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高中数学(北师大版,必修2)活页规范训练:2-1-5平面直角坐标系中的距离公式(含答案)


2-1-5 平面直角坐标系中的距离公式

双基达标
A. 2 解析 知 d= B.2- 2 C. 2-1 D. 2+1

?限时20分钟?
).

1.已知点 A(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于(

由点到直线的距离公式, |a-2+3|

|a+1| = =1, 2 2

∴a=-1± 2,又 a>0,∴a= 2-1. 答案 C ).

2. 点 P 在直线 3x+y-5=0 上, 且 P 点到直线 x-y-1=0 的距离等于 2, 则 P 点坐标为( A.(1,2) C.(1,2)或(2,-1) B.(2,1) D.(2,1)或(-1,2)

解析

?3x+y-5=0, 设 P(x,y),则?|x-y-1| ? 2 = 2,

?x=1, ?x=2, 解得? 或? ?y=2 ?y=-1. 答案 C

3.P、Q 分别为 3x+4y-12=0 与 6x+8y+6=0 上任一点,则|PQ|的最小值为 ( 9 A.5 解析 答案 18 B. 5 C.3 D.6 |PQ|的最小值即为两平行线间的距离,d= C |3+12| 5 =3.选 C. ).

4.等腰△ABC 的顶点是 A(3,0),底边长|BC|=4,BC 边的中点是 D(5,4),则腰长为________. 解析 1 |BD|=2|BC|=2,

|AD|= ?5-3?2+?4-0?2=2 5, 在 Rt△ADB 中,由勾股定理,得腰长

|AB|= 22+?2 5?2=2 6. 答案 2 6

5. 已知直线 l 与两直线 l1: 2x-y+3=0 和 l2: 2x-y-1=0 的距离相等, 则 l 的方程是________. 解析 于是有 由题意,可设 l 的方程为 2x-y+c=0, |c-3| |c-?-1?| ,即|c-3|=|c+1|. 2= 2 +?-1? 22+?-1?2
2

∴c=1,∴直线 l 的方程为 2x-y+1=0. 答案 2x-y+1=0

3 6.已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为-4. (1)求直线 l 的方程; (2)若直线 m 与 l 平行,且点 P 到直线 m 的距离为 3,求直线 m 的方程. 解 3 (1)由直线方程的点斜式,得 y-5=-4(x+2),

整理,得所求直线方程为 3x+4y-14=0. (2)由直线 m 与直线 l 平行,可设直线 m 的方程为 3x+4y+c=0, 由点到直线的距离公式,得 |3×?-2?+4×5+c| =3, 32+42 即 |14+c| 5 =3,

解得 c=1 或 c=-29, 故所求直线方程 3x+4y+1=0 或 3x+4y-29=0.

综合提高
A.[-11,-1] C.[-11,-6)∪(6,-1] 解析 ∴0< B.[-11,0]

?限时25分钟?
).

7.若两平行直线 2x+y-4=0 与 y=-2x-k-2 的距离不大于 5,则 k 的取值范围是(

D.[-1,+∞)

y=-2x-k-2 化为 2x+y+k+2=0, |k+2+4| ≤ 5,0<|k+6|≤5. 22+12

∴-5≤k+6≤5,且 k+6≠0.

∴-11≤k≤-1,且 k≠-6. 答案 C ).

8.直线 l 过点 A(3,4),且与点 B(-3,2)的距离最远,则 l 的方程为( A.3x-y-5=0 C.3x+y+13=0 解析 B.3x-y+5=0 D.3x+y-13=0

4-2 1 当 l⊥AB 时符合要求,∵kAB= = ,∴l 的斜率为-3. 3+3 3

∴l 的方程为 y-4=-3(x-3),即 3x+y-13=0. 答案 D

9.直线 l 在 x 轴上的截距为 1,又有两点 A(-2,-1)、B(4,5)到 l 的距离相等,则 l 的方程为 ________. 解析 显然 l⊥x 轴时符合要求,此时 l 的方程为 x=1;

设 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x-1),即 kx-y-k=0, 由于点 A、B 到 l 的距离相等. ∴ |-2k+1-k| |4k-5-k| = . k2+1 k2+1

∴|1-3k|=|3k-5|.∴1-3k=± (3k-5). ∴k=1.∴l 的方程为 x-y-1=0. 答案 x-y-1=0 或 x=1

10.已知实数 x,y 满足关系式 5x+12y-6=0,则 x2+y2的最小值为________. 解析 x2+y2表示直线 5x+12y-6=0 上的点到原点的距离,∴ x2+y2的最小值为原点到直 |-6| 6 2 2=13. 5 +12

线 5x-12y-6=0 的距离,即 答案 6 13

11.在直线 x+3y=0 上求一点,使它到原点的距离和到直线 x+3y+2=0 的距离相等,求此 点坐标. 解 设所求点的坐标为 P(-3t,t),

则点 P 到原点的距离为 d= 9t2+t2= 10|t|. 又 P 到直线 x+3y+2=0 的距离 d= |-3t+3t+2| 2 = , 10 10

依题意有 10|t|=

2 1 ,∴t=± 5. 10

1? ? 3 1? ?3 ∴点 P 的坐标为?-5,5?或?5,-5?. ? ? ? ? 12.(创新拓展)△ABD 和△BCE 是在直线 AC 同侧的两个等边三角形,如图所示,用解析法证 明:|AE|=|CD|.

证明

如图,以 B 点为坐标原点,取 AC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系 xOy.

设△ABD 和△BCE 的边长分别为 a,c,

?c 3 ? 则 A(-a,0),E? , c?,C(c,0), ?2 2 ? ? a 3 ? D?- , a?, ? 2 2 ? 于是|AE|= = ? ?c ? ? 3 ?2-?-a??2+? c-0?2 ? ? ?2 ?

c2 3 a2+ac+ 4 +4c2

= a2+ac+c2. |CD|= = ? ?? a? ?2 ? 3 ??-2?-c? +? a-0?2 ?? ? ? ?2 ? a2 3 2 2 2 2 + ac + c + 4 4a = a +ac+c .

所以|AE|=|CD|.


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