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二项式定理典型例题


二项式定理典型例题-典型例题一
1 ? ? 例 1 在二项式 ? x ? ? 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中所有有 4 2 x? ?
理项. 分析:本题是典型的特定项问题,涉及到前三项的系数及有理项,可以通过抓通项公 式解决. 解:二项式的展开式的通项公式为:
n

Tr ?1 ? C ( x )
r n



n?r

1 ? 1 ? ? 4 ? ? Cr n r x 2 ?2 x ?

r

2 n ?3 r 4

前三项的 r ? 0,1,2.
1 得系数为: t1 ? 1, t 2 ? C n

由已知: 2t 2 ? t1 ? t 3 ∴n ? 8 通项公式为
r Tr ?1 ? C8

1 1 1 1 ? n, t3 ? C 2 ? n(n ? 1) , n 2 2 4 8 1 n ? 1 ? n(n ? 1) , 8

1 x 2r

16 ?3r 4

r ? 0,1,2?8, Tr ?1 为有理项,故 16 ? 3r 是 4 的倍数,

∴ r ? 0,4,8.
4 4 依次得到有理项为 T1 ? x , T5 ? C8

1 35 1 ?2 1 2 x? x, T9 ? C8 ? x . 8 8 x 4 2 8 2 256

说明: 本题通过抓特定项满足的条件, 利用通项公式求出了 r 的取值, 得到了有理项. 类 似地,( 2 ? 3 3)100 的展开式中有多少项是有理项?可以通过抓通项中 r 的取值,得到共有 17 页 系数和为 3n .

典型例题四
例 4 (1)求 (1 ? x) (1 ? x) 展开式中 x 的系数; (2)求 ( x ?
3 10
5

1 ? 2) 6 展开式中的常 x

数项. 分析:本题的两小题都不是二项式展开,但可以转化为二项式展开的问题, ( 1)可以 视为两个二项展开式相乘; (2)可以经过代数式变形转化为二项式. 解: (1) (1 ? x) (1 ? x) 展开式中的 x 可以看成下列几种方式得到,然后合并同类项:
3 10
5

5 5 用 (1 ? x)3 展开式中的常数项乘以 (1 ? x)10 展开式中的 x 5 项,可以得到 C10 x ;用 4 4 4 5 (1 ? x)3 展开式中的一次项乘以 (1 ? x)10 展开式中的 x 4 项可得到 (?3x)(C10 x ) ? ?3C10 x ; 3 3 3 5 用 (1 ? x)3 中的 x 2 乘以 (1 ? x)10 展开式中的 x 3 可得到 3x 2 ? C10 用 (1 ? x)3 中的 x ? 3C10 x ; 2 2 2 5 x 3 项乘以 (1 ? x)10 展开式中的 x 2 项可得到 ? 3x3 ? C10 x ? ?C10 x ,合并同类项得 x 5 项为:
5 4 3 2 (C10 ? C10 ? 3C10 ? C10 ) x5 ? ?63x5 .

(2) x ?

? 1 1 ? ?2?? x? ? ? ? x x? ?
12

2

? 1 1 ? ( x ? ? 2) 5 ? ? x? ? ? ? . x x? ? ? 1 ? r 12 ? r ? 1 ? r 6? r ? 由? x ,可得展开式 ? ? C12 ? x? ? 展开式的通项公式 Tr ?1 ? C12 ( 2 ) ? x ? ? ? x?
6 的常数项为 C12 ? 924.
12

r

说明:问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.

典型例题五
例 5 求 (1 ? x ? x ) 展开式中 x 5 的系数.
2 6

分析: (1 ? x ? x ) 不是二项式,我们可以通过 1 ? x ? x ? (1 ? x) ? x 或 1 ? ( x ? x )
2 6 2 2 2

把它看成二项式展开. 解:方法一: (1 ? x ? x 2 )6 ? (1 ? x) ? x 2

?

?

6

? (1 ? x6 ) ? 6(1 ? x)5 x 2 ? 15(1 ? x)4 x 4 ? ?
5 3 5 5 5 其中含 x 的项为 C5 C1 6 x ? 6C5 x ? 15 4 x ? 6x .
5 5

含 x 项的系数为 6. 方法二: (1 ? x ? x 2 ) 6 ? 1 ? ( x ? x 2 )

?

?

6

? 1 ? 6( x ? x2 ) ? 15( x ? x2 )2 ? 20( x ? x2 )3 ? 15( x ? x2 )4 ? 6( x ? x 2 )5 ? ( x ? x2 )6
其中含 x 的项为 20(?3) x ? 15(?4) x ? 6x ? 6x .
5

5

5

5

5

∴ x 5 项的系数为 6. 方法 3:本题还可通过把 (1 ? x ? x 2 )6 看成 6 个 1 ? x ? x 2 相乘,每个因式各取一项相乘
5 可得到乘积的一项, x 5 项可由下列几种可能得到.5 个因式中取 x,一个取 1 得到 C5 6x . 1 3 2 3 个因式中取 x,一个取 ? x 2 ,两个取 1 得到 C3 6 ? C3 x ? (? x ) . 2 2 2 1 个因式中取 x,两个取 ? x 2 ,三个取 1 得到 C1 6 ? C5 x ? (? x ) .
5 3 1 1 2 5 5 合并同类项为 (C5 6 ? C6C3 ? C6C5 ) x ? 6 x , x 项的系数为 6.

典型例题六
2 n n?1 例 6 求证: (1) C1 ; n ? 2Cn ? ? ? nCn ? n ? 2
0 (2) C n ?

1 1 1 2 1 1 Cn ? Cn ? ? ? Cn (2 n ?1 ? 1) . n ? 2 3 n ?1 n ?1

分析:二项式系数的性质实际上是组合数的性质,我们可以用二项式系数的性质来证 明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值. 解决这两个小题的关键是通过组合数公式 将 等 式 左 边 各 项 变 化 的 等 数 固 定 下 来 , 从 而 使 用 二 项 式 系 数 性 质
1 2 n n C0 n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 .

解: (1)? kC n ? k ?
k

n! n! (n ? 1)! ?1 ? ? n? ? nCk n ?1 k!(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )!

1 n?1 ∴左边 ? nC0 n?1 ? nCn?1 ? ?? nCn?1 1 n?1 n?1 ? n(C0 ? 右边. n?1 ? Cn?1 ? ?? Cn?1 ) ? n ? 2

(2)

1 1 n! n! Ck ? ? n ? k ?1 k ? 1 k!(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )!

?

1 (n ? 1)! 1 ?1 ? ? Ck n ?1 . n ? 1 (k ? 1)!(n ? k )! n ? 1
1 1 1 1 ?1 C n ?1 ? C2 Cn n ?1 ? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 1 1 2 n ?1 ? (C1 (2 n ?1 ? 1) ? 右边. n ?1 ? C n ?1 ? ? ? C n ?1 ) ? n ?1 n ?1

∴左边 ?

说明:本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和,再用二项式系数的性质 求解.此外,有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式,但这需要逆用二项式定 理 才 能 完 成 , 所 以 需 仔 细 观 察 , 我 们 可 以 看 下 面 的 例 子 : 求

8 9 7 8 2 29 C10 10 ? 2 C10 ? 2 C10 ? ?? 2C10 ? 10 的 结 果 . 仔 细 观 察 可 以 发 现 该 组 合 数 的 式 与

(1 ? 2)10 的展开式接近,但要注意:
0 2 2 9 9 10 10 (1 ? 2)10 ? C10 ? C1 10 ? 2 ? C10 ? 2 ? ?? C10 ? 2 ? C10 ? 2 2 9 ? 1 ? 2 ?10 ? 22 C10 ? ?? 29 C10 ? 210 C10 10 2 9 ? 1 ? 2(10 ? 2C10 ? ?? 28 C10 ? 29 C10 10 )
2 8 9 9 10 从而可以得到: 10 ? 2C10 ? ? ? 2 C10 ? 2 C10 ?

1 10 (3 ? 1) . 2

典型例题七
例 7 利用二项式定理证明: 32 n? 2 ? 8n ? 9 是 64 的倍数. 分析:64 是 8 的平方,问题相当于证明 32 n? 2 ? 8n ? 9 是 82 的倍数,为了使问题向二项 式定理贴近,变形 32n?2 ? 9 n?1 ? (8 ? 1) n?1 ,将其展开后各项含有 8k ,与 82 的倍数联系起 来. 解:∵ 32 n? 2 ? 8n ? 9

? 9n?1 ? 8n ? 9 ? (8 ? 1)n?1 ? 8n ? 9
n n?1 2 n ? 8n?1 ? C1 n?1 ? 8 ? ? ? Cn?1 ? 8 ? Cn?1 ? 8 ? 1 ? 8n ? 9 n n?1 2 ? 8n?1 ? C1 ) ?1 ? 8n ? 9 n?1 ? 8 ? ?? Cn?1 ? 8 ? 8(n ? 1 n n?1 2 ? 8n?1 ? C1 n?1 ? 8 ? ?? Cn?1 ? 8 n ?2 ?1 ? (8n?1 ? C1 ? ?? Cn n?1 ? 8 n?1 ) ? 64 是 64 的倍数.

说明:利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题,而且可以用此方程求一些 复杂的指数式除以一个数的余数.

典型例题八
3 ? ? 例 8 展开 ? 2 x ? 2 ? . 2x ? ?
分析 1:用二项式定理展开式. 解法 1: ? 2 x ?
5

? ?

3 ? ? 2x2 ?

5

? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 1 ? C (2 x) ? ? 2 ? ? C5 (2 x) 4 ? ? 2 ? ? C52 (2 x)3 ? ? 2 ? ? 2x ? ? 2x ? ? 2x ?
0 5 5

0

2

3 ? ? 3 ? ? 3 ? 3 5? ? C5 (2 x) 2 ? ? 2 ? ? C54 (2 x)? ? 2 ? ? C5 ?? 2 ? ? 2x ? ? 2x ? ? 2x ?
? 32 x 5 ? 120 x 2 ? 180 135 405 243 ? 4 ? 7 ? x x 8x 32 x10

3

4

5

分析 2:对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开.

3 ? (4 x3 ? 3)5 ? 解法 2: ? 2 x ? 2 ? ? 2x ? 32x10 ?
? 1 0 1 [C5 (4 x 3 )5 ? C5 (4 x 3 ) 4 (?3) ? C52 (4 x 3 )3 (?3) 2 32 x10
3 4 5 ? C5 (4x3 )2 (?3)3 ? C5 (4x3 )1 (?3)4 ? C5 (?3)5 ]

5

1 (1024 x15 ? 3840 x12 ? 5760 x 9 ? 4320 x 6 ? 1620 x 3 ? 2437 ) 10 32 x 180 135 405 243 ? 32 x 5 ? 120 x 2 ? ? 4 ? 7 ? . x x 8x 32 x10 ?
说明:记准、记熟二项式 (a ? b)n 的展开式,是解答好与二项式定理有关问题的前提条 件.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便.

典型例题九
例 9 若将 ( x ? y ? z) 展开为多项式,经过合并同类项后它的项数为(
10

) .

A.11

B.33
10

C.55

D.66
10

分析: ( x ? y ? z) 看作二项式 [(x ? y) ? z] 展开. 解:我们把 x ? y ? z 看成 ( x ? y ) ? z ,按二项式展开,共有 11 “项” ,即
k ( x ? y ? z )10 ? [(x ? y) ? z ]10 ? ? C10 ( x ? y)10?k ? z k . k ?0 10

这时,由于“和”中各项 z 的指数各不相同,因此再将各个二项式 ( x ? y) 不同的乘积 C10 ( x ? y)
k 10?k

10 ?k

展开,

? z k ( k ? 0 , 1 , ? , 10 )展开后,都不会出现同类项.
k 10?k

下面,再分别考虑每一个乘积 C10 ( x ? y) 其中每一个乘积展开后的项数由 ( x ? y)

. ? z k ( k ? 0 , 1 , ? , 10 )

10 ?k

决定,

而且各项中 x 和 y 的指数都不相同,也不会出现同类项. 故原式展开后的总项数为 11 ? 10 ? 9 ? ? ? 1 ? 66 , ∴应选 D.

典型例题十
1 ? ? 例 10 若 ? x ? ? 2 ? 的展开式的常数项为 ? 20 ,求 n . x ? ? 1 ? ? 分 析 : 题 中 x ? 0 , 当 x ? 0 时 , 把 三 项 式 ? x ? ? 2? x ? ?
n 2n

n

n

转 化 为
2n

1 1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 当 x ? 0 时, 同理 ? x ? ? 2 ? ? (?1) n ? ? x ? 然 ? ; ? x ? ? 2? ? ? x ? ? . x x? x ? ? ? ?x? ? ? ?
后写出通项,令含 x 的幂指数为零,进而解出 n .

n

1 1 ? ? ? ? 解:当 x ? 0 时 ? x ? ? 2 ? ? ? x ? ? ,其通项为 x x? ? ? ?
r 2 n?r Tr ?1 ? C2 (? n( x)

n

2n

1 r r 2 n?2 r ) ? (?1) r C2 , n( x) x

令 2n ? 2r ? 0 ,得 n ? r ,
n ∴展开式的常数项为 (?1) n C2 n;

1 1 ? ? ? ? 当 x ? 0 时, ? x ? ? 2 ? ? (?1) n ? ? x ? ? , x ?x? ? ? ?
n 同理可得,展开式的常数项为 (?1) n C2 n. n 无论哪一种情况,常数项均为 (?1) n C2 n. n 令 (?1) n C2 n ? ?20 ,以 n ? 1 , 2 , 3 , ? ,逐个代入,得 n ? 3 .

n

2n

典型例题十一
1 ? ? ? x ? 3 ? 的展开式的第 3 项小于第 4 项,则 x 的取值范围是 x? ?
10

例 11

______________. 分析:首先运用通项公式写出展开式的第 3 项和第 4 项,再根据题设列出不等式即可.

1 ? ? 解:使 ? x ? ? 有意义,必须 x ? 0 ; 3 x? ?

10

2 依题意,有 T3 ? T4 ,即 C10 ( x )8 ? 3

? 1 ? ? 1 ? 3 ( x )7 ? 3 ? . ? ? C10 ? x? ? x?

2

3



10? 9 10? 9 ? 8 1 (∵ x ? 0 ) . x? ? 2 ?1 3 ? 2 ?1 3 x
85 648 . 9

解得 0 ? x ?

∴ x 的取值范围是 ? x 0 ? x ?

? ?

? 85 648? . 9 ?

∴应填: 0 ? x ?

85 648 . 9

典型例题十二
例 12 已知 ( x
log2 x

∶2∶3 ,这三项是第几 ? 1)n 的展开式中有连续三项的系数之比为 1

项?若展开式的倒数第二项为 112 ,求 x 的值. 解 : 设 连 续 三 项 是 第 k 、 k ? 1 、 k ? 2 项 ( k ? N ? 且 k ? 1 ), 则 有
k ?1 k k ?1 Cn ∶ Cn ∶ Cn ?1 ∶ 2 ∶ 3,



n! n! n! ∶ ∶ ?1 ∶ 2 ∶ 3. (k ? 1)(n ? k ? 1) ! k ! (n ? k ) ! (k ? 1)(n ? k ? 1) ! 1 1 1 ∶ ∶ ?1 ∶2 ∶ 3. (n ? k )(n ? k ? 1) k (n ? k ) k (k ? 1)



k (n ? k ) 1 ? k 1 ? ? (n ? k )(n ? k ? 1) ? 2 ? n ? k ? 1 ? 2 ? ? ∴? ?? ? k (k ? 1) ? 2 ? (k ? 1) ? 2 ? ? 3 3 ? k (n ? k ) ? (n ? k )
? n ? 14 , k ? 5 所求连续三项为第 5 、 6 、 7 三项.
又由已知, C14 x
13 log2 x

? 112 .即 x log2 x ? 8 .
2

两边取以 2 为底的对数, (log2 x) ? 3 , log2 x ? ? 3 , ∴ x ? 2 ,或 x ? 2
3 ? 3



说明:当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时,常利用二项式通项, 根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解.

典型例题十三

例 13

(1 ? 2 x) n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等,求展开式中二项式系数最大

的项和系数最大的项. 分析:根据已知条件可求出 n ,再根据 n 的奇偶性;确定二项式系数最大的项.
6 5 解: T6 ? Cn (2x)6 ,依题意有 (2x)5 , T7 ? Cn 5 5 6 6 Cn 2 ? Cn 2 ?n ?8. 4 ∴ (1 ? 2 x)8 的展开式中,二项式系数最大的项为 T5 ? C8 (2x)4 ? 1120x4 .

设第 r ? 1 项系数最大,则有
r r r ?1 r ?1 ? ?C8 ? 2 ? C8 ? 2 ? 5? r ? 6. ? r r r ?1 r ?1 ? ?C8 ? 2 ? C8 ? 2

∴ r ? 5 或 r ? 6 (∵ r ? ?0 , 1 , 2 , ? , 8?) . ∴系娄最大的项为: T6 ? 1792 x5 , T7 ? 1792x6 . 说明:(1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质, n 为奇数时中间两项的二 项式系数最大, n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大. (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负 变化情况,一般采用列不等式,解不等式的方法求得.

典型例题十四
例 14 设 f ( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) ( m, n ? N ? ), 若其展开式中关于 x 的一次项的系数
m n
2 和为 11 ,问 m , n 为何值时,含 x 项的系数取最小值?并求这个最小值.

分析:根据已知条件得到 x 的系数关于 n 的二次表达式,然后利用二次函数性质探讨 最小值问题.
1 1 解: Cm ? Cn ? n ? m ? 11.

2

2 2 Cm ? Cn ?

1 2 m 2 ? n 2 ? 11 ( m ? m ? n 2 ? n) ? 2 2

?

110 ? 2mn 11 99 ? n 2 ? 11n ? 55 ? (n ? ) 2 ? . 2 2 4

∵ n ? N? , ∴ n ? 5 或 6 , m ? 6 或 5 时, x 项系数最小,最小值为 25 .
2

11 2 99 11 ) ? 的对称轴方程为 x ? ,即 x ? 5.5 ,由于 5 、 6 距 2 4 2 11 2 99 5.5 等距离, 且对 n ? N ? ,5 、6 距 5.5 最近, 所以 ( n ? ) ? 的最小值在 n ? 5 或 n ? 6 2 4
说明:二次函数 y ? ( x ? 处取得.

典型例题十五
例 15 若 (3x ?1)7 ? a7 x7 ? a6 x6 ? ?? a1 x ? a0 ,

求(1) a1 ? a2 ? ? ? a7 ;(2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ;(3) a0 ? a2 ? a4 ? a6 . 解:(1)令 x ? 0 ,则 a0 ? ?1 , 令 x ? 1 ,则 a7 ? a6 ? ?? a1 ? a0 ? 27 ? 128. ① ∴ a1 ? a2 ? ?? a7 ? 129. (2)令 x ? ?1 ,则 ? a7 ? a6 ? a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ? a0 ? (?4)7 由 ②

1 ①?② 7 ( ? 4) ] ? 8256 得: a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? [128 ? 2 2

(3)由

①?② 得: 2

a0 ? a2 ? a4 ? a6
1 ? ( [ a7 ? a6 ? a5 ? a 4 ? a3 ? a 2 ? a1 ? a0) 2 ? ( ? a7 ? a6 ? a5 ? a 4 ? a3 ? a 2 ? a1 ? a0) ]
1 ? [128 ? (?4) 7 ] ? ?8128 . 2
说明: (1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法.这是一种重要的方法,它适 用于恒等式. (2) 一般地,对于多项式 g ( x) ? ( px ? q) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ?? an x , g ( x) 的各项
n 2 n

的系数和为 g (1) :

1 g ( x) 的奇数项的系数和为 [ g (1) ? g (?1)] . 2 1 g ( x) 的偶数项的系数和为 [ g (1) ? g ( ?1)] . 2

典型例题十六
例 16 填空:(1) 2 ? 3 除以 7 的余数_____________;(2) 55 ? 15 除以 8 的余数是
30 55

________________. 分析(1):将 2 分解成含 7 的因数,然后用二项式定理展开,不含 7 的项就是余数. 解: 2 ? 3 ? (23 )10 ? 3
30
30

? (8)10 ? 3
? (7 ? 1)10 ? 3
0 10 1 9 9 10 ? C10 7 ? C10 7 ? ?? C10 7 ? C10 ?3 0 9 1 8 9 ? 7 ?[C10 7 ? C10 7 ? ?? C10 ]? 2

又∵余数不能为负数,需转化为正数 ∴ 2 ? 3 除以 7 的余数为 5
30

∴应填: 5 分析(2):将 55 写成 (56 ? 1)55 ,然后利用二项式定理展开.
55

55 解: 55 ? 15 ? (56 ? 1) ? 15
55

0 1 54 55 ? C55 5655 ? C55 5654 ? ?? C55 56 ? C55 ?15 55 容易看出该式只有 ? C55 因此 55 ? 15 除以 8 的余数, 即 14 除 ?15 ? 14 不能被 8 整除,
55

以 8 的余数,故余数为 6 .∴应填: 6 .

典型例题十七
1 ? ? 1? ? 例 17 求证:对于 n ? N ? , ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? n ? ? n ?1? ? 1? 证明: ?1 ? ? 展开式的通项 ? n?
r Tr ?1 ? Cn ? r pn 1 ? nr r ! nr

n

n ?1



n

?

1 n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? r ? 1) r! rr 1 1 2 r ?1 (1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ). r! n n n
n ?1

?

1 ? ? ?1 ? ? ? n ?1?
'

展开式的通项
r An 1 ? (n ? 1) r r ! (n ? 1) r

r Tr ?1 ? Cn ?1 ?

?

1 1 2 r ?1 (1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ). r! n ?1 n ?1 n ?1
'

由二项式展开式的通项明显看出 Tr ?1 ? Tr ?1 ,

1 ? ? 1? ? 所以 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? n ? ? n ?1?

n

n ?1



说明:本题的两个二项式中的两项为正项,且有一项相同,证明时,根据题设特点,采 用比较通项大小的方法完成本题证明.

典型例题十八
例 18 在 ( x ? 3x ? 2) 的展开式中 x 的系数为(
2 5

) .

A.160 B.240 C.360 D.800 分析:本题考查二项式定理的通项公式的运用.应想办法将三项式转化为二项式求解. 解法 1:由 ( x ? 3x ? 2) ? [(x ? 3x) ? 2] ,
2 5 2 5

k 得 Tk ?1 ? C5 ( x 2 ? 3x) 5?k ? 2k k ? C5 ? 2k ? ( x 2 ? 3x) 5?k .

再一次使用通项公式得, Tr ?1 ? C5 ? 2 ? C5?k ? 3 x
k k r r

10?2k ?r



这里 0 ? k ? 5 , 0 ? r ? 5 ? k . 令 10 ? 2k ? r ? 1 ,即 2k ? r ? 9 .
4 4 所以 r ? 1 , k ? 4 ,由此得到 x 的系数为 C5 ? 2 ? 3 ? 240. 4 解法 2:由 ( x ? 3x ? 2) ? ( x ? 1) ( x ? 2) ,知 ( x ? 1) 的展开式中 x 的系数为 C5 ,
2 5 5 5 5

4 常数项为 1 , ( x ? 2) 的展开式中 x 的系数为 C5 ? 24 ,常数项为 2 .
5
5

4 4 因此原式中 x 的系数为 C5 ? 25 ? C5 ? 24 ? 240.

解法 3:将 ( x 2 ? 3x ? 2)5 看作 5 个三项式相乘, 展开式中 x 的系数就是从其中一个三项式中取 3 x 的系数 3 ,
1 4 从另外 4 个三项式中取常数项相乘所得的积,即 C5 ? 3 ? C4 ? 24 ? 240.

∴应选 B.

典型例题十九
?a 9 x? ? 的展开式中 x3 的系数为 ,常数 a 的值为___________. 例 19 已知 ? ? ?x 4 2? ? ?
分析:利用二项式的通项公式.
9

?a x? ? 的展开式中, 解:在 ? ? ?x ? 2 ? ?
3 r ?9 2 ? x? r r 9? r ? 1 ? 2 ? ? C ( ? 1 ) a ? ? x 通项公式为 Tr ?1 . ??? ? ? ? 9 2? ? 2? ? ? 3 9 3 ax . 根据题设, r ? 9 ? 3 ,所以 r ? 8 .代入通项公式,得 T9 ? 2 16 9 9 a ? ,所以 a ? 4 . 根据题意, 16 4 ∴应填: 4 .

9

?a? ?C ? ? ? x?
r 9

9? r

r

r

典型例题二十
例 20
1 2 3 (1)求证: 1 ? 3Cn ? 32 ? Cn ? 33 ? Cn ? ?? (?1) n 3n ? (?2) n

(2)若 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ,求 (a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 的值.
1 2 2 n n 分析:(1)注意观察 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? Cn x ? ?? Cn x 的系数、指数特征,即可通过

赋值法得到证明.(2)注意到 (a0 ? a2 ? a4 ) ? (a1 ? a3 ) ? (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 )
2 2

? (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ,再用赋值法求之.
解:(1)在公式 (1 ? x) ? 1 ? Cn x ? Cn x ? ?? Cn x 中令 x ? ?3 ,即有
n 1 2 2 n n 1 2 n (1 ? 3)n ? 1 ? Cn (?3)1 ? Cn (?3)2 ? ?? Cn (?3)n 1 2 ? 1 ? 3 ? Cn ? 32 ? Cn ??? (?1)n ? 3n

∴等式得证. (2)在展开式 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 中, 令 x ? 1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (2x ? 3)4 ; 令 x ? ?1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (?2 ? 3) 4 . ∴原式 ? (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 )

? (2 ? 3)4 ? (?2 ? 3)4 ? 1.
说明:注意“赋值法”在证明或求值中的应用.赋值法的模式是,在某二项展开式,如
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 (a ? bx)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn 或 (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b
n n ? ? ? Cn b 中,对任意的 x ? A ( a, b ? A )该式恒成立,那么对 A 中的特殊值,该工也

一定成立. 特殊值 x 如何选取, 没有一成不变的规律, 需视具体情况而定, 其灵活性较强. 一 般取 x ? 0 , 1 , ? 1 较多.一般地,多项式 f ( x) 的各项系数和为 f (1) ,奇数项系数和为

1 1 [ f (1) ? f ( ?1)] , 偶 次 项 系 数 和 为 [ f (1) ? f ( ?1)] . 二 项 式 系 数 的 性 质 2 2
0 2 4 1 3 5 0 1 2 n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2n?1 的 证 明 就 是 Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? 2n 及 Cn

赋值法应用的范例.

典型例题二十一
例 21 若 n ? N ,求证明: 3 分析:考虑先将 3 解: 3
2 n ?3 2 n ?3 ? 2 n ?3

? 24n ? 37 能被 64 整除.

拆成与 8 的倍数有关的和式,再用二项式定理展开.

? 24n ? 37

? 3 ? 32n?2 ? 24n ? 37 ? 3 ? 9n?1 ? 24n ? 37

? 3 ? (8 ? 1)n?1 ? 24n ? 37
0 n?1 1 n 2 n?1 n n?1 ? 3 ?[Cn ? Cn ? ?? Cn ?1 ? 8 ?1 ? 8 ? Cn?1 ? 8 ?1 ? 8 ? Cn?1 ] ? 24n ? 37 1 n 2 n?1 ? 3 ?[8n?1 ? Cn ? ?? (n ?1) ? 8 ?1] ? 24n ? 37 ?1 ? 8 ? Cn?1 ? 8 1 n 2 n?1 n?1 2 ? 3 ?[8n?1 ? Cn ? ?? Cn ?1 ? 8 ? Cn?1 ? 8 ?1 ? 8 ? (8n ? 9)] ? 24n ? 37

1 n ?2 2 n?3 n?1 ? 3 ? 82[8n?1 ? Cn ? Cn ? ?? Cn ?1 ? 8 ?1 ? 8 ?1 ] ? 3 ? (8n ? 9) ? 24n ? 37 1 n ?2 2 n?3 ? 3 ? 64[8n?1 ? Cn ? Cn ? ?] ? 64, ?1 ? 8 ?1 ? 8

∵8

n ?1

1 n ?2 2 n ?3 , Cn , Cn ,?均为自然数, ?1 ? 8 ?1 ? 8

∴上式各项均为 64 的整数倍. ∴原式能被 64 整除. 说明:用二项式定理证明整除问题,大体上就是这一模式,先将某项凑成与除数有关的 和式,再展开证之.该类题也可用数学归纳法证明,但不如用二项式定理证明简捷.

典型例题二十二
2

例 22 已知 ( x 3 ? 3x ) 的展开式各项系数和比它的二项式系数和大 992 .
2 n

(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 分析:先由条件列方程求出 n .(1)需考虑二项式系数的性质;(2)需列不等式确定 r . 解:令 x ? 1 得展开式的各项系数之和为 (1 ? 3) n ? 22 n ,而展开式的二项式系数的和为
0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? 2n ,

∴有 2

2n

? 2n ? 992.

∴ n ? 5. (1)∵ n ? 5 ,故展开式共有 6 ,其中二项式系数最大的项为第三、第四两项. ∴ T3 ? C ( x ) ? (3x 2 ) 2 ? 90x 6 ,
2 5 2 3 3

T4 ? C ( x ) ? (3x ) ? 270x .
3 5 2 3

2 3 2

22 3

(2)设展开式中第 r ? 1 项的系数最大.
r r Tr ?1 ? C5 ? ( x 3 )5?r ? (3x 2 ) r ? C5 ? 3r ? x
r r r ?1 r ?1 ? ?C5 ? 3 ? C5 ? 3 故有 ? r r r ?1 r ?1 ? ?C5 ? 3 ? C5 ? 3

2

10 ? 4 r 3



1 ?3 ? , ? ?r 6 ? r 即? ? 1 ? 3 . ? ?5 ? r r ?1
7 9 ? r ? .∵ r ? N , 2 2 ∴ r ? 4 ,即展开式中第 5 项的系数最大.
解得

2

26

4 T5 ? C5 ? ( x 3 )1 ? (3x 2 ) 4 ? 405x 3

说明: 展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念, 因此其求法亦 不同.前者用二项式系数的性质直接得出,后者要列不等式组;解不等式组时可能会求出几 个 r ,这时还必须算出相应项的系数后再比较大小.

典型例题二十三
0 p 1 p ?1 0 p 例 23 求证:(1) Cn Cm ? Cn Cm ? ?? CnpCm ? Cm ?n ; 0 2 4 n (2) Cn ? 32 Cn ? 34 Cn ? ?? 3n Cn ? 2 ? 4n?1 ? 2n?1 ( n ? 2 K , n ? N )
*

分析:(1)注意到两列二项式两乘后系数的特征,可构造一个函数;也可用构造一个组 合问题的两种不同解法找到思路.(2)同上构造函数,赋值. 证明:(1)(法 1)∵ (1 ? x)m?n ? (1 ? x) m ? (1 ? x) n ,
1 2 2 m m 1 2 2 n n ∴ (1 ? x)m?n ? (1 ? Cm x ? Cm x ? ?? Cm x ) ? (1 ? Cn x ? Cn x ? ?? Cn x ).

∴此式左右两边展开式中 x 的系数必相等.
p 左边 x 的系数是 Cm ? n ,右边 x 的系数是 0 p 1 p ?1 2 p ?2 0 , Cn ? Cm ? Cn ? Cm ? Cn ? Cm ? ?? Cnp ? Cm 0 p 1 p ?1 2 p ?2 0 p ∴ Cn ? Cm ? Cn ? Cm ? Cn ? Cm ? ?? Cnp ? Cm ? Cm ?n .
P P

P

等式成立. (法 2)设想有下面一个问题: 要从 m ? n 个不同元素中取出 P 个元素, 共有多少种取法?
p 该问题可有两种解法.一种解法是明显的,即直接由组合数公式可得出结论:有 Cm ? n 种不

同取法. 第二种解法, 可将 m ? n 个元素分成两组, 第一组有 m 个元素, 第二组有 n 个元素, 则从 m ? n 个元素中取出 P 个元素,可看成由这两组元素中分别取出的元素组成,取法可分
p 0 成 P ? 1 类:从第一组取 P 个,第二组不取,有 Cm 种取法;从第一组取 P ? 1 个,从第 ? Cn p ?1 1 二组取 1 个,有 Cm 种取法,?,第一组不取,从第二组取 P 个.因此取法总数是 ? Cn p 0 p ?1 1 p ?2 2 0 Cm ? Cn ? Cm ? Cn ? Cm ? Cn ? ?? Cm ? Cnp .

而该问题的这两种解法答案应是一致的,故有
0 p 1 p ?1 2 p ?2 0 p Cn ? Cm ? Cn ? Cm ? Cn ? Cm ? ?? Cnp ? Cm ? Cm ?n .

(2)∵ n 为偶数, ∴ (1 ? 3) ? Cn ? 3Cn ? 3 Cn ? ?? 3 Cn ;
n 0 1 2 2 n n

0 1 2 n . (1 ? 3)n ? Cn ? 3Cn ? 32 Cn ? ?? 3n Cn 0 2 4 n 两式相加得 4n ? 2n ? 2(Cn ? 32 Cn ? 34 Cn ? ?? 3n Cn ), 0 2 4 n ∴ Cn ? 32 Cn ? 34 Cn ? ?? 3n Cn ? 2 ? 4n?1 ? 2n?1 .

说明:构造函数赋值法,构造问题双解法,拆项法、倒序相加法都是证明一些组合数恒 等式(或求和)的常用方法.


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