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不等关系与不等式的性质-基本不等式


1.了解现实世界与日常生活中的不 等关系,了解不等式(组)的实际背景. 2.掌握并能运用不等式的性质,掌 握比较两个实数大小的一般步骤. 3.掌握基本不等式,会用基本不等 式解决简单的最大(小)值问题.

1. 比较两数的大小

a?b ? 0; ?1? 差值比较法:a ? b ? ① __________ a?b a ? b ?

② ________ ? 0;a ? b ? ③ _______ a ? b ? 0.
a ?④ b a a 1 ______ ,a ? b ? ? ⑤ __________ , a ? b ? ? 1 b b ⑥ _________ _. 1

? 2 ? 商值比较法:若a ? 0,b ? 0,则a ? b ?

2.不等式的性质

(对称性或反身性) a ? b ? ⑦ __________ ; ?1? 定理1: a?c (传递性) a ? b,b ? c ? ⑧ _________ ; ? 2 ? 定理2: b?c , (可加性) a ? b ? a ? c ? ⑨ __________ ? 3? 定理3: 此法则又称为移项法则.

b?a

b?d 推论: (同向可相加)a ? b,c ? d ? a ? c ? ⑩ __________ .
bc a ? b,c ? 0 ? ac ? ?__________ .
ac?________ bd .

bc (可乘性) a ? b,c ? 0 ? ac ? ?__________ ; ? 4 ? 定理4:
推论1: (正数同向可相乘) a ? b ? 0,c ? d ? 0 ?

?

推论2: (乘方法则)a ? b ? 0(n ? N * ) ? a n ?________ b n . (开方法则)a ? b ? 0(n ? N,n ? 2) ? n a? ? 5? 定理5: ________ n b .

?

?

1 1 推论: (倒数法则)a ? b,ab ? 0 ? ? ?__________ . b a

3.基本(均值)不等式

2ab , ?1? 如果a,b为实数,,那么a 2 ? b2 ? ?__________
2 ab 注意也可写成a 2 ? b 2 ? ?__________ .
a?b ? ? 2 ? 基本(均值)不等式:如果a,b ? R?,那么 2 ab ?__________( 当且仅当a ? b取“=” ). 注:基本(均值)不等式可以用来求最值(积定和小, 和定积大),特别要注意条件需满足:
一“正 ”、二“定”、三 ?____ __________ _ .“相等”

a b 2 推广1: ? ? __________ ? ab ? 0 ? (当且仅当a ? b b a 时取“ ?”); a?b 2 2 a ?b 推广2:a,b ? R?, ? __________ ? 2 2 2 ab __________ ? (当且仅当仅当a ? b时取? ? 1 1 ? a b 即平方平均数 ? 算术平均数 ? 几何平均数 ? 调和平均数. a 2 ? b2 a?b 2 注意关于ab的两种变形ab ? ,ab ? ( ) . 2 2

1.已知 a,b,c 满足 c<b<a,且 ac<0,则下列结论一定 成立的是( A.ab>bc C.cb2<ab2 ) B.c(b-a)<0 D.ac(c-a)>0

【解析】由 c<b<a,且 ac<0,可知 a>0,c<0,b∈(c,a), 可知 D 选项一定成立.

2.下列命题中,为真命题的是( A.a,b∈R,且 a>b,则 ac2>bc2 a b B.a,b∈R,且 ab≠0,则b+a≥2

)

C.a,b∈R,且 a>|b|,则 an>bn(n∈N*) a b D.若 a>b,c>d,则c>d

【解析】当 c=0 时,A 不正确;ab<0 时,B 不正确; 取 a=3,b=c=2,d=1,D 不正确;由不等式的性质知 C 为真命题.

3.(2011· 浙江卷)若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是 1 1 “a<b或 b>a”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

1 【解析】 当 0<ab<1 时, 若 b>0, 则有 a<b; 若 b<0, 则 a<0, 1 1 1 从而 b>a,故“0<ab<1”是“a<b或 b>a”的充分条件,反之,取 1 1 b=1,a=-2,则有 a<b或 b>a,但 ab<0,故选 A.

4. a, b∈R, 且 a+b=3, 则 2a+2b 的最小值是 4 2 .

【解析】2a+2b≥2 2a b=4 2,


?2a=2b 3 ? 当且仅当 ,即 a=b=2时取等号. ?a+b=3

5. (2011· 广东中山一中)下列结论中, 正确的序号有③④ 1 ①当 x>0 且 x≠1 时,lgx+lgx≥2; 1 ②当 x≥2 时,x+ x的最小值为 2; 1 ③当 x>0 时, x+ ≥2; x 1 3 ④当 0<x≤2 时,x-x 最大值是2.

.

【解析】当 x>0 时,lgx 仍可能是负数,①不正确; 1 1 若 x>0,当 x= x,即 x=1 时,x+ x才取最小值 2,②不正确; 1 由均值不等式可得 x+ ≥2 x 1 时取等号,③正确. 1 1 当 0<x≤2 时, y=x- x是递增的函数, 其最大值是 f(2)=2-2= 3 2,④正确. 1 1 x· =2,当 x= ,即 x= x x

一 不等式性质的应用
1 1 【例 1】(1)若a<b<0,则下列命题①a+b<ab;②|a|>|b|; b a ③a<b;④a+b>2 中,真命题的序号是____________; c d (2)已知三个不等式:①ab>0;②a>b;③bc>ad,以其中 两个作为条件,余下一个作结论,则可以组成一个真命题的 是______________________________________________.

1 1 【解析】 (1)因为a<b<0,所以 a<0,b<0,所以 a+b<0<ab, 故①真; 对于②,取 a=-1,b=-2,则|a|<|b|,可知②假; 1 1 1 1 由a<b<0,可知a<b且 ab>0,则 a>b,故③假. b a 由已知,因为 ab>0,且 a≠b,所以a+b>2 ④真. 故真命题的是①④. ba a· b=2,可知

c d bc-ad (2)由②a>b? ab >0,可知①③?②. bc-ad 同时,若 ab>0, ab >0,则 bc>ad,即①②?③; bc-ad 若 bc>ad, ab >0,则 ab>0,即②③?①.

【点评】(1)小题体现了不等式性质在判定命题真假时 的应用功能;(2)小题说明在构造与不等式有关的命题时, 通常须应用不等式进行推理、探究.

素材1

(1)已知非零实数 a、 b 满足 a>b, 则下列不等式中成立的是( A.a >b
2 2 2

)

1 1 B.a<b
2

C.a b>ab

a b D.b2>a2

(2)设 a,b,c,d∈R,给出下列命题: a>b? a>b? ? ? ??a+c>b+d;② ??a-c>b-d; ① c> d ? c> d ? ? ? a>b? a>b? ? ? ? ??ac>bc; ③ ? ac > bd ;④ c> d ? c>0 ? ? ? ⑤ac>bc?a>b;⑥a>b?ac2>bc2. 其中命题正确的是 ①④ (填入所有正确命题的序号).

【解析】 (1)因为 a>b,所以 a-b>0, 又 a2+ab+b2>0,所以(a-b)(a2+ab+b2)>0, a b 即 a >b ,所以b2>a2,故选 D.
3 3

(2)①是不等式的同向可加性;④是不等式的可乘性.



比较数(式)的大小

【例 2】(1)已知实数 a,b,c 满足 b+c=6-4a+3a2, c-b=4-4a+a2,试比较 a,b,c 的大小; (2)若 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)· (x+y) 的大小.

【解析】 (1)因为 c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0, 所以 c≥b,由题设可得 b=1+a2, 12 3 所以 b-a=a -a+1=(a-2) +4>0,
2

所以 b>a. 综上,c≥b>a.

(2)作差比较法 (x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2] =-2xy(x-y). 因为 x<y<0,所以 xy>0,x-y<0,所以-2xy(x-y)>0. 所以(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

【点评】 比较大小常用方法有差值法和比值法两种, 若应 用差值法, 则需整体或部分分解因式, 目标是能确定最后结论 的正负,若应用比值法比较大小,则需作商,通过因式分解、 配方、函数单调性手段达到能确定与“1”的大小关系的目标.

素材2
设 a>0,b>0,且 a≠b,试比较 aabb 与 abba 的大小.

【解析】由同底数幂的运算法则,可考虑作商比较. aabb a-b b-a a a-b b =(b) . abba=a · a a a-b ①当 a>b>0 时,b>1,a-b>0,则(b) >1, 于是 aabb>abba. a a a-b ②当 b>a>0 时,0<b<1,a-b<0,则(b) >1, 于是 aabb>abba. 综上所述,对于不相等的实数 a,b,都有 aabb>abba.

三 利用基本不等式求最值
【例 3】(1)设 0<x<2,求函数 y= 3x?8-3x?的最大值; 3 (2)求 +a 的取值范围; a-4 8 2 (3)已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求 x+y 的最小值.

【分析】(1)属“积大”问题,可直接应用基本不等式; 3 3 (2)属“和小”问题, 要分拆, 使积一定, 即 +a= a -4 a -4 +(a-4)+4. 8 2 8 2 (3)注意逆代.因为 1=x+y,所以 x+y =(x+y )(x+y).

【解析】(1)因为 0<x<2,所以 0<3x<6,8-3x>2>0, 3x+?8-3x? 8 所以 y= 3x?8-3x?≤ = = 4. 2 2 4 当且仅当 3x=8-3x,即 x=3时,取等号. 4 所以当 x=3时,y= 3x?8-3x?的最大值是 4.

(2)显然 a≠4. 当 a>4 时,a-4>0, 3 3 所以 +a= +(a-4)+4 a-4 a-4 ≥2 3 ×?a-4?+4=2 3+4, a-4

3 当且仅当 =a-4,即 a=4+ 3时取等号. a -4

当 a<4 时,a-4<0. 3 3 3 所以 +a= +(a-4)+4=-[ +(4-a)]+4 a-4 a -4 4-a ≤-2 3 ×?4-a?+4=-2 3+4. 4-a

3 当且仅当 =4-a,即 a=4- 3时,取等号. 4-a 3 所以 +a 的取值范围是(-∞, -2 3+4]∪[2 3+4, +∞). a-4

(3)因为 x>0,y>0,且 x+y=1, 8 2 8 2 所以x + y=(x+y )(x+y) 8y 2x =10+ x + y ≥10+2 =18. 8 y 2x 当且仅当 x = y ,即 x=2y 时等号成立. 2 1 8 2 所以,当 x=3,y=3时, x+y 有最小值 18. 8y 2x x· y

【点评】(1)合理拆分或配凑因式是常用的技巧,而拆与 凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时需出现积 为定值或和为定值. (2)当多次使用基本不等式时, 一定要注意每次是否能保 证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会 出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的 条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的 一种方法.

(3)对于基本不等式,不仅要记住原始公式,而且还 要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等.如 a+b 2ab ≤ ab≤ 2 ≤ a+b a2+b2 2 (a>0,b>0).

素材3

若 x∈[0,1],求函数 y= 3x?8-3x?的最大值.

【解析】 由例 3(1)的解答知,当 x∈[0,1]时,函数的最 大值不能用基本不等式. 因为 y= -9x +24x=
2

42 -9?x-3? +16(x∈[0,1]),

所以函数在[0,1]上单调递增,所 ymax= 15.

备选例题

某养殖厂需定期购买饲料,已知该厂每天需要饲料 200 千克,每千克饲料的价格为 1.8 元,饲料的保管与其他费用 为平均每千克每天 0.03 元,购买饲料每次支付运费 300 元.假定当天所买饲料当天用不需保管费. (1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的 总费用最少; (2)若提供饲料的公司规定,当一次购买饲料不少于 5 吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的 85%),问该厂是 否可以考虑利用此优惠条件?请说明理由.

【解析】 (1)设该厂应隔 x(x∈N*)天购买一次饲料, 平 均每天支付的总费用为 y1. 因为饲料的保管与其他费用每天比前一天少 200×0.03=6(元), 所以 x 天饲料的保管与其他费用共是 6(x-1)+6(x-2)+?+6=3x2-3x(元),

1 2 从而有 y1=x (3x -3x+300)+200×1.8 300 = x +3x+357≥417. 300 当且仅当 x =3x,即 x=10 时,y1 有最小值. 即每隔 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用 最少.

(2)若厂家利用此优惠条件, 则至少 25 天购买一次饲料, 设该厂利用此优惠条件,每隔 x 天(x≥25)购买一次饲料, 平均每天支付的总费用为 y2,则 1 2 y2= x(3x -3x+300)+200×1.8×0.85 300 = x +3x+303(x≥25).

-300 因为 y2′= x2 +3,所以当 x≥25 时,y2′>0, 即函数 y2 在[25,+∞)上是增函数, 所以当 x=25 时,y2 取得最小值为 390, 而 390<417,所以该厂可以接受此优惠条件.

【点评】近几年高考中,多次出现应用均值不等式求 最值的应用题,在题中基本不等式通常是作为求最值的工 具在解题过程中出现,解决这类应用题,首先要仔细审题, 由题中构造出相应的数学模型,并通过适当的变形,使这 一数学模型符合基本不等式的结构,再进而求最值.当然, 有时这类问题也可用函数的知识求解.

1.实数大小的比较 比较两个实数的大小, 要依据不等式的加法和 乘法法则,以及不等式的传递性进行,不能自己 “制造”性质来运算. (1)作差法:判定不等式关系的基本方法. a>b?a-b>0,a<b?a-b<0.

(2)作商比较法: a ①若 a>0,b>0,b>1,则 a>b; a ②若 a<0,b<0,b>1,则 a<b. 故运用作商比较法判定两数(或式)的大小时, 需先判断两数(或式)的符号.

2.求数或式的范围. (1)用同向不等式求差的范围.
? ? a < x< b ? ? ?c<y<d ? ? a <x<b ?? ? ?-d<-y<-c

?a-d<x-y<b-c.

这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.

(2)求代数式的范围 由 M1<f1(a,b)<N1 和 M2<f2(a,b)<N2,求 g(a,b) 的取值范围,固然要将已知两个不等式相加减,但不 等式相加减的次数应尽可能少, 以免将取值范围扩大, 这时可以用所谓的“线性相关值”. 令 g (a , b)=pf1(a, b)+qf2(a,b),用恒等关系求出待定系数 p,q,于是 一次加减,便可求到所需的范围.

3.常用不等式:以下不等式在解题时使用更直接. 1 “?” ?1? a ? ? 2(a ? 0,且a ? R),当且仅当a ? 1时 a 成立. b a ? 2 ? ? ? 2(a ? 0,b ? 0,a,b ? R),当且仅当a ? b a b 时 “? “成立. 4.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、 三相等三个条件,并且和为定值时,积有最大值,积 为定值时,和有最小值.

5.使用基本不等式求最值时,若等号不成 b 立,应改用单调性法.一般地,函数y ? ax ? , x 当a ? 0,b ? 0时,函数在( ??,,, 0) (0 ? ?)上是增函 数;当a ? 0,b ? 0时,函数在( ??,,, 0) (0 ? ?)上是 b b 减函数;当a ? 0,b ? 0时,函数在[ ? ,, 0) (0 , ] a a b b 上是减函数,在(??, ? ), ( , ? ?)上是增函数; a a b 当a ? 0,b ? 0时,可作如下变形:y ? ?[? ? ax ? ? (? )] x 来解决最值问题.


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