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【金识源】高中数学 1.3.2 球的体积和表面积素材 新人教A版必修2


1.3.2 球的体积和表面积
知识拓展 利用体积法求简单多面体的内切球半径 求简单多面体的内切球的半径常用的方法是作轴截面,把空间问题转化为多边形内切圆 问题,如果简单多面体是不规则的,要作轴截面就很困难,因此这种方法用起来很繁琐.我们 可以利用另一种既简便又快速的方法——体积法,即把多面体进行分割,且分割成以内切球 球心为公共顶点的若干个棱锥,这些棱锥的高都是内切球的半径,然后根据这些棱锥的体积 之和等于多面体体积,从而求出半径.现举例说明如下:

图8 如图 8, 在三棱锥 S—ABC 中, SA=AB=AC=1, ∠BAC=90°, SA⊥面 ABC, 求三棱?锥 S—ABC? 的内切球的半径. 解:设内切球的球心为 O,球的半径为 r,则 VS—ABC=VO—SAB+VO—SAC+VO—SBC+VO—ABC. 又∵VO—SAB、VO—SAC、VO—SBC、VO—ABC 的高都是 r,SA⊥面 ABC, ∴VS—ABC=VO—SAB+VO—SAC+VO—SBC+VO—ABC =

1 r (S△SAB+S△SAC+S△SBC+S△ABC) 3

=

1 1 1 3 1 1 1 r( ?1?1 ? ?1?1 ? ? 2 ? ? 1 ? 1) ? ? 1 ? . 3 2 2 4 2 3 2

∴r=

1 3? 3

?

3? 3 . 6
3V . S1 ? S 2 ? S 3 ? ? S n

点评:若一个简单 n 面体有内切球,且简单 n 面体的各个面的面积分别为 S1,S2,S3,…,Sn,简 单 n 面体的体积为 V,则此简单 n 面体的内切球的半径为 r=

用体积法求简单多面体的内切球半径的优点是不用作轴截面,对空间想象能力要求高,但并 不是意味着遇到这种类型的问题都用体积法,体积法的缺点是计算量较大,而且要考虑多面 体是否是规则的,因此在解题时要注意选择方法.

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