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2013高考数学第一轮基础复习课件 3-2 利用导数研究函数的性质 新人教B版


第 二 节

利用导数研究函数的性质

重点难点 重点:1.用导数判定函数单调性的方法 2.函数极值的概念及求法、函数的最值 难点:导函数的图象与函数单调性的关系

知识归纳 1.函数的单调性 (1)设函数 y=f(x)在区间(a, b)内可导, 如果 f ′(x)__ > 0,则 f(x)在区间(a,b)

内为增函数;如果 f ′(x)__ 0,则 < f(x)在区间(a,b)内为减函数.

(2)①如果在某个区间内恒有 f ′(x)=0,则 f(x)等于 常数. ②对于可导函数 f(x)来说,f ′(x)>0 是 f(x)在(a,b) 上为单调增函数的充分不必要条件,f ′(x)<0 是 f(x)在 (a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如 f(x)=x3 在 R 上为增函数, f ′(0)=0, 但 所以在 x=0 处不满足 f ′(x) >0.

2.函数的极值 (1)函数极值的定义 已知函数 y=f(x),设 x0 是定义域(a,b)内任一点, 如果对 x0 附近的所有点 x,都有 f(x)<f(x0)(f(x)>f(x0)),则 称 f(x)在点 x0 取得极大(小)值, x0 是 f(x)的一个极大(小) 称 值点.

3.函数的最大值与最小值 函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]内可导的函 数 f(x)必有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内可导的 函数 f(x)不一定有最大值与最小值.

误区警示 1.利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题 (1)利用导数值的符号来求函数的单调区间,必须在 函数的定义域内解不等式 f ′(x)>0(或 f ′(x)<0). .... (2)在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数 等于 0 的点外,还要注意函数的不连续点或不可导点. (3)注意在某一区间内 f ′(x)>0(或 f ′(x)<0)是函数 f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件.

2. y=f(x)在(a, 若 b)内可导, ′(x)≥0 或 f ′(x)≤0, f 且 y=f(x)在(a,b)内导数 f ′(x)=0 的点仅有有限个,则 y=f(x)在(a,b)内仍是单调函数. 3.讨论含参数的函数的单调性时,必须注意分类讨 论.

4.极值与最值的区别和联系 (1)函数的极值不一定是最值,需对极值和区间端点 的函数值进行比较,或者考察函数在区间内的单调性. (2)如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么 极大值就是最大值,极小值就是最小值. (3)可导函数的极值点导数为零,但是导数为零的点 ...... 不一定是极值点. ........ (4)极值是一个局部概念, 极大值不一定比极小值大. .. ...

解题技巧 1.利用导数判断函数单调性的一般步骤 ①求导数 f ′(x); ②在函数 f(x)的定义域内解不等式 f ′(x)>0 和 f ′(x) <0; ③根据②的结果确定函数 f(x)的单调区间.

2. 判断极值的方法: 当函数 f(x)在点 x0 处可导且 f ′(x0) =0. ①如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)>0,右侧 f ′(x)<0,那 么 f(x0)为极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)<0,右侧 f ′(x)>0,那 么 f(x0)是极小值.

3.求最值的步骤: 第1步 第2步 第3步 求导数 f ′(x); 求方程 f ′(x)=0 的所有实数根; 考察在每个根 x0 附近,从左到右,导函数

f ′(x)的符号如何变化.如果 f ′(x)的符号由正变负,则 f(x0)是极大值;如果由负变正,则 f(x0)是极小值.

第4步

将 f(x)的各极值及 f(a)、f(b)比较,其中最

大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 注:据新课标的要求,有关函数最大值、最小值的 实际问题,一般指的是单峰函数,也就是说在实际问题 中,如果遇到函数在区间内只有一个极值点,那么不与 端点值比较,就可以知道这一点就是最大(小)值点.

4.求函数的极值、最值时,要严格按解题步骤规范 条理的写出解答过程,养成列表的习惯,含参数时注意 分类讨论,已知单调性求参数的值域或取值范围时,要 注意其中隐含 f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)恒成立. 还要注意 f(x)在区间 A 上单调增(或减)与 f(x)的单调增(或减)区间是 A 的区别.

5.构造法 在利用导数研究函数的性质,证明不等式等解题过 程中,常常要构造函数,构造方程等来促成问题的解决.

[例]

2?x-1? 证明不等式 lnx> ,其中 x>1. x+1
(x>1).

2?x-1? 解析:设 f(x)=lnx- x+1

?x-1?2 1 4 则 f ′(x)=x- = , ?x+1?2 x?x+1?2 ∵x>1,∴f ′(x)>0. ∴f(x)在(1,+∞)内为单调增函数. 又∵f(1)=0,当 x>1 时,f(x)>f(1)=0, 2?x-1? 2?x-1? 即 lnx- >0.∴lnx> . x+1 x+1

利用导数研究函数的单调性
[例 1] 函数 y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增 区间是( )

π π A.(-π,- )和(0, ) 2 2 π π B.(- ,0)和(0, ) 2 2 π π C.(-π,- )和( ,π) 2 2 π π D.(- ,0)和( ,π) 2 2

解析:y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx, π 当 x∈(-π,- )时,y′=xcosx>0,∴y 为增函数; 2 π 当 x∈(- ,0)时,y′=xcosx<0,∴y 为减函数; 2 π 当 x∈(0, )时,y′=xcosx>0,∴y 为增函数; 2

π 当 x∈( ,π)时,y′=xcosx<0,∴y 为减函数; 2 π π ∴y=xsinx+cosx 在(-π,- )和(0, )上为增函数, 2 2 故应选 A. 答案:A

(文)函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) B.(0,3) D.(2,+∞)

)

解析:f ′(x)=ex+(x-3)ex=ex(x-2), 由 f ′(x)>0 得,x>2.∴f(x)在(2,+∞)上是增函数. 答案:D

(理)(2011· 北京文,18)已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值. 解析:(1)f ′(x)=(x-k+1)ex 令 f ′(x)=0,得 x=k-1. f(x)与 f ′(x)值的情况如下:

x f ′(x) f(x)

(-∞,k-1) -

k-1 0

(k-1,+∞) + ↗?

?↘

-ex-1

所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递 增区间是(k-1,+∞), (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在[0,1]上单调 递增,所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时,

由(1)知 f(x)在[0,k-1]上单调递减,在(k-1,1]上单 调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek
-1

; 当 k-1≥1, k≥2 时, 即 函数 f(x)在[0,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e. 答案:(1)f(x)在[0,1]上的最小值,当 k≤1 时为-k,

当 1<k<2 时为-ek 1,当 k≥2 时为(1-k)e.



利用导数求函数的极(最)值
[例 2] 已知函数 f(x)=-x3+6x2-9x+m.

(1)求 f(x)的单调递增区间. (2)若 f(x)在区间[0,4]上的最小值为 2, 求它在该区间上的 最大值.

解析:(1)f ′(x)=-3x2+12x-9=-3(x-1)(x-3),由 f ′(x)>0 得,1<x<3. ∴f(x)在区间(1,3)上单调递增. (2)由 f ′(x)<0 得 x<1 或 x>3, ∴f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增,在[3,4]上 单调递减,f(0)=m,f(1)=m-4,f(3)=m,f(4)=m-4,且 m-4<m,∴m-4=2,∴m=6, ∴f(x)在[3,4]上的最大值为 m=6.

(文)(2011· 泉州二模)函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[- 1,1]上的最大值是( A.-2 C.2 B.0 D.4 )

解析:对函数求导后可知 f ′(x)=3x2-6x=3x(x- 2),则 f(x)在区间[-1,0]上递增,在[0,1]上递减,因此最 大值是 f(0)=2,故选 C. 答案:C

(理)已知 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有 最大值为 3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是( A.-37 C.-5 B.-29 D.以上都不对 )

解析:f ′(x)=6x2-12x,由 f ′(x)=0 得 x=0 或 x =2, x<0 或 x>2 时, ′(x)>0, 0<x<2 时, ′(x)<0, 当 f 当 f ∴f(x)在[-2,0]上单调增,在[0,2]上单调减, 由条件知 f(0)=m=3,∴f(2)=-5,f(-2)=-37, 故选 A. 答案:A

已知函数的单调性,求参数值或参数的取值范围

[例 3] 已知函数 f(x)=ax3+3x2-x+1 在 R 上是减函数, 求 a 的取值范围. 解析:f ′(x)=3ax2+6x-1. ∵f(x)是 R 上的减函数.∴f ′(x)≤0 恒成立. 即 3ax2+6x-1≤0 在 x∈R 上恒成立, ∴a<0 且 Δ=36+12a≤0,∴a≤-3.

点评:此类问题的易错点是 a=-3 时,该函数也是 R 上的减函数,符合题目要求,好多学生在解此类问题时,往 往丢掉等号.

(文)函数 y=x3+ax+b 在(-1,1)上为减函数,在(1, +∞)上为增函数,则( A.a=1,b=1 C.a=-3,b=3 ) B.a=1,b∈R D.a=-3,b∈R

解析:f ′(x)=3x2+a,由条件 f ′(1)=0, ∴a=-3,b∈R. 答案:D

(理)(2011· 陕西咸阳彩虹中学模拟)已知 a 为实数, f(x) =(x2-4)(x-a). (1)求导数 f ′(x); (2)若 f ′(-1)=0,求 f(x)在[-2,2]上的最大值和最 小值; (3)若 f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是单调增函 数,求 a 的取值范围.

解析:(1)由原式得 f(x)=x3-ax2-4x+4a, 所以 f ′(x)=3x2-2ax-4. 1 (2)由 f ′(-1)=0,得 a= , 2 1 此时有 f(x)=(x -4)(x- ),f ′(x)=3x2-x-4. 2
2

4 由 f ′(x)=0,得 x= ,或 x=-1, 3

4 50 9 又 f( )=- ,f(-1)= ,f(-2)=0,f(2)=0, 3 27 2 9 50 所以 f(x)在[-2,2]上的最大值为 ,最小值为- . 2 27 (3)f ′(x)=3x2-2ax-4 的图象为开口向上且过点 (0,-4)的抛物线, 由条件得 f ′(-2)≥0,f ′(2)≥0,
?4a+8≥0, ? 即? ?8-4a≥0, ?

所以-2≤a≤2.

所以 a 的取值范围为[-2,2].

已知函数极值求参数值或参数的取值范围
[例 4] (2011· 聊城模拟)函数 f(x)=x3-2ax+a 在(0,1)内 )

有极小值,则实数 a 的取值范围是( A.(0,3) C.(0,+∞) 3 B.(0, ) 2

D.(-∞,3)

分析:由 f(x)在(0,1)内有极小值知,f ′(x)=3x2-2a=0 在(0,1)内有解 x=x0, x<x0 时, ′(x)≤0, 0 时, ′(x)≥0. 且 f x>x f

3 2 解析: ′(x)=3x -2a, f ′(x)=0 得, f 令 a= x , ∵f(x) 2
2

在(0,1)内有极小值,∴f ′(x)=0 在(0,1)内有解,∴f ′(0)<0 3 且 f ′(1)>0,∴a∈(0, ),故选 B. 2
答案:B

点评:设 f ′(x)=0 的解为 x=x0,x0∈(0,1),则 x ∈(0,x0)时,f ′(x)=3x2-3x2=3(x+x0)(x-x0)<0,x∈ 0 (x0,1)时,f ′(x)>0,∴f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,1) 上单调递增,因此 x0 是 f(x)的极小值点.由于是选择题, 故解答过程中上述验证 f(x)能够取得极小值的过程可省 略,若是解答题,省去上述过程则解答过程不完整.

(文)已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和 极小值,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由于 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,有 f ′(x)= 3x2+2ax+(a+6). 若 f(x)有极大值和极小值,则 Δ=4a2-12(a+6)>0, 从而有 a>6 或 a<-3. 答案:a<-3 或 a>6

(理)(2011· 杭州二模)设 a∈R,若函数 y=eax+3x,x ∈R 有大于零的极值点,则( A.a>-3 B.a<-3 )

1 1 C.a>- D.a<- 3 3 解析:由 y′=(eax+3x)′=aeax+3=0 得 1 ? 3? x=aln?-a?>0 及 a<0, ? ?
? 3? 3 ∴ln?-a?<0,∴0<-a<1,∴a<-3. ? ?

答案:B

导函数与原函数图象的关系
[例 5]

已知函数 y=xf ′(x)的图象如右图所示(其中 f ′(x)是函 数 f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是 ( )

分析:导函数 f ′(x)与原函数 f(x)的图象之间的关 系,应抓住 f ′(x)>0 时,f(x)单调增,f ′(x)<0 时,f(x) 单调减.f(x)的极值点是 f ′(x)=0 的点.

解析:当 0<x<1 时,xf ′(x)<0 ∴f ′(x)<0,故 y=f(x)在(0,1)上为减函数 当 x>1 时,xf ′(x)>0,∴f ′(x)>0,故 y=f(x)在(1, +∞)上为增函数,因此否定 A、B、D.故选 C. 答案:C

(文)函数 f(x)的定义域为开区间(a, 导函数 f ′(x) b), 在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在(a,b)内的极 大值点有( )

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个

解析:由导函数的图象知,f(x)在(a,b)内变化情况 为增→减→增→减,故有两个极大值点. 答案:B

(理)(2010· 广东省东莞市模拟)已知函数 f(x)的导函数 f ′(x)的图象如图所示,那么函数 f(x)的图象最有可能的 是( )

解析:由图可知,当 x>0 时,f ′(x)<0,∴函数 f(x) 的图象在(0, +∞)上是单调递减的; x<-2 时, ′(x)<0, 当 f ∴函数 f(x)的图象在(-∞,-2)上也是单调递减的,所以 只有 A 符合,故选 A.

答案:A

综合应用
[例 6] (2011· 辽宁文, 20)设函数 f(x)=x+ax2+blnx, 曲

线 y=f(x)过 P(1,0),且在 P 点处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤2x-2.

分析:(1)由 f(x)的图象过点 P 可得 a,b 的一个方程,再 由 f(x)在点 P 处的切线斜率得出 a,b 的另一个方程,解方程 组可得 a,b 的值. (2)欲证 f(x)≤2x-2,即证 f(x)-2x+2≤0,可令 g(x)= f(x)-2x+2, 利用导数可求 g(x)的最大值 M, 则只要 x>0 时, M≤0,即可获证.

b 解析:(1)f ′(x)=1+2ax+x.
?f?1?=0, ? 由已知条件得? ?f ′?1?=2. ? ?1+a=0, ? 即? ?1+2a+b=2. ?

解得 a=-1,b=3. (2)f(x)的定义域为(0,+∞), 由(1)知 f(x)=x-x2+3lnx.

设 g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx,则 ?x-1??2x+3? 3 g′(x)=-1-2x+x=- . x 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0. 所以 g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减. 而 g(1)=0,故当 x>0 时,g(x)≤0,即 f(x)≤2x-2.

(文)(2011· 台州一模)已知函数 f(x)=xlnx. (1)求 f(x)的最小值; (2)讨论关于 x 的方程 f(x)-m=0(m∈R)的解的个数.

解析:(1)f(x)的定义域为(0,+∞), 1 f ′(x)=lnx+1,令 f ′(x)=0,得 x=e . 当 x∈(0,+∞)时,f ′(x),f(x)的变化情况如下:

x f ′(x) f(x)

1 (0, e) - ?↘

1 e 0 极小值

1 (e ,+∞) + ↗?

1 1 所以,f(x)在(0,+∞)上最小值是 f(e)=-e. 1 (2)当 x∈(0,e)时,f(x)单调递减且 f(x)的取值范围是 1 (- e,0); 1 当 x∈(e,+∞)时,f(x)单调递增且 f(x)的取值范围 1 是(-e,+∞).

1 ∴当 m<-e时, 直线 x=m 与函数 f(x)的图象无交点, ∴原方程无解; 1 当 m=- e或 m≥0 时, 直线 x=m 与函数 f(x)的图象 有一个公共点,∴原方程有唯一解; 1 当-e<m<0 时, 直线 x=m 与函数 f(x)的图象有两个 交点,∴原方程有两个解.

(理)函数 f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的偶函数,当 x∈[-1,0)时,f(x)=x3-ax (a∈R).

(1)当 x∈(0,1]时,求 f(x)的解析式; (2)若 a>3,试判断 f(x)在(0,1]上的单调性,并证明你 的结论; (3)是否存在实数 a,使得当 x∈(0,1]时,f(x)有最大 值-1?

分析:先用转化的方法求出 f(x)在(0,1]上的解析式, 然后求其导数 f ′(x),判断 f ′(x)的符号得出其单调性, 再结合单调性讨论其最值的存在性,判断能否取得最大 值-1.

解析:(1)当 x∈(0,1]时,-x∈[-1,0), f(-x)=-x3+ax, ∵函数 f(x)是偶函数, ∴f(x)=-x3+ax (x∈(0,1]). (2)f ′(x)=-3x2+a, ∵x∈(0,1],∴-3x2∈[-3,0), 又∵a>3,∴-3x2+a>0. 即 f ′(x)>0,∴f(x)在(0,1]上是增函数.

(3)a>3 时,f(x)在(0,1]上是增函数, f(x)max=f(1)=a-1. 由 a-1=-1?a=0(舍去). 当 0≤a≤3 时,由 f ′(x)=0,得 x= 且
? x∈?0, ? ?

a . 3

a? ? 时,f(x)是增函数, 3? ?

? x∈? ? ?

? a ? ,1?时,f(x)是减函数. 3 ?

∴x=
? ∴-? ? ?

a 时,f(x)取最大值. 3 a a ?3 ? +a· =-1, 3 3? ?

2 a 即 a· =-1,无解. 3 3 a<0 时, ′(x)<0, f f(x)在(0,1]上是减函数, f(x)在(0,1] 上无最大值, ∴不存在 a 使 x∈(0,1]时,f(x)有最大值-1.

一、选择题 1.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[-2,1]上的最大值、 最小值分别是( A.24;-8 ) B.1;-8

C.24;-15 D.5;-16 [答案] A

[解析]

y′=6x2-6x-12,由 y′=0?x=-1 或 x

=2(舍去).x=-2 时 y=1,x=-1 时 y=24,x=1 时 y =-8. ∴ymax=24,ymin=-8.故选 A.

2.(文)函数 y=ax3+bx2 取得极大值或极小值时的 x 1 的值分别为 0 和 ,则( 3 A.a-2b=0 C.2a+b=0 [答案] [解析] D 1 y′=3ax +2bx 由题设 0 和 是方程 3ax2+ 3
2

)

B.2a-b=0 D.a+2b=0

2bx=0 的两根,∴a+2b=0.

(理)若函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值, 则 实数 b 的取值范围是( A.(0,1) C.(0,+∞)
[答案] D

) B.(-∞,1)
? 1? D.?0,2? ? ?

[解析]

∵f ′(x)=3x2-6b,由题意知,函数 f ′(x)

图象如右图.
?f ? ∴? ?f ?

′?0?<0 , ′?1?>0 1 ,∴0<b< . 2

?-6b<0 ? ∴? ?3-6b>0 ?

二、填空题 3.(文)(2011· 银川二模)已知函数 y=f(x)的图象在点 1 M(1,f(1))处的切线方程为 y= x+2,则 f(1)+f ′(1)= 2 ________.
[答案] 3

1 [解析] ∵切点 M 在切线 y= x+2 上, 2 1 5 ∴f(1)= ×1+2= , 2 2 1 1 又切线斜率 k= ,∴f ′(1)= , 2 2 5 1 ∴f(1)+f ′(1)= + =3. 2 2

(理)设函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在 x=1 和 x=-1 处 均有极值,且 f(-1)=-1,则 a+b+c=________. [答案] [解析] 1 f ′(x)=3ax2+2bx+c,由题意知 f ′(1)=

3a+2b+c=0,f ′(-1)=3a-2b+c=0, 又 f(-1)=-a+b-c=-1, 1 3 可解得 a=- ,b=0,c= .∴a+b+c=1. 2 2

三、解答题 1 3 1 2 4.(文)(2011· 泰安模拟)若函数 f(x)= x - ax +(a 3 2 -1)x+1 在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,+∞)上为 增函数,试求实数 a 的取值范围.

[解析] 函数 f(x)的导数 f ′(x)=x2-ax+a-1. 令 f ′(x)=0,解得 x=1,或 x=a-1. 当 a-1≤1 即 a≤2 时,函数 f(x)在(1,+∞)上为增 函数,不合题意; 当 a-1>1 即 a>2 时,函数 f(x)在(-∞,1)上为增函 数, 在(1, a-1)上为减函数, 在(a-1, +∞)上为增函数.

依题意当 x∈(1,4)时,f ′(x)<0; 当 x∈(6,+∞)时,f ′(x)>0. 所以 4≤a-1≤6,解得 5≤a≤7. 所以 a 的取值范围为[5,7].

(理)(2011· 淄博模拟)设函数 f(x)=ax3+bx+c(a≠0) 为奇函数,其图象在 x=1 处的切线与直线 x-6y-7=0 垂直,导函数 f ′(x)的最小值为-12. (1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间,并求函数 f(x)在[- 1,3]上的最大值和最小值.

[解析]

(1)∵f(x)为奇函数,

∴f(-x)=-f(x), 即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,∴c=0. ∵f ′(x)=3ax2+b 的最小值为-12, ∴a>0,∴b=-12. 1 又直线 x-6y-7=0 的斜率为 , 6

因此 f ′(1)=3a+b=-6, ∴a=2,b=-12,c=0. (2)f(x)=2x3-12x, f ′(x)=6x2-12=6(x+ 2)(x- 2). 列表如下:

x f ′(x) f(x)

(-∞,- 2) + ?↗

- 2 0 极大值

(- 2, 2) - ↘?

2 0 极小值

( 2, +∞) + ?↗

所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2),( 2, +∞). ∵f(-1)=10,f( 2)=-8 2,f(3)=18, ∴f(x)在[-1,3]上的最大值是 f(3)=18,最小值是 f( 2)=-8 2.


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