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2013年高二数学(新课标人教A版选修2-1)课件:2.4.2《抛物线的简单几何性质》


2.4.2 抛物线的简单几何性质
【课标要求】

掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用. 1.
掌握直线与抛物线位置关系的判断. 2.

【核心扫描】
1. 会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题.(重点) 直线与抛物线的位置关系的应用.(难点) 2.

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自学导引
1.抛物线的几何性质 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

类型

图象

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续表 焦点 准线
?p ? F? ,0? ?2 ? _______ ? p ? F?- , 0? ? 2 ? ________ ? p? F?0, ? 2? ? _______
? p? F?0,- ? 2? ? ________

p x=- 2 ______

p x= 2 ______

p y=- 2 _______

p y= 2 _____

性 质

范围 对称轴 顶点 离心率 开口 方向

x≥0,y∈R x轴 ____

x≤0, y∈ R

y≥0, _____ x∈R _____
y轴 ____

y≤0, _____ x∈R _____

原点(0,0) __________

_____ e= 1
向右 向左
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想一想:抛物线x2=2py(p>0)有几条对称轴?是否是中心 对称图形? 提示 有一条对称轴即y轴,不是中心对称图形. 2.焦半径与焦点弦 抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径,过焦点 的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦,设抛物线上任意

一点P(x0,y0),焦点弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),则四种
标准形式下的焦点弦,焦半径公式为

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标准 方程

y2=2px (p>0)

y2=-2px (p>0)

x2=2py (p>0)

x2=-2py (p>0)

焦半 径|PF|
焦点 弦|AB|

|PF|= p x0+ 2
|AB|= x1+x2+p

|PF|= p - x0 2
|AB|= p-x1-x2

|PF|= p y0+ 2
|AB|= y1 + y2 + p

|PF|= p -y 2 0
|AB|= p- y1 - y2

试一试:通过焦点垂直于对称轴的抛物线的弦叫通径,试求
抛物线y2=2px的通径的长度. 提示 通径的长度为2p.

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名师点睛
1.抛物线与双曲线的区别 (1)抛物线的几何性质和双曲线的几何性质比较起来,差 别较大,它的离心率为1,只有一个焦点、一个顶点、一 条对称轴、一条准线,它没有对称中心. (2)抛物线与双曲线的一支,尽管它们都是不封闭的有开

口的光滑曲线,但是它们的图象性质是完全不同的.事实
上,从开口的变化规律来看,双曲线的开口是越来越阔, 而抛物线开口越来越趋于扁平.

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抛物线的焦点弦 2. 如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的

一条弦,设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中
点M(x0,y0),相应的准线为l. (1)以AB为直径的圆必与准线l相切; p (2)|AB|= 2(x0+ )(焦点弦长与中点关系); 2 (3)|AB|= x1+ x2+ p; 2p (4)若直线 AB 的倾斜角为 α,则 |AB|= 2 ; sin α 如当 α= 90°时, AB 叫抛物线的通径,是焦点弦中最短的; p2 (5)A、 B 两点的横坐标之积、 纵坐标之积为定值, 即 x1· x2= , 4 y1· y2=- p2.
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3.直线与抛物线的位置关系
设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程 与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2+bx+c=0的形 式,

(1)若a=0,直线与抛物线有一个公共点,此时直线平行
于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有 一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. (2)若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个公共点;

当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个公共点;
当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点.
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题型一

抛物线几何性质的应用

x2 y2 【例1】已知双曲线方程是 8 - 9 =1,求以双曲线的右顶点为焦 点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.

[思路探索] 可先利用双曲线的右顶点求出抛物线的焦
点,再求出参数p,写出抛物线的方程.

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x2 y2 p 因为双曲线 - =1 的右顶点坐标为(2 2,0),所以 = 8 9 2

2 2,且抛物线的焦点在 x 轴正半轴上,所以,所求抛物线方 程为 y2=8 2x,其准线方程为 x=-2 2.

规律方法

根据抛物线的几何性质求抛物线的方程,需要

确定对称轴和开口方向以及一个待定系数p,即先定型, 再定量,必要时结合图形.

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【变式1】 抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2
=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求 抛物线的方程及抛物线的准线方程. x2 y2 解 椭圆的方程可化为 + =1, 4 9 其短轴在 x 轴上, ∴抛物线的对称轴为 x 轴, ∴设抛物线的方程为 y2= 2px 或 y2=- 2px(p>0). p ∵抛物线的焦点到顶点的距离为 3,即 = 3, 2 ∴ p= 6. ∴抛物线的标准方程为 y2=12x 或 y2=-12x, 其准线方程分别为 x=-3 和 x= 3.
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题型二 直线与抛物线的位置关系
【例2】 求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直

线方程.
[思路探索] 借助图形讨论直线斜率不存在、为0或不为0 三种情况. 解 (1)若直线斜率不存在,则过P(0,1)的直线方程为x= 0.直线x=0与抛物线只有一个公共点.
(2)若直线斜率存在,设为 k,则过 P 的直线方程为 y=kx+
? ?y= kx+ 1, 1.由方程组? 2 消元得:k2x2+2(k-1)x+1=0, ? ?y = 2x,

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1 ? ?x= , 2 即直线 y=1 与抛物线只有一个公共 ①当 k= 0 时,得? ? ?y= 1, 点.②当 k≠ 0 时,若直线与抛物线只有一个公共点,则Δ = 1 1 2 2 4(k- 1) - 4k = 0.∴ k= ,∴直线方程为:y= x+1. 2 2 1 综上所述:所求直线方程为 x= 0 或 y= 1 或 y= x+ 1. 2

规律方法

要判断直线与抛物线的位置关系,通常是通过

讨论直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的情况来判 断,对于直线与抛物线只有一个公共点的情况,应特别注

意平行于抛物线对称轴的直线与抛物线只有一个公共点,
但它不是切线,不能用Δ=0求解,此时应分类讨论.
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【变式2】 已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一条弦P1P2使它
恰好被点P平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 解 设直线上任意一点坐标为(x,y),弦两端点P1(x1, y1),P2(x2,y2). ∵P1,P2在抛物线上,∴y12=6x1,y22=6x2.

两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2). y1-y2 6 ∵y1+y2=2,∴k= = =3, x1-x2 y1+y2
∴直线的方程为 y-1=3(x-4),即 3x-y-11=0.
2 ? ?y = 6x, 由? 得 y2-2y-22=0, ? ?y= 3x- 11,

∴y1+y2=2,y1·y2=-22. 1 2 2 230 ∴|P1P2|= 1+ 2 -4×(-22)= . 9 3
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题型三

抛物线中的定值、定点问题

【例3】 (12分)已知A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,并

满足OA⊥OB,求证:
(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别都是一个 定值; (2)直线AB经过一个定点.

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[规范解答] (1)因为 AB 斜率不为 0,设直线 AB 方程为 my = x + b, 2分 ? ?my= x+ b 由? 2 消去 x,得 y2-2pmy+ 2pb= 0. ? ?y = 2px 由 Δ=(-2pm)2- 8pb>0, 又∵ y1+ y2=2pm,y1y2=2pb, 又∵ OA⊥OB, ∴ x1·x2+ y1· y2=0, y12·y22 ∴ + y1·y2= 0, 4p2 4分 6分

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∴b2+2pb=0, ∴b+2p=0,∴b=-2p. ∴y1y2=-4p2,x1· x2=b2=4p2 所以A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别是4p2和 -4p2; (2)AB方程为my=x-2p,所以AB过定点(2p,0). 10分 12分 8分

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【题后反思】 在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求 定值,过定点的问题,解决这类问题的方法有很多,例如 斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这类问题的关 键是代换和转化.有时利用数形结合思想能达到避繁就

简、化难为易、事半功倍的效果.

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【变式3】 如图,过抛物线y2=x上一点A(4, 2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛 物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率

是定值.
证明 设kAB=k(k≠0), ∵直线AB,AC的倾斜角互补, ∴kAC=-k(k≠0), ∵AB的方程是y=k(x-4)+2.
? ?y= k( x- 4)+ 2, 由方程组? 2 ? ?y = x,

消去 y 后,整理得 k2x2+(- 8k2+4k- 1)x+16k2-16k+ 4= 0. ∵ A(4,2), B(xB, yB)是上述方程组的解.
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16k2- 16k+ 4 4k2- 4k+ 1 ∴ 4· xB= ,即 xB= . k2 k2 4k2+ 4k+ 1 以- k 代换 xB 中的 k,得 xC= , 2 k yB- yC ∴ kBC= xB- xC k( xB- 4)+ 2-[- k( xC- 4)+ 2] = xB- xC 8k2+ 2 k( xB+ xC- 8) k( k2 - 8) = = xB- xC - 8k k2 1 =- . 4 所以直线 BC 的斜率为定值.
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方法技巧

探索性问题的求解策略

高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径,
解决非传统完备问题的能力,是命题者根据学科特点,将 数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,要求考生 自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问 题,是思维的一种“放养”形式.

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2 已知抛物线 C : y =2px(p>0)过点 A(1,-2). 【示例】 (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与 5 抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 ?若存在, 5 求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

[思路分析] (1)将点A代入y2=2px,求出p值可得抛物线方程;
(2)直线方程与抛物线方程联立,注意判别式Δ的限制作用. 解 (1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p· 1,∴p=2,

故所求的抛物线方程为y2=4x, 其准线方程为x=-1;

(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t,
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2 ? y ? = 4x, 由? 得 y2+ 2y- 2t= 0, ? ?y=- 2x+ t

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点, 所以 Δ=4+8t≥0, 1 解得 t≥- . 2 另一方面,由直线 OA 与直线 l 的距离等于 ∴ t=± 1, 1 1 由于-1?[- ,+∞),1∈[- ,+∞ ), 2 2 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 y=-2x+1. 5 |t | 5 可得 = , 5 5 5

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方法点评

解决探索性问题,对观察、联想、类比、猜

测、抽象、概括诸方面有较高要求,高考题中一般对这类 问题有如下方法:(1)直接求解;(2)观察——猜测——证 明;(3)赋值推断;(4)数形结合;(5)联想类比;(6)特殊— —一般——特殊.充分利用题设条件是解题关键.

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