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山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文科数学


烟台市 2012-2013 学年度第一学期模块检测 高三数学(文科)
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.使用答题纸时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写,作图时,可用 2B 铅笔.要字 迹工整,笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效. 3.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 一、选择题:本大题共 12

小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的个选项中,只有一个选 项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.设集合 A= {x | x ? ?1或x ? 1}, B ? {x | log 2 x ? 0} ,则 A ? B ? A. {x | x ? 1} 【答案】A 【解析】 B ? {x | x ? 1}, A ? B ? {x | x ? 1} ,故选 A. 2.下列四个图像中,是函数图像的是 B . {x | x ? 0} C. {x | x ? ?1} D. {x | x ? ?1或x ? 1}

【答案】B 【解析】由函数定义知(2)不符合,故选 B. 3.若非空集合 {x | x ? ?1或x ? 1}, B ? {x | log2 x ? 0},且若 a ? S ,则必有 6 ? a ? S, 则所有满 足上述条件的集合 S 共有 A.6 个 【答案】B 【解析】由题意知,集合 S 中包含的元素可以是 3,1 和 5,2 和 4 中的一组、两组、三组即 S={3},{1,5},{2,4},{3,1,5},{3,2,4},{1,5,2,4},{3,1,5,2,4},故选 B. 4.某公司在甲乙两地销售一种品牌车, (单位: 利润 万元) 分别为 L1 ? 5.06 x ? 0.15x 和 L2 ? 2x ,
2

B.7 个

C.8 个

D.9 个

其中 x 为销售量(单位:辆) 。若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润为 A.45.606 【答案】B 【解析】设在甲地销售 x 辆车,则在乙地销售 15- x 辆车.获得的利润为 B.45.6 C.45.56 D.45.51

y ? 5.06x ? 0.15x 2 ? 2(15 ? x) ? ?0.15x 2 ? 3.06x ? 30, 当 x ? ?

3.06 ? 10.2. 时, y 最 2 ? (?0.15)

大,但 x ? N ,所以当 x ? 10 时, ymax ? ?15 ? 30.6 ? 30 ? 45.6. 故选 B. 5.若向量 u ? (3,?6), v ? (4,2), w ? (?12,?6) ,则下列结论中错误的是 A. u ? v C. w ? u ? 3v 【答案】C 【解析】因为 u ? v ? 0 ,所以 u ? v ;又因 4 ? (?6) ? 2(?12) ? 0 ,所以 v // w ; u 与 v 为不共线 向量,所以对任一向量 AB ,存在实数 a, b ,使 AB ? au ? bv . 故选 C. 6.下列命题中,正确的是 A.若 a ? b, c ? d ,则 ac ? bc C.若 【答案】C 【解析】由不等式的性质知 C 正确.故选 C. 7.已知向量 a ? (cos? , sin ? ), 向量 b ? ( 3,?1), 则 | 2a ? b | 的最大值、最小值分别是 A. 4 2 ,0 【答案】D
2 【解析】 | 2a ? b | ? 4a ? b ? 4a ? b ? 4 ? 4 ? 4( 3 cos ? ? sin ? ) ? 8 ? 8 cos( ? ? 2 2

B. v // w D.对任一向量 AB ,存在实数 a, b ,使 AB ? au ? bv

B.若 ac ? bc ,则 a ? b D.若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d

a b ? 2 ,则 a ? b 2 c c

B.4, 4 2

C.16,0

D.4,0

?
6

),

故 | 2a ? b | 的最大值为 4,最小值为 0.故选 D. 8.已知函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象经过点(-1,3)和(1,1)两点,若 0<c<1,则 a 的
2

取值范围是

A. (1,3) 【答案】B 【解析】由题意知 ?

B. (1,2)

C. [2,3)

D. [1,3]

?a ? b ? c ? 3 , a ? c ? 2,? 0 ? c ? 1,? 0 ? 2 ? a ? 1,?1 ? a ? 2 ,故选 B. ?a ? b ? c ? 1

9.设动直线 x ? m 与函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ln x 的图象分别交于点 M、N,则|MN|的最小值为 A.

1 1 ? ln 2 2 2

B.

1 1 ? ln 2 2 2

C.

1 ? ln 2

D. ln 2 ? 1

【答案】A 【解析】 | MN |? x 2 ? ln x ,令 f ( x) ? x 2 ? ln x f ' ( x) ? 2 x ?

1 2x 2 ? 1 2 ? ,当 0 ? x ? 时, x x 2

f ' ( x) ? 0 ; 当 x ?

2 2 时 , f ' ( x) ? 0 ; ? 当 x ? 时 , f (x) 有 极 小 值 也 有 极 大 值 , 即 2 2

f ( x) min ? f (

2 1 1 1 1 ) ? ? ln ? ? ln 2. 故选 A 2 2 2 2 2
x ?2

10. 已知 f ? x ? ? a

若 y= , g ? x ? ? log a x ?a ? 0, a ? 1? , f ? 4? ? g ? ? ? ? , y= f ? x ? , g ? x ? 4 0 则

在同一坐标系内的大致图象是

【答案】B 【解析】由 f ? 4? ? g ? ?4? ? 0 因此可排除 A、C,而 知

a 2 ? loga 4 ? 0 ,? loga 4 ? 0 ,? 0 ? a ? 1 ,? f (x) 为减函数,
减函数,故选 B

g (x) 在 x ? 0 时也为

11. 某厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时,原油温度(单位:℃)为

f ( x) ?
A.8 【答案】C

1 3 x ? x 2 ? 8(0 ? x ? 5), ,那么原油温度的瞬时变化率的最小值为 3
B.

20 3

C.-1

D.-8

【解析】原油温度的瞬时变化率为 f ' ( x) ? x 2 ? 2x ? ( x ? 1) 2 ? 1(0 ? x ? 5), 故最小值为-1.因此 选 C. 12.函数 y ? sin x 的定义域为 [ a, b] ,值域为 [?1, ] ,则 b ? a 的最大值与最小值之差等于 A.

4?

B.

8? 3

1 2

C. 2?

D.

4? 3

【答案】C 【解析】由正弦函数的图象知 (b ? a ) min ? 以和为 2? .故选 C. 二、填空题.本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 13. 在 ?ABC 中,若 b ? 1, c ? 【答案】
2 2 2 【解析】由余弦定理 a ? b ? 2ab cosC ? c 知 a 2 ? a ? 2 ? 0, a ? 1,所以

?

? 2? 13? 5? 4? ? (? ) ? ? ? ,所 , (b ? a ) max ? 6 2 3 6 6 3

3,?C ?

2 ? ,则 S ?ABC ? __________ . ___ 3

S ?ABC ?

1 2? 3 ? 1 ? 1 ? sin ? . 2 3 4

?x ? 1 ? 0 ? 2 x? y 14. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则目标函数 z ? 3 的最小值是__. ?x ? y ? 3 ? 0 ?
【答案】

M

【解析】可行域如图,

显 然 当 直 线 u ? 2 x ? y 过 M(-2,1) 时 ,

u min ? ?3, z min ? 3 ?3 ?
15.已知函数 y ?

1 . 27

| x2 ?1| 的图象与函数 y ? kx ? 2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围 x ?1

是______________.

【答案】 0 ? k ? 4且k ? 1 【 解 析 】 函 数

y?

| x 2 ? 1| ( x ? 1)( x ? 1) ? x ? 1,x ? 1或x ? ?1 ? =? x ?1 x+1 ?1 ? x, ?1 ? x ? 1

,作出函数图象,直线 y ? kx ? 2 过定点 A(0,2) , 其中 B(?1, ? 2) , k AB ? 4 ,根据图象可知要使两个函 数的交点个数有两个,则直线斜率满足

0 ? k ? 4且k ? 1 。
16.下列命题: ①若函数 f ( x) ? lg( x ?

x 2 ? a ) 为奇函数,则 a =1;

②函数 f ( x) ?| sin x | 的周期 T ? ?; ③方程 lg x ? sin x 有且只有三个实数根; ④对于函数 f ( x) ?

x ,若 0 ? x1 ? x2 ,则 f (

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? . 2 2

以上命题为真命题的是 【答案】①②③

. (写出所有真命题的序号)

【解析】由函数为奇函数知 f (0) ? 0 即 lg a ? 0 ? a ? 1.故①正确,易知②也正确,由图象可 知③正确,④错误. 三、解答题.本大题共 6 个小题,共 74 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步 骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? sin ? , cos? ? 2 sin ?) b ? (1,2) , , ( (1) (2) 若 a // b ,求 tan ? 的值; 若 | a |?| b | , 0 ? ? ? ? ,求 ? 的值.

18. (本小题满分 12 分)已知 a 是实数,试解关于 x 的不等式: x ? 19. (本小题满分 12 分)

x 2 ? 2x ? a x ?1

已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ? a ? 1(a ? R, a 是常数).

(1)求 f (

5? ) 的值; 3

(2) 若函数 f (x) 在 ?-

? ? ?? , ? 上的最大值与最小值之和为 3 ,求实数 a 的值. ? 4 4?

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e x ? x ( e 为自然对数的底数) (1)求 f (x) 的最小值; (2)设不等式 f ( x) ? ax 的解集为 P,且 {x | 0 ? x ? 2} ? P ,求实数 a 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分)为方便游客出行,某旅游点有 50 辆自行车供租赁使用,管理这些自行车 的费用是每日 115 元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若 超过 6 元,则每超过 1 元,租不出的自行车就增加 3 辆. 为了便于结算,每辆自行车的日租金 x (元)只取整数,并且要求出租自行车一日的收入必须 高于这一日的管理费用,用 y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日出租自行车的总收入减 去管理费用后的所得) (1) 求函数 y ? f (x) 的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?

(, 22. (本小题满分 14 分)函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,过曲线 y ? f (x) 上的点 P 1 f (1)) 的
切线方程为 y ? 3x ? 1. . (1)若 y ? f (x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f (x) 的表达式; (2)在(1)的条件下,求 y ? f (x) 在[-3,1]上的最大值; (3)若函数 y ? f (x) 在区间[-2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围.

高三数学(文科)答案
一、选择题: 1. A 2. B 3.B 二、填空题: 13. 4.B 5.C 6.C 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12.C

3 4

14.

1 15. 0 ? k ? 4且k ? 1 27

16. ①②③

17.解: (1)因为 a // b ,所以 2 sin ? ? cos ? ? 2 sin ? , 于是 4 sin ? ? cos ? ,故 tan ? ? (2)

………2 分 ………4 分

1 4

由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos? ? 2 sin ? ) 2 ? 5, ………6 分

所以 1 ? 2 sin 2? ? 4 sin 2 ? ? 5, 从而

? 2 sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 即 sin 2? ? cos 2? ? ?1

于是 sin(2? ?

?
4

)??

2 . 2
? 2? ?

………9 分

4 ? 5? ? 7? . 所以 2? ? ? 或 2? ? ? 4 4 4 4 ? 3? 因此 ? ? 或 ? ? 4 2
18.解:原不等式同解为 ?

又由 0 ? ? ? ? 知,

?
4

?

?

9? , 4

………12 分

?( x ? a)(x ? 1) ? 0 ?x ? 1

………3 分

当 a ? ?1 时,原不等式的解集为 (??,?a] ? (1,??), ………6 分 当 a ? ?1 时,原不等式的解集为 x | x ? 1 x ? R} { , ………9 分

当 a ? ?1 时,原不等式的解集为 (??,1) ? [?a,??), ………12 分 19.解: (1) f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)?a

………3 分 ………5 分

f(

5? 10? ? ) ? 2 sin( ? )?a ? a?2 3 3 6

(2) ? x ? [?

? ?

? ? 2? ? 3 , ],? 2 x ? ? [? , ], sin(2 x ? ) ? [? ,1] ………7 分 4 4 6 3 3 6 2

? ? 3 ? a ? f ( x) ? 2 ? a

,即 ymin ? ? 3 ? a, ymax ? 2 ? a,

………10 分

由已知得 ? 3 ? a ? 2 ? a ? 3,? a ? 1

………12 分

20.解:(1) f ' ( x) ? e x ? 1, 令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 0 ;令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 0 ………3 分 从而在 (??,0) 内单调递减, (0,??) 内单调递增.所以,当 x ? 0 时

f (x) 取得最小值 1.

………5 分

(2) 因为不等式 f ( x) ? ax 的解集为 P,且 {x | 0 ? x ? 2} ? P , 所以,对任意的 x ? [0,2] ,不等式 f ( x) ? ax 恒成立, ………6 分

x 由 f ( x) ? ax 得 (1 ? a) x ? e .当 x ? 0 时, 上述不等式显然成立, 故只需考虑 x ? (0,2]

的情况.

………7 分
x

ex ?1 将 (1 ? a) x ? e 变形得 a ? x
令 g ( x) ?

………8 分

ex ( x ? 1)e x ? 1 , g ' ( x) ? x x2
………10 分

令 g ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ;令 g ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 1.

从而 g (x) 在(0,1)内单调递减,在(1,2)内单调递增.所以,当 x ? 1 时, g (x) 取 得最小值 e ? 1 ,从而所求实数的取值范围是 (??, e ? 1) . ………12 分

, 21.解: (1)当 x ? 6 时 y ? 50x ? 115
令 50 x ? 115 ? 0 ,解得 x ? 2.3

? x ? N *,? x ? 3,? 3 ? x ? 6, x ? N *, , 当 x ? 6 时, y ? [50 ? 3( x ? 6)]x ? 115

………2 分

令[50 ? 3( x ? 6)]x ? 115 ? 0,3x 2 ? 68x ? 115 ? 0
上述不等式的整数解为 2 ? x ? 20( x ? N *),

? 6 ? x ? 20( x ? N *)



(3 ? x ? 6, x ? N *) ?50x ? 115 y?? 2 ?? 3x ? 68x ? 115(6 ? x ? 20, x ? N *)
………6 分

定义域为 {x | 3 ? x ? 20, x ? N *) (2)对于 y ? 50x ? 115

(3 ? x ? 6, x ? N *) ,
………8 分

显然当 x ? 6 时, y max ? 185(元)
2

对于 y ? ?3x ? 68 x ? 115 ? ?3( x ? 3 ) ? 3 (6 ? x ? 20, x ? N *)
2

34

811

当 x ? 11 时, ymax ? 270 (元)

………10 分

? 270 ? 185 ,
∴当每辆自行车的日租金定在 11 元时,才能使一日的净收入最多. ………12 分 22. 解: (1)由 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 得 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b , 过 y ? f (x) 上点 P(1, f (1)) 的切线方程为 y ? f (1) ? f ' (1)(x ? 1) , 即 y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)(x ? 1) . 而过 y ? f (x) 上点 P(1, f (1)) 的切线方程为 y ? 3x ? 1 , 故?

?3 ? 2a ? b ? 3 ?2a ? b ? 0 即? ?1 ? a ? b ? c ? 4 ?a ? b ? c ? 3

………3 分

' ? ? ∵ y ? f (x) 在 x ? ?2 处有极值,故 f(- 2) 0, -4a ? b ? ?12.
联立解得 a ? 2, b ? ?4, c ? 5,? f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 . ………5 分

2 (2) f ' ( x) ? 3x ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)(x ? 2) ,令 f ' ( x) ? 0 得 x ? 3 或x ? ?2.

2

………7 分 列下表:

x
-3 (-3,-2) -2

(-2,

2 ) 3


2 3
0 极 小 值



2 , 3

1

1) +

f ' ( x) f (x)
8

+

0 极 大 值

4

因此, f (x) 的极大值为 f (?2) ? 13 ,极小值为 f ( 3 ) ? 27 , 又? f (?3) ? 8, f (1) ? 4,? f ( x) 在 [?3,1] 上的最大值为 13.……10 分
2 (3) y ? f (x) 在 [?3,1] 上单调递增,又 f ' ( x) ? 3x ? 2ax ? b ,

2

95

由(1)知 2a ? b ? 0. ? f ' ( x) ? 3x 2 ? bx ? b ,依题意在 [?2,1] 上恒有 f ' ( x) ? 0 ,即

3x 2 ? bx ? b ? 0 即 b( x ? 1) ? 3x 2 在 [?2,1] 上恒成立.当 x ? 1 时恒成立; x ? [?2,1) 时, 当 x ? 1 ? [?3,0) ,此时 b ?
3

3x 2 3 ? 3( x ? 1) ? ?6 x ?1 x ?1

……12 分

而 3( x ? 1) ? x ? 1 ? ?6(? x ? 1 ? [?3,0)) 当且仅当 x ? 0 时成立

? 3( x ? 1) ?

3 ?6?0 x ?1 3 ? 6 恒成立,只须 b ? 0 .……14 分 x ?1

要使 b ? 3( x ? 1) ?


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