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第一章,集合与函数概念试题


第一章 集合与函数概念 一、选择题 1.设全集 U={(x,y)| x∈R,y∈R},集合 M=, P={(x,y)| y≠x+1},那么 CU(M∪P)等于( ). A. B.{(2,3)} C.(2,3) D.{(x,y)| y=x+1} 2.若 A={a,b},B A,则集合 B 中元素的个数是( ). A.0 B.1 C. 2 D.0 或 1 或 2 3.函数 y=f(x

)的图象与直线 x=1 的公共点数目是( ). A.1 B.0 C.0 或 1 D.1 或 2 4.设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是( ). A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7 5. 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则( ). A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞) 6. 设函数 f(x)=,若 f(-4)=f(0), f(-2)=-2, 则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为( ). A.1 B.2 C. 3 D.4 7. 设集合 A={x | 0≤x≤6}, B={y | 0≤y≤2}, 下列从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射的是( ). A.f:x→y=x B.f:x→y=x C.f:x→y=x D.f:x→y=x 8.有下面四个命题: ①偶函数的图象一定与 y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于 y 轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R). 其中正确命题的个数是( ). A.1 B.2 C. 3 D.4 9.函数 y=x2-6x+10 在区间(2,4)上是( ). A.递减函数 B.递增函数 C.先递减再递增 D.先递增再递减 10.二次函数 y=x2+bx+c 的图象的对称轴是 x=2,则有( ). A.f(1)<f(2)<f(4) B.f(2)<f(1)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1) 二、填空题 11.集合{3,x,x2-2x}中,x 应满足的条件是 . 12.若集合 A={x | x2+(a-1)x+b=0}中,仅有一个元素 a,则 a=___,b=___. 13.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米 分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为 元. 14.已知 f(x+1)=x2-2x,则 f(x)= ;f(x-2)= . 15.y=(2a-1)x+5 是减函数,求 a 的取值范围 . 16.设 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+x3),那么当 x∈ (-∞,0]时,f(x)= . 三、解答题

17.已知集合 A={x∈R| ax2-3x+2=0},其中 a 为常数,且 a∈R. ①若 A 是空集,求 a 的范围; ②若 A 中只有一个元素,求 a 的值; ③若 A 中至多只有一个元素,求 a 的范围.

18.已知 M={2,a,b},N={2a,2,b2},且 M=N,求 a,b 的值.

19.证明 f(x)=x3 在 R 上是增函数.

20.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=3x4+; (2)f(x)=(x-1); (3)f(x)=+; (4)f(x)=+.

第一章 集合与函数概念 参考答案 一、选择题 1.B 解析:集合 M 是由直线 y=x+1 上除去点(2,3)之后,其余点组成的集合.集合 P 是坐标平 面上不在直线 y=x+1 上的点组成的集合,那么 MP 就是坐标平面上不含点(2,3)的所有点 组成的集合.因此 CU(MP)就是点(2,3)的集合. CU(MP)={(2,3)}.故选 B. 2.D 解析:∵A 的子集有,{a},{b},{a,b}.∴集合 B 可能是,{a},{b},{a,b}中的某一个,∴ 选 D. 3.C 解析: 由函数的定义知, 函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 是有可能没有交点的, 如果有交点, 那么对于 x=1 仅有一个函数值. 4.B 解析:∵g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,∴g(x)=2x-1. 5.A 解析:要善于从函数的图象中分析出函数的特点. 解法 1:设 f(x)=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax,比较系数得 b=-3a,c=2a,d=0.由 f(x)的图象可以知道 f(3)>0,所以 f(3)=3a(3-1)(3-2)=6a>0,即 a>0,所以 b<0.所以正确答案为 A. 解法 2:分别将 x=0,x=1,x=2 代入 f(x)=ax3+bx2+cx+d 中,求得 d=0,a= -b,c=-b. ∴f(x)=b(-x3+x2-x)=-[(x-)2-] . 由函数图象可知,当 x∈(-∞,0)时,f(x)<0,又[(x-)2-]>0,∴b<0. x∈(0,1)时,f(x)>0,又[(x-)2-]>0,∴b<0. x∈(1,2)时,f(x)<0,又[(x-)2-]<0,∴b<0. x∈(2,+∞)时,f(x)>0,又[(x-)2-]>0,∴b<0. 故 b∈(-∞,0). 6.C 解:由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 得,∴ . ∴f(x)= 由 得 x=-1 或 x=-2;由 得 x=2. 综上,方程 f(x)=x 的解的个数是 3 个. 7.A 解:在集合 A 中取元素 6,在 f:x→y=x 作用下应得象 3,但 3 不在集合 B= {y|0≤y≤2}中,所以答案选 A. 8.A 提示:①不对;②不对,因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含 0;③正确;④不对,既 是奇函数又是偶函数的函数还可以为 f(x)=0,x∈(-a,a).所以答案选 A. 9.C 解析:本题可以作出函数 y=x2-6x+10 的图象,根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再 递增.答案选 C. 10.B

解析:∵对称轴 x=2,∴f(1)=f(3). ∵y 在〔2,+∞〕上单调递增, ∴f(4)>f(3)>f(2),于是 f(2)<f(1)<f(4). ∴答案选 B. 二、填空题 11.x≠3 且 x≠0 且 x≠-1. 解析:根据构成集合的元素的互异性,x 满足 解得 x≠3 且 x≠0 且 x≠-1. 12.a=,b=. 解析:由题意知,方程 x2+(a-1)x+b=0 的两根相等且 x=a,则△=(a-1)2-4b=0①, 将 x=a 代入原方程得 a2+(a-1)a+b=0 ②,由①②解得 a=,b=. 13.1 760 元. 解析:设水池底面的长为 x m,水池的总造价为 y 元,由已知得水池底面面积为 4 m2.,水 池底面的宽为 m. 池底的造价 y1=120×4=480. 池壁的造价 y2=(2×2x+2×2×)×80=(4x+)×80. 水池的总造价为 y=y1+y2=480+(4x+)×80, 即 y=480+320(x+) =480+320. 当 =, 即 x=2 时,y 有最小值为 480+320×4=1 760 元. 14.f(x)=x2-4x+3,f(x-2)=x2-8x+15. 解析: 令 x+1=t, 则 x=t-1, 因此 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3, 即 f(x)=x2-4x+3. ∴ f(x-2)=(x-2)2-4(x-2)+3=x2-8x+15. 15.(-∞,). 解析:由 y =(2a-1)x+5 是减函数,知 2a-1<0,a<. 16.x(1-x3). 解析:任取 x∈(-∞,0] , 有-x∈[0,+∞), ∴f(-x)=-x[1+(-x)3]=-x(1-x3), ∵f(x)是奇函数,∴ f(-x)=-f(x). ∴ f(x)=-f(-x)=x(1-x3), 即当 x∈(-∞,0]时,f(x)的表达式为 x(1-x3). 三、解答题 17.解:①∵A 是空集, ∴方程 ax2-3x+2=0 无实数根. ∴ 解得 a>. ②∵A 中只有一个元素, ∴方程 ax2-3x+2=0 只有一个实数根. 当 a=0 时,方程化为-3x+2=0,只有一个实数根 x=; 当 a≠0 时,令Δ =9-8a=0,得 a=,这时一元二次方程 ax2-3x+2=0 有两个相等的实 数根,即 A 中只有一个元素. 由以上可知 a=0,或 a=时,A 中只有一个元素. ③若 A 中至多只有一个元素,则包括两种情形:A 中有且仅有一个元素;A 是空集.由①② 的结果可得 a=0,或 a≥. 18.解:根据集合中元素的互异性,有

解得





再根据集合中元素的互异性,得 或 19.证明:设 x1,x2∈R 且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)(+x1x2+). 又+x1x2+=(x1+x2)2+. 由 x1<x2 得 x1-x2<0,且 x1+x2 与 x2 不会同时为 0, 否则 x1=x2=0 与 x1<x2 矛盾, 所以 +x1x2+>0. 因此 f(x1)- f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), f(x)=x3 在 R 上是增函数. 20.解:(1)∵ 函数定义域为{x | x∈R,且 x≠0}, ?f(-x)=3(-x)4+=3x4+=f(x),∴f(x)=3x4+是偶函数. (2)由≥0 解得-1≤x<1. ∴ 函数定义域为 x∈[-1,1),不关于原点对称,∴f(x)=(x-1)为非奇非偶函数. (3)f(x)=+定义域为 x=1, ∴ 函数为 f(x)=0(x=1),定义域不关于原点对称, ∴f(x)=+为非奇非偶函数. (4)f(x)=+定义域为 ( x∈{±1}, ∴函数变形为 f(x)=0 (x=±1),∴f(x)=+既是奇函数又是偶函数.


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