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高考数学一轮复习-不等式与一元二次不等式


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姓名 学科 课题名称 数学

学生姓名 年级 高三 课时计划

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不等式的性质、一元二次不等式的解 同步教学知识内容

教学目标 个性化

学习问题解决 教学重点 教学难点 教师活动

第 1 讲 不等关系与不等式
1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个 数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式. 2.比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有 a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b. 另外,若 b>0,则有 >1?a>b; =1?a=b; <1?a<b. 3.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; 教学过程 (3)可加性:a>b?a+c>b+c,a>b,c>d?a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd; (5)可乘方:a>b>0?a >b (n∈N,n≥2); (6)可开方:a>b>0? a> b(n∈N,n≥2).
n n

a b

a b

a b

n

n

一个技巧 作差法变形的技巧:作差法中变形是关键,常进行因式分解或配方. 一种方法 待定系数法:求代数式的范围时,先用已知的代数式表示目标式,再利用多项式相等的法则求出参数, 最后利用不等式的性质求出目标式的范围.

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两条常用性质

(1)倒数性质: 1 1 ①a>b,ab>0? < ;

a b

1 1 ②a<0<b? < ;

a b

③a>b>0,0<c<d? > ; 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0? < < .

a b c d

b x a

(2)若 a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质:

b b+m b b-m < ; > (b-m>0); a a+m a a-m
②假分数的性质:

a a+m a a-m > ; < (b-m>0). b b+m b b-m

经典例题剖析:
1.(人教 A 版教材习题改编)给出下列命题:①a>b?ac >bc ;②a>|b|?a >b ;③a>b?a >b ; ④|a|>b?a >b .其中正确的命题是( ). A.①② C.③④ 解析: B.②③ D.①④
2 2 2 2 2 2 3 3

2.已知 a,b,c 是实数,试比较 a +b +c 与 ab+bc+ca 的大小. 解析:

2

2

2

3?(2012· 包头模拟)若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列命题:(1)ad>bc;(2) + <0;(3)a-c>b-
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a b d c

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d;(4)a· (d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( ).
A.1 解析: B.2 C.3 D.4

4?已知函数 f(x)=ax +bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2)的取值范围. 解析:

2

5? 若 0<x<1,a>0 且 a≠1,则|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小关系是 ( A.|loga(1-x)|>|loga(1+x)| B.|loga(1-x)|<|loga(1+x)| C.不确定,由 a 的值决定 D.不确定,由 x 的值决定 解析: ).

2π 0.6 6? 若 a=2 ,b=logπ3,c=log2sin ,则( ). 5 A.a>b>c C.c>a>b 解析: B.b>a>c D.b>c>a

第 2 讲 一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式 ax +bx+c>0(a>0)或 ax +bx+c
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2 2

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<0(a>0). (2)求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集. 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表: 判别式 Δ=b -4ac 二次函数 y=ax +bx +c (a>0)的图象 一元二次方程 ax +
2 2 2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

bx+c=0 (a>0)的


有两相异实根

有两相等实根

x1,x2(x1<x2)

x1=x2=-

b 2a

没有实数根

ax2+bx+c>0 (a>
0)的解集

{x|x>x2 或 x<x1}

? b? ?x|x≠- ? 2a? ?

R

ax2+bx+c<0 (a>
0)的解集

{x|x1<x<x2}

?

?

一个技巧 一元二次不等式 ax +bx+c<0(a≠0)的解集的确定受 a 的符号、b -4ac 的符号的影响,且与相应的 二次函数、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象,数形结合求得 不等式的解集.若一元二次不等式经过不等式的同解变形后,化为 ax +bx+c>0(或<0)(其中 a>0) 的形式,其对应的方程 ax +bx+c=0 有两个不等实根 x1,x2,(x1<x2)(此时 Δ=b -4ac>0),则可根 据“大于取两边,小于夹中间”求解集. 两个防范 (1)二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解集;不要忘了二次项系数是否为零的情况; (2)解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不能因式分解, 则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.
2 2 2 2 2 2

1.不等式 9x +6x+1≤0 的解集是( ).
? 1? A.?x|x≠- ? 3? ? ? 1? B.?- ? ? 3?

2

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? 1 1? C.?x|- ≤x≤ ? 3 3? ?

D.R

解析:

? 1? 2 2.(2012· 许昌模拟)若不等式 ax +bx-2<0 的解集为?x|-2<x< ?,则 ab= 4? ?

( A.-28 解析: B.-26 C.28 D.26

).

3.不等式 ax +2ax+1≥0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围为________. 解析:

2

?x +2x,x≥0, ? 4?已知函数 f(x)=? 2 ?-x +2x,x<0, ?

2

解不等式 f(x)>3.

解析:

5?求不等式 12x -ax>a (a∈R)的解集. 解析:

2

2

6?已知不等式 ax +4x+a>1-2x 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解析:

2

2

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7 已知 f(x)=x -2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围. 解析:

2

8?(本题满分 14 分)(2011· 浙江)设函数 f(x)=(x-a) ln x,a∈R. (1)若 x=e 为 y=f(x)的极值点,求实数 a; (2)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x∈(0,3e],恒有 f(x)≤4e 成立. 解析:
2

2

【试一试】 设函数 f(x)=ax -3x+1,若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立,求实数 a 的值.

3

1.[2013· 保定一模] 若 a>0 且 a≠1,b>0,则“logab>0”是“(a-1)(b-1)>0”的( 课后作业 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

2.某厂生产甲产品每件需用 A 原料 2 kg、B 原料 4 kg,生产乙产品每件需用 A 原料 3 kg、B 原料

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2 kg;A 原料每日供应量限额为 60 kg,B 原料每日供应量限额为 80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比 甲种产品多 10 件以上, 若设每天生产甲产品 x 件, 乙产品 y 件, 用不等式(组)表示上述关系式为________. 3.[2013· 潍坊联考] 设 0<b<a<1,则下列不等 式成立的是( 1 1 A.ab<b2<1 B.log b<log a<0 2 2 C.2b<2a<2 D.a2<ab<1 a-1 4.[2013· 长春调研] 设 a∈R,则“ 2 <0”是“|a|<1”成立的( a -a+1 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件 5.[2013· 武汉二模] 若 a>b>0,则下列不等式一定成立的是( 1 1 b b+1 A.a+ >b+ B. > b a a a+1 2a+b a 1 1 C.a- >b- D. > b a a+2b b 6.某产品的 总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3 000+20x-0 .1x2(0<x<240, x∈N*),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 7.[2013· 厦门质检] |x-1|≤1 是 x2-x<0 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4 8.不等式 ≤x-2 的解集是( x-2 A.(-∞,0]∪(2,4] B.[0,2)∪[4,+∞) C.[2,4)
[来源:学科网] [来源:Zxxk.Com] [来源:学科网 ZXXK]

)

)

)

)

)

)

D.(-∞,2]∪(4,+∞) 9.已知 p:存在 x∈R,mx2+1≤0;q:对任意 x∈R,x2+mx+1>0,若 p 或 q 为假,则实数 m 的 取值范围为( )
[来源:学科网]

A.m≤-2 B.m≥2

C.m≥2 或 m≤-2 D.-2≤m≤2 10.[2013· 宁德质检] 若不等式 ax2-ax+1<0 的解 集为?,则实数 a 的取值范围是________.
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2a+b 11.若不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|-1<x<2},则不等式 +c>bx 的解集为________. x 1?n 1 12.若关于 x 的不等式 x2+ x-? ≥0 对任意 n∈N*在 x∈(-∞,λ]上恒成立,则实常数 λ 的取值 2 ?2? 范围是________. 13.若函数

f ( x) ? 2 x
x

2

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围是
x



14.设函数 y ? 1 ? 2 ? a ? 4 ,若函数在 (??,1] 上有意义,求实数 a 的取值范围。

y ? log 1 ( x 2 ? 2mx ? 3)在(??,1)
15.函数
2
2x

上为增函数,则实数 m 的取值范围是

.

16 . 若 关 于 x 的 方 程 a 是 17.若函数 取值范围是 。

? (1 ? lg m)a x ? 1 ? 0 ( a ? 0 , 且 a ? 1 ) 有 解 , 则 m 的 取 值 范 围

2 f ( x) ? ( x ?1)log3 a ? 6x log3 a ? x ?1(a ? 0, a ? 1) 在[0,1]上恒为正值,则实数 a 的



x ? (0,1) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围 18.设 f ( x) ? 3ax ? 2a ? 1, a 为常数,若存在 0 是=
19.已知函数 f ( x ) 的值域 [0, 4]( x ?[?2, 2]) ,函数 g ( x) ? ax ? 1, x ?[?2, 2] ,

?x1 ?[?2, 2], ?x0 ?[?2, 2] 使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,则实数 a 的取值范围是



? ? g ( x) ? a 2 sin(2 x ? ) ? 3a, x ? [0, ] 2 f ( x ) = x ,( x ? [ ? 2, 2]) 6 2 , 20.已知函数 , ? 总?x0 ? [0, ], 使得g ( x0 ) ? f ( x1 ) ?x1 ?[?2, 2] , 2 成立,则实数 a 的取值范围是 4 f ( x) ? lg(5 x ? x ? m) 5 21.已知函数 的值域为 R,则实数 m 的取值范围是

. 。

6 ? ? 22.(13 分)[2013· 宣威调研] 已知集合 A=?x?x+1≥1,x∈R?,B={x|x2-2x-m<0}.
?

?

?

(1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值.

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f ( x) ?
23、已知函数

1 3 1 x ? (2 ? a) x 2 ? (1 ? a) x(a ? 0). 3 2

(I)求 f ( x) 的单调区间; (II)若 f ( x) 在[0,1]上单调递增,求 a 的取值范围。

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本 节 课 教 学 计 划 完 成 情 况 : 照 常 完 成 □ _____________________________ 学 生 的 接 受 程 度 : 完 全 能 接 受 □ ________________________________ 学 生 的 课 堂 表 现 : 很 积 极 □ ________________________________ 课后记

提 前 完 成 □

延 后 完 成 □ 不 能 接 受 □ 不 积 极 □

部 分 能 接 受 □ 一 般 □

比 较 积 极 □

学生上次作业完成情况:数量____% 完成质量____分

存在问题 ______________________________

配合需求:家长___________________________________________________________________________ 学管师_________________________________________________________________________

注 备
提交时间 教研组长审批 家长签名

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