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【解析版】江苏省南通市2013年高考数学一模试卷


平洲高级中学午练 3
一、填空题 1. (5 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x+1>0},则?UA= {x|x≤﹣1} . 考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 求解一元一次不等式化简集合 A,然后直接利用补集运算求解. 解答: 解:由集合 A={x|x+1>0}={x|x>﹣1}, 又 U=R,所以?UA={x|x≤﹣1}. 故答案为{x|x≤﹣1

}. 点评: 本题考查了补集及其运算,是基础的会考题型.

3. (5 分)已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 解答: 解:∵正四棱锥的底面边长是 6,高为 正四棱锥的侧高为 =4

,这个正四棱锥的侧面积是 48 .

,可以求出棱锥的侧高,代入棱锥侧面积公式,可得答案. ,

∴正四棱锥的侧面积是 4× ×6×4=48 故答案为:48

点评: 本题考查的知识点是棱锥的侧面积,其中根据已知结合勾股定理求出棱锥的侧高是解答的关键. 4. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意 x∈R 都有 f(x+2)=f(x) ,当 x∈(﹣2,0)时,f(x)=4 , 则 f(2013)= .
x

考点: 函数的周期性;函数的值. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. x 分析: 利用函数的周期性把要求的式子化为 f(﹣1) ,再利用 x∈(﹣2,0)时,f(x)=4 ,求得 f(﹣1) 的值. 解答: 解:∵定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意 x∈R 都有 f(x+2)=f(x) ,则 f(2013)=f(2×1006+1)=f (1)=f(﹣1) . ∵当 x∈(﹣2,0)时,f(x)=4 ,∴f(﹣1)=4 = , 故答案为 .
x
﹣1

点评: 本题主要考查利用函数的周期性求函数的值,属于基础题.

5. (5 分)已知命题 p:“正数 a 的平方不等于 0”,命题 q:“若 a 不是正数,则它的平方等于 0”,则 p 是 q 的 否命题 . (从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空) 考点: 四种命题的真假关系. 专题: 规律型. 分析: 写出命题 P 与命题 q 的条件与结论,再根据四种命题的定义判断即可. 2 解答: 解:命题 P 的条件是:a>0,结论是:a ≠0; 2 命题 q 的条件是:a≤0,结论是:a =0; 故命题 P 是命题 q 的否命题. 故答案是否命题. 点评: 本题考查四种命题的定义.

6. (5 分)已知双曲线

的一个焦点与圆 x +y ﹣10x=0 的圆心重合,且双曲线的离心率等于

2

2



则该双曲线的标准方程为



考点: 双曲线的标准方程;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 2 将圆化成标准方程得圆 x +y ﹣10x=0 的圆心为 F(5,0) ,可得 c= 率 e= = 算出 a=
2 2 2

=5,结合双曲线的离心

,由平方关系得到 b =20,由此即可得出该双曲线的标准方程.
2 2

解答: 解:∵圆 x +y ﹣10x=0 化成标准方程,得(x﹣5) +y =25 2 2 ∴圆 x +y ﹣10x=0 的圆心为 F(5,0) ∵双曲线 的一个焦点为 F(5,0) ,且的离心率等于 ,

∴c=

=5,且 =

因此,a=

,b =c ﹣a =20,可得该双曲线的标准方程为

2

2

2

故答案为: 点评: 本题给出双曲线的离心率,并且一个焦点为已知圆的圆心,求双曲线的标准方程,着重考查了圆的 标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识,属于基础题. 7. (5 分)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S9=﹣36,S13=﹣104,则 a5 与 a7 的等比中项为 .

考点: 等比数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由条件利用等比数列的性质可得 9a5=﹣36,13a7=﹣104,解得 a5=﹣4,a7=﹣8,从而求得 a5 与 a7

的等比中项±

的值.

解答: 解:∵Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S9=﹣36,S13=﹣104, 则由等比数列的性质可得 9a5=﹣36,13a7=﹣104. 解得 a5=﹣4,a7=﹣8, 则 a5 与 a7 的等比中项± = ,

故答案为 . 点评: 本题主要考查等比数列的性质,等比数列求和公式的应用,属于中档题.

9. (5 分) (2012?上饶一模)△ ABC 中,

,则

=



考点: 平面向量数量积的性质及其运算律. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据题意, 以 AB、 AC 为邻边的平行四边形 ABDC 是矩形, 由勾股定理求出 BC=2. 过 A 作 AE⊥BC 于 E,算出 BE= ,最后结合数量积的公式和直角三角形余弦的定义,即可算出 解答: 解:以 AB、AC 为邻边作平行四边形 ABDC,则 = ∵ + = 的值.

∴四边形 ABDC 是矩形 过 A 作 AE⊥BC 于 E ∵Rt△ ABC 中, ∴BC= 因此,BE= , =2,可得斜边上的高 AE= = =



=

,cos∠ABC=



=

=1,可得

=

故答案为:

点评: 本题在直角三角形中,求一个向量在另一个向量上投影的值.着重考查了向量加法的几何定义和向

量数量积的定义等知识,属于基础题. 10. (5 分)已知 0<a<1,若 loga(2x﹣y+1)>loga(3y﹣x+2) ,且 λ<x+y,则 λ 的最大值为 ﹣2 . 考点: 简单线性规划;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据题意得出约束条件,再作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象知 当直线过 A 时,z 最小,从而得出目标函数 z=x+y 的取值范围,最后根据 λ<x+y,得出 λ 的最大值. 解答: 解:根据题意得:



画出不等式表示的平面区域 设目标函数 z=x+y,则 z 表示直线在 y 轴上截距,截距越大,z 越大 作出目标函数对应的直线 L:y=﹣x 由 得 A(﹣1,﹣1)

直线过 A(﹣1,﹣1) 时,直线的纵截距最小,z 最小,最小值为 z=﹣2 则目标函数 z=x+y 的取值范围是(﹣2,+∞) . 又 λ<x+y,则 λ 的最大值为﹣2 故答案为:﹣2.

点评: 本题考查对数函数的单调性与特殊点、画不等式组表示的平面区域,考查数形结合求函数的最值.

11. (5 分)曲线

在点(1,f(1) )处的切线方程为



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求导函数,确定切线的斜率,求出切点坐标,即可得到切线方程. 解答: 解:由题意, ,

∴ ∴ ∴ ∴所求切线方程为 y﹣e+ =e(x﹣1) ,即 故答案为:

=e

点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,确定切线的斜率是关键. 12. (5 分)如图,点 O 为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右方向为正方向,若振幅为 3cm,周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.则该物体 5s 时刻的位移为 ﹣1.5 cm.

考点: 向量在物理中的应用. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 设该物体在 ts 时刻的位移为 ycm,根据当 t=0 时 y 达到最大值 3,可设 y=3cosωt,由三角函数的周 期公式算出 ω= , 得函数解析式为 y=3cos t, 再将 t=5s 代入即可得到该物体 5s 时刻的位移值.

解答: 解:根据题意,设该物体在 ts 时刻的位移为 ycm,则 ∵物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时,振幅为 3cm, ∴当 t=0 时,y 达到最大值 3.因此,设 y=3cosωt, ∵函数的周期为 3s,∴ =3,解之得 ω= ,得函数解析式为 y=3cos ?5)=3 =﹣1.5cm t,

由此可得,该物体 5s 时刻的位移为 3cos(

故答案为:﹣1.5 点评: 本题给出简谐振动模型,求质点的位移函数关系式并求物体 5s 时刻的位移值,着重考查了三角函数 的图象与性质和三角函数在物理方面的应用等知识,属于中档题.

二、解答题:本大题共 12 小题,共计 90 分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15. (14 分)如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,E 是侧面 AA1B1B 对角线的交点,F 是侧面 AA1C1C 对 角线的交点,D 是棱 BC 的中点.求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 AEF⊥平面 A1AD.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 A1B 和 A1C,易证 EF∥BC,利用线面平行的判断定理即可证得 EF∥平面 ABC; (2)依题意,可证 EF⊥AA1,EF⊥AD,而 AA1∩AD=A,从而可证得 EF⊥平面 A1AD,利用面面 垂直的判定定理即可证得平面 AEF⊥平面 A1AD. 解答: 解: (1)连接 A1B 和 A1C,因为 E、F 分别是侧面 AA1B1B 和侧面 AA1C1C 对角线的交点, 所以 E、F 分别是 A1B1B 和 A1C 的中点. 所以 EF∥BC…3 分 又 BC?平面 ABC,EF?平面 ABC, 故 EF∥平面 ABC;…6 分 (2)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为正三棱柱, ∴AA1⊥平面 ABC, ∴BC⊥AA1,又 EF∥BC, ∴EF⊥AA1…8 分 又 D 是棱 BC 的中点,且△ ABC 为正三角形,所以 BC⊥AD. 由 EF∥BC 得 EF⊥AD…10 分 而 AA1∩AD=A,AA1,AD?平面 A1AD,所以 EF⊥平面 A1AD,…12 分 又 EF?平面 AEF,故平面 AEF⊥平面 A1AD…14 分

点评: 本题考查平面与平面垂直的判定及直线与平面平行的判定,掌握直线与平面平行的判定定理与平面 与平面垂直的判定定理是关键,考查分析与推理证明的能力,属于中档题.

17. (14 分)某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为 4 米,这种薄板须沿其对角线 折叠后使用.如图所示,ABCD(AB>AD)为长方形薄板,沿 AC 折叠后,AB'交 DC 于点 P.当△ ADP 的面积最大时最节能,凹多边形 ACB'PD 的面积最大时制冷效果最好. (1)设 AB=x 米,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 2 分析: (1)利用 PA =AD +DP ,构建函数,可得 DP 的长度; (2)表示出△ ADP 的面积,利用基本不等式,可求最值; (3)表示出△ ADP 的面积,利用导数知识,可求最值. 解答: 解: (1)由题意,AB=x,BC=2﹣x.因 x>2﹣x,故 1<x<2 设 DP=y,则 PC=x﹣y. 因△ ADP≌△CB′P,故 PA=PC=x﹣y.

由 PA =AD +DP ,得(x﹣y) =(2﹣x) +y ,即 (2)记△ ADP 的面积为 S1,则 S1= 当且仅当 x= ∈(1,2)时,S1 取得最大值 = ,

2

2

2

2

2

2

故当薄板长为 米,宽为 米时,节能效果最好 (3)记△ ADP 的面积为 S2,则 S2S2S2= = ,

于是 S2′=

,∴



关于 x 的函数 S2 在(1, 所以当

)上递增,在(

,2)上递减.

时,S2 取得最大值 米,宽为 米时,制冷效果最好

故当薄板长为

点评: 本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力.试题以常见的图形为载体,再现对基 本不等式、导数等的考查.


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