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【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件 新人教A版必修3


2.2.2 .

用样本的数字特征估计总 体的数字特征

学习目标 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数 字特征. 字特征

2.2.2 用 样 本 的 数 字 特 征 估 计 总 体 的 数 字 特 征

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

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课前自主学案

温故夯基 1. 用样本的频率分布估计总体分布 , 就是根据 . 用样本的频率分布估计总体分布, 样 本 的 频 率 分 布 表 、 _________________ 、 频率分布直方图 频率分布折线图 及茎叶图来估计总体分布 __________________及茎叶图来估计总体分布. 及茎叶图来估计总体分布. 2. 初中学过的众数 、 中位数 、 平均数 , 其定义 . 初中学过的众数、 中位数、 平均数, 分别是 (1)在一组数据中 出现次数最多 的数据叫做这组 在一组数据中______________的数据叫做这组 在一组数据中 数据的众数. 数据的众数.

(2) 将一组数据 按大小顺序依 次排列 , 把处 在 次排列, _____________的一个数据 或最中间两个数据 的一个数据 最中间位置 的一个数据(或最中间两个数据 的平均数)叫做这组数据的中位数. 的平均数 叫做这组数据的中位数. 叫做这组数据的中位数 (3)平均数 : 样本数据的算术平均数 , 即 x = 平均数: 样本数据的算术平均数, 平均数
1 (x1+ x2+…+ xn) n _____________________ (n∈ N* ). ∈ .

知新益能 1. 众数 、 中位数 、 平均数与频率分布直方图的 . 众数、 中位数、 关系 (1)众数在样本数据的频率分布直方图中,就是最 众数在样本数据的频率分布直方图中, 众数在样本数据的频率分布直方图中 高矩形的中点的____________. 高矩形的中点的 横坐标 . (2)在样本中,有50%的个体小于或等于中位数, 在样本中, 的个体小于或等于中位数, 在样本中 的个体小于或等于中位数 也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频 的个体大于或等于中位数. 也有 的个体大于或等于中位数 因此, 率分布直方图中, 率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的 面积应该_________,由此可以估计中位数的 面积应该 相等 , 值.

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”.等于 平均数是频率分布直方图的“重心” 平均数是频率分布直方图的 频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩 形底边中点的横坐标之和. 形底边中点的横坐标之和. 2.标准差及方差 . 考察样本数据的分散程度的大小, 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统 计量是标准差.标准差是样本数据到平均数的 计量是标准差. 一种平均距离,一般用s表示 标准差的平方s 表示. 一种平均距离,一般用 表示.标准差的平方 2 叫做方差, 叫做方差 , 也为测量样本数据分散程度的工 具.

若样本数据是 x1,x2,… ,xn, x 表示这组数据 的平均数, 的平均数,则 s= = 1 2 2 2 [( x1- x ) +( x2- x ) +… +(xn- x ) ] ( ; n 1 2 s = [(x1- x )2 +(x2- x )2+… +(xn- x )2 ]. . n

问题探究 下列一组数: 、 、 、 、 、 、 、 、 、 下列一组数:1、5、6、6、8、8、9、10、12、 15,其众数 、 中位数 、 平均数 、 方差各是多少 ? , 其众数、 中位数、平均数、方差各是多少? 若去掉1和 ,这些数有什么变化? 若去掉 和15,这些数有什么变化?说明什么问 题? 提示:原数据的众数是6和 ,中位数是8, 提示:原数据的众数是 和8,中位数是 ,平均 数为8, 方差为13.6.去掉 和 15后 , 众数 、 中位 去掉1和 后 众数、 数为 , 方差为 去掉 平均数都没变化, 而方差为4.75, 说明方 数 、 平均数都没变化 , 而方差为 , 差更能体现数据的稳定性, 差更能体现数据的稳定性 , 方差越小数据变化 越稳定. 越稳定.

课堂互动讲练

考点突破 众数、中位数、 众数、中位数、平均数的综合应用 众数体现了样本数据的最大集中点; 众数体现了样本数据的最大集中点 ; 中位数 是样本数据所占频率的等分线; 是样本数据所占频率的等分线 ; 平均数与每 一个样本数据有关. 一个样本数据有关.

例1

某工厂人员及工资构成如下表: 某工厂人员及工资构成如下表:

管理人 高级技 人员 经理 工人 学徒 合计 工 员 周工 2200 250 220 200 100 资 6 5 10 1 23 人数 1 1100 2000 100 6900 合计 2200 1500

(1)指出这个工厂人员周工资的众数 、 中位数 、 指出这个工厂人员周工资的众数、 中位数、 指出这个工厂人员周工资的众数 平均数; 平均数; (2)这个问题中 , 平均数能客观地反映该工厂 这个问题中, 这个问题中 人员的工资水平吗?为什么? 人员的工资水平吗?为什么? 【思路点拨】 思路点拨】 本题着眼于众数、中位数、 本题着眼于众数、中位数、

平均数各自的特点,以及其适用对象. 平均数各自的特点,以及其适用对象.

由表格可知: 【解】 (1)由表格可知:众数为 由表格可知 众数为200,中位数为 , 220. 平 均 数 为 (2200 + 250×6 + 220×5 + 200×10 + × × × 100)÷23=(2200+1500+1100+2000+100)÷23 ÷ = + + + + ÷ =6900÷23=300. ÷ = (2)虽然平均数为 虽然平均数为300,但由表格中所列出的数据 虽然平均数为 , 可知,只有经理在平均数以上, 可知,只有经理在平均数以上,其余人员的工资 都在平均数以下, 都在平均数以下,故用平均数不能客观地反映该 工厂的工资水平. 工厂的工资水平. 思维总结】 极端值影响平均数, 【思维总结】 极端值影响平均数,故平均数有 时不能代表事实情况. 时不能代表事实情况.

求众数、 求众数、中位数及平均数 根据直方图的分布特征: 矩形的最高点、 根据直方图的分布特征 : 矩形的最高点 、 对 称性及“重心”估计众数、中位数和平均 数.

例2

上图是某班学生在一次数学考试中的成绩的 频率分布直方图. 频率分布直方图 . 根据直方图估计其成绩的 (1)众数;(2)中位数;(3)平均数. 众数; 中位数 中位数; 平均数 平均数. 众数

思路点拨】 【 思路点拨 】

矩形最高意思其中的频数

最多, 可求众数, 最多 , 可求众数 , 分别计算每个小矩形的 面积来估计中位数的位置, 面积来估计中位数的位置 , 通过矩形宽的 中点求平均数. 中点求平均数.

由频率分布直方图可知, 【 解】 (1)由频率分布直方图可知, 其众数为 由频率分布直方图可知 70+ 80 + = 75(分). 分. 2 (2)设中位数为 x,由图知 0.01× 10+ 0.02× 10+ 设中位数为 , × + × + (x- 70)× 0.03= 0.5, - × = , 2 ∴ x= 76 ≈ 77(分 ). = 分. 3 (3) 平均数 为 × 0.01+ 65× 0.02+ 75× 0.03+ 为(55× + × + × + 85× 0.025+ 95× 0.015)× 10= 76.5(分 ). × + × × = 分.

思维总结】 【思维总结】

要先找清每个小矩形的高、 要先找清每个小矩形的高、宽

及其意义,就可求相应的样本数字. 及其意义,就可求相应的样本数字. 变式训练1 变式训练 根据频率分布直方图(如图 估计 根据频率分布直方图 如图)估计 如图 估计(1)

众数; 中位数 中位数; 平均数 平均数. 众数;(2)中位数;(3)平均数.

20+ 30 + 由图知, 解: (1)由图知,众数为 由图知 = 25. 2 (2)设中位数为 x 则 0.02× 10+(x- 20)× 0.04= 设中位数为 × + - × = 0.5, x= 27.5. , = (3) 平 均 数 为 10× 0.02× 15 + 10× 0.04× 25 + × × × × 10× 0.03× 35+ 10× 0.01× 45= 28. × × + × × =

方差及标准差的应用 方差、 方差、标准差是样本数据到平均数的一种平均 距离,表示各个样本数据在样本平均数的周围 距离, 分散程度. 分散程度.

例3 甲 、 乙两机床同时加工直径为 乙两机床同时加工直径为100 cm的 的

零件,为检验质量,各从中抽取6件测量 件测量, 零件,为检验质量,各从中抽取 件测量,数据 为: 甲:99 乙:99 100 100 98 102 100 99 100 100 103 100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差; 分别计算两组数据的平均数及方差; 分别计算两组数据的平均数及方差 (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量 根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量 更稳定. 更稳定.

【思路点拨】 思路点拨】

2 求平均数 → 求( xi- x ) →

求方差s2 → 结论 求方差

1 【 解】 (1) x 甲 = (99+ 100+ 98+ 100+ 100+ + + + + + 6 103)= 100, = , 1 x 乙= (99+ 100+ 102+ 99+ 100+ 100)= 100. + + + + + = 6 1 2 2 2 2 s 甲 = [(99- 100) + (100- 100) + (98- 100) + - - - 6 7 (100- 100) + (100- 100) + (103- 100) ]= , - - - = 3
2 2 2

1 2 2 2 s 乙= [(99- 100) +(100- 100) + (102- 100) + - - - 6 2 2 2 (99- 100) + (100- 100) + (100- 100) ]= 1. - - - = (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同 , 两台机床所加工零件的直径的平均值相同, 两台机床所加工零件的直径的平均值相同 2 2 又 s甲>s 乙, 所以乙机床加工零件的质量更稳定. 所以乙机床加工零件的质量更稳定.
2

【 思维总结】 本题易出现判断甲机床质量 思维总结 】 更稳定的错误, 更稳定的错误 , 其原因是对方差的概念理解 错误. 错误.

互动探究2 互动探究

在本例中, 甲机床所加工的6个 在本例中 , 甲机床所加工的 个

零件的数据全都加10, 零件的数据全都加 , 那么所得新数据的平 均数及方差分别是多少? 均数及方差分别是多少?

解:平均数为 100+ 10= 110. + = 甲的数据为 99+ 10,100+ 10,98+ 10,100+ 10,100+ + + + + + 10,103+ 10, + , 平均数为 100+ 10, + , 1 2 2 所以 方差仍为 [(99- 100) + (100- 100) + (98- - - - 6 100)2 + (100- 100)2 + (100- 100)2 + (103- 100)2 ]= - - - = 7 . 3

方法感悟 方法技巧 1. 如果样本平均数大于样本中位数 , 说明数据 . 如果样本平均数大于样本中位数, 中存在许多较大的极端值;反之, 中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存 在许多较小的极端值.在实际应用中, 在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时 知道样本中位数和样本平均数, 知道样本中位数和样本平均数,可以使我们了解 样本数据中极端数据的信息, 样本数据中极端数据的信息 , 帮助我们作出决 如例1) 策.(如例 如例 2. 标准差 、 方差描述了一组数据围绕平均数波 . 标准差、 动的大小.标准差、方差越大, 动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度 越大; 标准差、 方差越小, 越大 ; 标准差 、 方差越小 , 数据的离散程度越 如例3) 小.(如例 如例

失误防范 1.一组数据中的众数可能不止一个,众数是 .一组数据中的众数可能不止一个, 一组数据中出现的次数最多的数据, 一组数据中出现的次数最多的数据 , 而不是 该数据出现的次数. 该数据出现的次数 . 一组数据的中位数是惟 一的. 如问题探究 如问题探究) 一的.(如问题探究 2.利用直方图求众数、中位数、平均数均为 .利用直方图求众数、中位数、 近似值, 往往与实际数据得出的不一致, 近似值 , 往往与实际数据得出的不一致 , 但 它们能粗略估计其众数、中位数和平均数. 它们能粗略估计其众数、中位数和平均数. (如例 如例2) 如例


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