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冶金动量传输原理习题课2


第三章 描述立体运动的方法
本章是研究流体运动学的基础,需要掌握的知识点:
?

描述流体运动的两种方法:拉格朗日法和欧拉法 两种方法的相互转换 定常流与非定常流 流线、迹线以及各自的函数形式 流管、流束、流量的概念
1

?

?

?

?

选择题答案
3-1b;3-2 a;3-3 c;3-4 c;

2

习题3-7
解:判断流体的流动状态时,需要根据雷诺数来警醒判 断:
vm d Re = v
v m d 1 × 200 × 10 ? 3 = = 2 × 10 5 Re = v 1 × 10 ? 6
vm d 0 . 2 × 150 × 10 ? 3 Re = = = 107 . 1 ? 5 v 28 × 10

(1) (2)

将(1)、 (2)与2300比较,知:(1)湍流; (2) 层流
3

习题3-10
解:根据欧拉法中速度的定义:

?x ? ?Vx ( x, y, z , t ) = ?t ? ?y ? ?V y ( x, y , z , t ) = ?t ? ?z ? ?Vz ( x, y, z, t ) = ?t ?

dx ? k y ? = ? 1 dt ? dy ? k x = ?1 dt ? ? dz k = ? 2 dt ?

① ②

(1)



由于(1)中的 ① ② 相互耦合,对 ① 两边再对t求导: 将 ② 带入到所求的结果中得到: d 2 x 2

dt

2

+ k1 x = 0

4

习题3-10

d x 2 + k1 x = 0 2 dt

2

是个常微分方程,解这个常微分方程

得: x = c1 cos( k1t ) + c2 sin( k1t ) 将x带入原方程得: y = c1 sin( k1t ) ? c2 cos( k1t )
z = k 2t + c3

再根据初始条件 t = 0 时刻 x = a; y = b; z = c

5

常微分方程求解
型如: y '' + py ' + qy = 0的常微分方程解为:

当特征方程: r 2 + pr + q = 0的根为一下情况时: 1、有两个不相等的实根 r1r2时:y = C1e r1 x + C2 e r2 x 2、有两个相等的实根时 :y = (C1 + C2 x )e r1 x 3、有一对共轭复根 r12 = α ± iβ 时:y = eαx (C1 cos β x + C2 sin β x )

6

习题3-10
得: ?c = a 1

? ?c2 = ?b ?c = c ? 3

于是得到拉格朗日法表示为:
x = a cos( k1t ) ? b sin( k1t ) y = a sin( k1t ) + b cos( k1t ) z = k 2t + c
7

习题3-11
解:根据随体导数定义:
?v x ?v x ?v x ?v x ? + vx + vy + vz ?a x = ?t ?x ?y ?z ? ? ?v y ?v y ?v y ?v y ? + vx + vy + vz ?a y = ?z ?t ?x ?y ? ? ?v ?v ?v ?v ?a z = z + v x z + v y z + v z z ?z ?y ?x ?t ? ?

8

习题3-11
将速度带入随体导数中得:

?v x ?v x ?v x ?v x ? v v v + + + = a x y z ? x t x y ?z ? ? ? ? ? ?v y ?v y ?v y ?v y ? a v v v + + + = ? y x y z t x y ?z ? ? ? ? ? ?v ?v ?v ?v ?a z = z + v x z + v y z + v z z ?t ?x ?y ?z ? ?

2? a x = 0 + x 2 y (2 xy ) + (? 3 y )? ?x ? + 0 ? ? = 2 x3 y 2 ? 3x 2 y a y = 0 + (?3 y )(?3) + 0 + 0 = 9y

9

习题3-11
将速度带入随体导数中得:
a z = 0 + 0 + 0 + 8z3 = 8z 3

?v x ?v x ?v x ?v x ? v v v + + + = a x y z ? x t x y ?z ? ? ? ? ? ?v y ?v y ?v y ?v y ? a v v v + + + = ? y x y z t x y ?z ? ? ? ? ? ?v ?v ?v ?v ?a z = z + v x z + v y z + v z z ?t ?x ?y ?z ? ?

ax = 2 将点 (1,2,3) 带入 a x , a y, a z 中得: ? ? ?

?a y = 18 ? ? ?a z = 216
10


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