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辽宁名校2011届高三数学单元测试:统计案例、框图


辽宁名校 2011 届高三数学单元测试—统计案例、框图
注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ 卷和第Ⅱ 卷两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.答第Ⅰ 卷前务必将自己的姓名.考号.考试科目涂写在答题卡上.考试结束,试题和 答题卡一并收回. 3.第Ⅰ 卷每题选出答案后,都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD)涂 黑,如需改动,必须先用橡皮

擦干净,再改涂其它答案.

第Ⅰ 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列说法中错误的是 ( ) A.如果变量

x 与 y 之间存在着线性相关关系,则我们根据试验数据得到的点 x 与 y 之间不存在着线性关系,那么根据它们的一组数据

( xi , yi )(i ? 1,2,?, n) 将散布在某一条直线的附近
B.如果两个变量

( xi , yi )(i ? 1,2,?, n) 不能写出一个线性方程
? ? bx ? a ,b 叫 C. 设 x ,y 是具有相关关系的两个变量, 且 x 关于 y 的线性回归方程为 y
做回归系数 D.为使求出的线性回归方程有意义,可用统计检验的方法来判断变量 y 与 x 之间是否存 在线性相关关系 2.对两个变量 y 与 x 进行线性回归分析,分别选择了 4 个不同的模型,它们的相关系数 r 如 下,其中拟合程度最好的模型是 ( ) A .模型 1 的相关系数 r 为 0.98 B. 模型 2 的相关系数 r 为 0.80 C. 模型 3 的相关系数 r 为 0.50 D. 模型 4 的相关系数 r 为 0.25 3.下列判断不正确的是 ( ) A.画工序流程图类似于算法的流程图,自上而下,逐步细化 B.在工序流程图中可以出现循环回路 C.工序流程图中的流程线表示两相邻工序之间的衔接关系 D.结构图中基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系 4. 为了探究色盲是否与性别有关, 调查的 350 名男性中有 39 名色盲患者,500 名女性中有 6 名色盲患者,那么下列说法正确的是 ( ) A.色盲与性别没有关系 B.色盲与性别关系很小 C.有很大的把握说色盲与性别有关 D.ABC都不正确 5.若回归直线方程中的回归系数 b ? 0 ,则相关指数 ( ) A. r ? 1 B. r ? 0 C. r ? ? 1 D.无法确定 6.已知 y 与 x 之间数据如下表所示,则 y 与 x 之间的线性回归方程过点 ( )

x

1.08

1.12

1.19

1.28

y
A . ? 0, 0 ?

2.25

2.37

2.40

2.55
?

B. ?1.1675,0?

C. ? 0,2.3925?

D. ?1.1675,2.3925? ( )

7.人的年龄 x 与人体脂肪含量的百分数 y 的回归方程为 y ? 0.577 x ? 0.448 ,如果某人 36 岁,那么这个人的脂肪含量 A.一定 20.3% C.无任何参考数据 8.下面的结构图,总经理的直接下属是 B.在 20.3% 附近的可能性比较大 D.以上解释都无道理 总经理 ( )

总工程师

专家办公室

咨询部

监理部

信息部

开发部

财务部

后勤部

编辑部

A.总工程师和专家办公室 B.开发部 C.总工程师、专家办公室和开发部 D.总工程师、专家办公室和所有七个部 9.大学生和研究生毕业的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如 下表所示: 硕士 男 女 合计 162 143 305 博士 27 8 35 合计 189 151 340

根据以上数据,则 ( ) A.性别与获取学位类别有关 B.性别与获取学位类别无关 C.性别决定获取学位的类别 D.以上都是错误的 10. 为了评价某个电视栏目的改革效果, 在改革前后分别从居民点抽取了 100 位居民进行调查, 经过计算 K ? 0.99 ,根据这一数据分析,下列说法正确的是
2





A.有 99 % 的人认为该栏目优秀 B.有 99 % 的人认为该栏目是否优秀与改革有关系 C.有 99 % 的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系 D.没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系 11.为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系,调查了 1520 青少年及其家长,得数据如下 子女吸烟 子女不吸烟 合计 父母吸烟 237 678 915 父母不吸烟 83 522 605 合计 320 1200 1520 ( )

则下列结论较准确的一个是 A.子女吸烟与父母吸烟无关 B.有 95% 的把握说子女吸烟与父母吸烟有关 C.有 99% 的把握说子女吸烟与父母吸烟有关 D.有 99.9% 的把握说子女吸烟与父母吸烟有关 12.为了表示 n 个点与相应回归直线在整体上的接近程度,我们表示它常用





A.

? ? ? ? yi ? yi ? ? ? i ?1 ?

n

B.

??
n i ?1

yi ? y

?

C.

? ? ? ? yi ? yi ? ? ? i ?1 ?

n

2

D .

??
n i ?1

yi ? y

?

2

第Ⅱ 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在横线上. 13.有下列关系: (1)人的年龄与其拥有的财富之间的关系; (2)曲线上的点与该点的坐标 之间的关系; (3)苹果的产量与气候之间的关系; (4)森林中的同一树木,其横截面直 径与高度之间的关系; (5)学生与其学校之间的关系.其中有相关关系的是 . 14.在对两个分类变量进行独立性检验时,我们若计算得到 K 2 ? 4.05 ,则我们所做出的判断 出错的可能性是 . 15.对于一组数据的两个回归模型,我们计算的残差平方和分别是 168 和 197 ,那么拟合效果 较好的是 . 16.下面的图示中,是流程图的是 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分)某化工厂为预测某产品的回收率 y ,需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的相关关系,现取 8 对观测值,计算得 求 y 与 x 之间的回归直线方程. (精 ? xi ? 52, ? yi ? 228, ? xi2 ? 478, ? xi yi ? 1849 ,
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 8 8 8 8

确到 0.01 )

18. (本题满分 12 分)在一个数据组中,已知

?? x ? x?
i

2



?? y ? y?
i

2

的两倍,

? ? x ? x ?? y ? y ? 是 ? ? y ? y ?
i i

2

i

的 1.2 倍 ,试 求这 组数 据的 相关 系数 r . ( 精确 到

0.001 )

19. (本题满分 12 分)在一次恶劣气候的飞机航程中,调查了男女乘客在飞机上晕机的情况: 男乘客晕机的有 24 人,不晕机的有 31 人;女乘客晕机的有 8 人,不晕机的有 26 人。请 你根据所给数据判断是否在恶劣气候飞行中,男人比女人更容易晕机.

20. (本题满分 12 分)在对人们饮食习惯的一次调查中,共调查了 124 人,其中六十岁以上 的 70 人,六十岁以下的 54 人,六十岁以上的人中有 43 人的饮食以蔬菜为主,另外 27 (1) 人则以肉类为主; 六十岁以下的人中有 21 人饮食以蔬菜为主, 另外 33 人则以肉类为主. 根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)判断人的饮食习惯是否与年龄有关,并做简 要分析.

21. (本题满分 12 分)变量 x 与 y 具有线性相关关系,当 x 取值为 16 , 14 , 12 , 8 时,通过观测 得到 y 的值分别为 11 , 9 ,8 ,5 .若在实际问题中, y 的预报最大取值是 10 ,则正整数 x 的最大值是多少?

22. (本题满分 14 分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 ( x 吨) 与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据 x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 y ? bx ? a ; (3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤;试根据(2)求出的线 性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准 煤?

参考答案
一、选择题 1. 【解析】B 任何一组 ( xi , yi )(i ? 1,2,?, n) 都能写出一个线性方程,只是有无意义的问题. 2. 【解析】A 相关系数的绝对值约接近 1 ,拟合程度越好。 3. 【解析】B 在工序流程图中不能出现循环回路.因为每个工序是不能重复执行. 4. 【解析】C 计算 K 或比例都行,男性色盲患者已经超过 10% ,而女性仅 1% 多一点,我们 应该有很大的把握说色盲与性别有关. 5. 【解析】B 由于在回归系数 b 和相关指数的计算公式中,它们的分子相同,故选B. 6. 【解析】D 线性回归方程必过样本中心点 x, y . 7. 【解析】B 将 x ? 36 代如计算知 y ? 20.324 ,根据回归分析的意义知选B. 8. 【解析】C 按照结构图的表示一目了然,就是总工程师、专家办公室和开发部。读结构图 的顺序是按照从上到下,从左到右的顺序. 9. 【解析】A 直观上可以看出在博士学位男的比例远远高于在硕士学位中的比例. 10. 【解析】D 只有 K ? 6.635 才能有 99 % 的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系,而
2
2

? ?

即使 K ? 6.635 也只是对"电视栏目是否优秀与改革有关系"这个论断成立的可能性大
2

小的结论,不是做的是否有 99% 的人等无关.故选D.

1520 ? ? 237 ? 522 ? 83 ? 678 ? 11. 【解析】D K ? ? 32.52 ? 10.828 . 915 ? 605 ? 320 ?1200
2 2

12. 【解析】C 残差平方和. 二、填空题 13. 【解析】 (1) (3) (4) 14. 5% 【解析】填 . 15. 【解析】填残差平方和是 168 的那个模型. 16. 【解析】① ② ① ② 为流程图,③ ④ 为结构图. 三、解答题

17. 【解析】由回归系数的计算公式得 b ?

? x y ? 8x y ?x
i ?1 i ?1 8 i i 2 i

8

?8 x

??

2

? 2.62 ,……6 分

a ? y ? ax ? 11.47 ,……10 分
故所求的回归直线方程为 y ? 11.47 ? 2.62 x .……12 分
?

18. 【解析】 r ?

? ? x ? x ?? y ? y ? ?? x ? x? ?? y ? y?
i i 2 i i

2

,……4 分



?? y ? y?
i
i

2

? a ,则

? ? x ? x ?? y ? y ? ? 1.2a , ……6 分
i

? ? x ? x?
i

2

, ……8 分 ?2 a ……12 分

故r ?

1.2a 1.2 ? ? 0.849 2a a 2
晕机

19. 【解析】根据题意,列出列联表如下: 不晕机 31 26 57 合计 55 34 89 男 女 合计 24 8 32

……6 分 提出统计假设, H 0 :在恶劣气候飞行中男人与女人一样容易晕机. 计算

K2 ?

89(24 ? 26 ? 31? 8) 2 ? 3.689 55 ? 34 ? 32 ? 57

由于 K 2 ? 2.706 ,故我们有 90% 的把握认为在这次航程中男人比女人更容易晕机.…12 分 20. 【解析】 .(1)2×2 的列联表如下: 主食蔬菜 六十岁以下 六十岁以下 合计 21 43 64 主食肉类 33 27 60 合计 54 70 124 ……6 分 (2) 提出统计假设, H 0 :假设人的饮食习惯与年龄无关.

K2 ?

124(43 ? 33 ? 27 ? 21) 2 ? 6.201 70 ? 54 ? 64 ? 60

当统计假设 H 0 成立时,K 2 ? 5.024 的概率约为 2.5% , 即有 97.5% 9 的把握认为“人的饮 食习惯与年龄有关”.……12 分 21. 【解析】 x ? 12.5 , y ? 8.25 , 则b ?

? x y ? 438 , ? x
i i

2 i

? 660 .……6 分

438 ? 4 ?12 ? 8.25 ? 0.7286 , a ? y ? bx ? ?0.8575 ,……10 分 660 ? 4 ?12.52

故回归直线方程为 y ? ?8575 ? 0.7286x ,由 y ? 10 ,得 x ? 14.90 ,故正整数 x 的最大 值是 15 . ……12 分

22. 【解析】

(1)散点图如右 (2)方法一:设线性回归方程为 y ? bx ? a ,则

;……4 分

f (a, b) ? (3b ? a ? 2.5)2 ? (4b ? a ? 3) 2 ? (5b ? a ? 4) 2 ? (6b ? a ? 4.5)2 ? 4a 2 ? 2a(18b ? 14) ? (3b ? 2.5)2 ? (4b ? 3)2 ? (5a ? 4)2 ? (6b ? 4.5)2

∴ a?

7 ? 9b ? 3.5 ? 4.5b 时, f (a, b) 取得最小值 2

(1.5b ?1)2 ? (0.5b ? 0.5)2 ? (0.5b ? 0.5)2 ? (1.5b ?1)2 ,

5 b ? 0.7, a ? 0.35 时 f ? a, b ? 取得最小值. 即 0.5[(3b ? 2)2 ? (b ? 1)2 ] ? 5b2 ? 7b ? ,∴ 2 所以线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 .……10 分

方法二:由系数公式可知, x ? 4.5, y ? 3.5, b ?
a ? 3.5 ? 0.7 ?

66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 66.5 ? 63 ? ? 0.7 5 86 ? 4 ? 4.52

9 ? 0.35 ,所以线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 . 2 (3)x=100时, y ? 0.7 x ? 0.35 ? 70.35 ,所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比

技术改造前降低 19.65 吨标准煤.……14 分 【点评】本题考查回归分析的基本思想,是课标区三年来考查的唯一的一道解答题。求 线性回归方程的方法一这实际上是重复了回归系数公式的推导过程,这里的另一个解决 方法是对 f ? a, b? 我们再按 b 集项,
2 即 f ? a, b ? ? 86b ? (36a ? 133)b ? ? a ? 2.5 ? ? ? a ? 3? ? ? a ? 4 ? ? ? a ? 4.5 ? ,而这个 2 2 2 2

133 ? 36a 时 f ? a, b? 有最小值, 结合上面解法中 a ? 3.5 ? 4.5b 时 f ? a, b? 有 172 最小值,组成方程组就可以解出 a ,b 的值;方法二前提是正确地使用回归系数的计算公 式,一般考试中都会给出这个公式,但要注意各个量的计算;最后求出的 19.65 是指的平
时候, 当b ? 均值或者是估计值,不是完全确定的值.对于本题我们可以计算题目所给的数据组的相
2 关系数 r ? 0.9899 ,相关指数 R ? 0.98 .这说明 x , y 具有很强的线性相关性,说明解

释变量对预报变量的贡献率是 98% ,即耗煤量的 98% 是来自生产量,只有约 2% 来自其 它因素,这与我们的直观感觉是十分符合的.

高 考 资

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