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2016-2017学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2.2抛物线的简单性质课后演练提升北师大版选修2-1资料


2016-2017 学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 拋物线的 简单性质课后演练提升 北师大版选修 2-1
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 2 1.过拋物线 y =4x 的焦点作直线交拋物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若 x1+x2=8, 那么|AB|等于( ) A.9 B.10 C.7 D.5 解析: 由拋物线方程知

:p=2,又|AB|=x1+x2+p=8+2=10,故选 B. 答案: B 2 2.拋物线 x =-4y 的通径为线段 AB,O 为拋物线的顶点,则( ) A.通径长为 8,△AOB 的面积为 4 B.通径长为 8,△AOB 的面积为 2 C.通径长为 4,△AOB 的面积为 4 D.通径长为 4,△AOB 的面积为 2 1 解析: |AB|=2p=4,S△AOB= ?1?4=2. 2 答案: D 2 3.若拋物线 y =2px(p>0)上一点到准线和拋物线的对称轴距离分别为 10 和 6,则该点 横坐标为( ) A.6 B.2 或 8 C.1 或 9 D.10 2 解析: 设点坐标为(x0,6),则 6 =2px0, 18 p 18 p ∴x0= ,又 x0+ =10,∴ + =10, p 2 p 2 ∴p=2 或 p=18,∴x0=9 或 x0=1,故选 C. 答案: C 2 4.以抛物线 y =2px(p>0)的焦半径为直径的圆与 y 轴的位置关系是( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 解析:

1 如图,取 AF 中点 C,作 CN⊥y 轴,AM⊥y 轴,可得|CN|= |AF|. 2 故选 C. 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 2 5. 抛物线 y =16x 上一点 P 到 x 轴的距离为 12, 则点 P 与焦点 F 间的距离|PF|=________. 解析: 由于点 P 到 x 轴的距离为 12, 可知点 P 的纵坐标为 12, y2 12?12 ∴点 P 的横坐标 x= = =9. 16 16 由抛物线的定义知|PF|=x+ =9+4=13. 2

p

1

答案: 13 2 6.过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A、B 两点,若 线段 AB 的长为 8,则 p=________. 解析: 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 则 x1+x2+p=8. 设直线 AB 的方程为 y=x- , 2 联立 y =2px,得 x -3px+ =0, 4 ∴x1+x2=3p.∴3p+p=8,即 p=2. 答案: 2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 2 7.正三角形 AOB 的两个顶点在抛物线 y =2px(p>0)上.若 S△OAB=36 3,试确定抛物线 的方程. 2 解析: 由于正△AOB 的 A、B 两点在抛物线 y =2px 上,依对称性知∠AOX=30°,其 3 中 X 为线段 AB 与 x 轴的交点.设 OA 所在直线方程为 y= x. 3
2 2

p

p2

? ?y= 3x, 3 方法一:联立? 2 ? ?y =2px

得 A(6p,2 3p),B(6p,-2 3p).

则|AB|=4 3p. 3 2 2 2 由 S△AOB= ?(4 3p) =12 3p =36 3,得 p =3,p= 3. 4 故抛物线的方程为 y =2 3x. 方法二:设|OA|=a,由 S△AOB= 即|OA|= 3 2 a =36 3知 a=12. 4
2

x2+?

? 3 ?2 ? 2 x? x? =? ?=12, ?3 ? ? 3 ?
3 ?(±6 3)=±6. 3
2

得 x=±6 3,y=

由于 A(x,y)在抛物线 y =2px(p>0)上,所以 A(6 3,6). 2 由点 A(6 3,6)在 y =2px 上得 p= 3. 2 故抛物线的方程为 y =2 3x. 8.

已知直线 l 经过拋物线 y =4x 的焦点 F,且与拋物线相交于 A、B 两点. (1)若|AF|=4,求点 A 的坐标; (2)求线段 AB 的长的最小值. 2 解析: 拋物线 y =4x 的焦点 F(1,0),准线为 x=-1. (1)设 A(x0,y0),则|AF|=|x0+1|=4, ∴x0=3,∴y0=±2 3,∴A(3,±2 3). (2)当直线 l 的斜率不存在时,|AB|=4,当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y
2

2

=k(x-1), ?y=k?x-1? ? 由? 2 ? ?y =4x

,得 k x -(2k +4)x+k =0,

2 2

2

2

易知 k≠0,令 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2k +4 ∴x1+x2= 2 .

k

4 ∴|AB|=x1+x2+2=4+ 2>4,

k

综上所述,|AB|≥4. ∴线段 AB 的最小值为 4. ? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)A、B 是抛物线 y =2px(p>0)上的两点,满足 OA⊥OB(O 为坐标原点),求证: (1)A、B 两点横坐标之积,纵坐标之积分别为定值; (2)直线 AB 经过一个定点. 2 2 证明: (1)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 y1=2px1,y2=2px2. ∵OA⊥OB,∴x1?x2+y1?y2=0. 2 2 2 2 ∴y1?y2=4p x1?x2=4p (-y1?y2), 2 2 ∴y1?y2=-4p .∴x1?x2=4p ,结论成立. 2 2 (2)∵y1-y2=(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2), y1-y2 2p ∴ = . x1-x2 y1+y2 2p 则直线 AB 的方程为 y-y1= (x-x1). y1+y2 2p 2p y2 2p y1?y2 1 ∴y= ?x- ? +y1= ?x+ . y1+y2 y1+y2 2p y1+y2 y1+y2 2 又∵y1?y2=-4p . 2 2p 4p 2p ∴y= ?x- = (x-2p). y1+y2 y1+y2 y1+y2 ∴直线 AB 过定点(2p,0).
2

3


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