.设f:x→ax-1为从集合A到B的映射,若f(2)=3,则f(3) =________. [答案] 5 [解析] f(2)=2a-1=3, ∴a=2,∴f(x)=2x-1, ∴f(3)=5.

5.判断下列对应是否构成映射.
(1)A={1,2,3},B={7,8,9},f(1)=f(2)=7,f(3)=8; (2)A = Z , B = { - 1,1} , n 为奇数时, f(n) =- 1 , n 为偶数 时,f(n)=1; (3)A=B={1,2,3},f(x)=2x-1; (4)A=B={x|x≥-1},f(x)=2x+1. [分析] 判断一个对应f是否为从A到B的映射,主要从映射 的定义入手,看集合A中的任意一个元素,在对应关系f下在集

合B中是否有唯一的对应元素.

[解析]

对于(1),集合A中的元素在集合B中都有唯一的对

应元素,因而能构成映射;对于(2),集合A中的任一元素x在对 应关系f下在B中都有唯一元素与之对应,因而能构成映射;对 于(3),由于当x=3时,f(3)=2×3-1=5,在集合B中无对应元 素,因而不满足映射的定义,从而不能构成映射;对于(4),满

足映射的定义,能构成映射.
[ 规律总结 ] 要判断两个集合能否构成映射,一般从映射 的定义入手.若满足映射定义就能构成映射;若不满足映射定 义,只要举一反例,即说明集合A中的某一元素在B中无对应元 素即可.


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