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2013年高一数学上学期期末考试复习卷(A卷),必修一和二,附详细答案!


2013 年高一上学期期末考试复习卷(A 卷)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1.直线 3 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( A、 30? B、 60? ) C、 120? D、 135? )

2. 在空间直角坐标系中, 点 P(3, 4,5) 关于 yOz 平面对称的点的坐标为( A. (?3,

4,5) B. (?3, ?4,5) C. (3, ?4, ?5)
? ? 1 ? ? 的值是( ? f ? ?? ? ? 4 ??

D. (?3, 4, ?5)

3.已知函数 f

? x?

?log x, x ? 0 , 则f ? ? x 2 ?3 , x ? 0
B.



A. 9 4.函数 f ( x ) ?

1 9


C. ?9

D. ?

1 9

lg( x ? 1) 的定义域是( x ?1
B. [?1, ??)

A. (?1, ??)

C. (?1,1) ? (1, ??) D. [?1,1) ? (1, ??) )
1

5.下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( A. y ?

x

B.

y ? 3x

C.

y ? lg | x |

D. y ? x 3 )

6.已知 m, n 是两条不同直线, ? , , 是三个不同平面,下列命题中正确的有( ? ? A. 若m‖? ,‖? , m‖ n ; n 则 C. 若m‖? , ‖ ? , ?‖ ? ; m 则 B. 若? ? ? , ? ? , ?‖ ? ; ? 则 D. 若m ? ? , ? ? , m‖ n . n 则 )

7.圆 C1 : x2+y 2 ? 1 和圆 C2 : x2+y 2 ? 6x ? 8 y ? 9 ? 0 的公切线有且仅有( A. 1 条 B. 2 条
x

C. 3 条

D. 4 条 )

8.函数 f ( x) ? 4 ? 4 x ? e ( e 为自然对数的底)的零点所在的区间为( A. (1, 2) B. (0,1) C. (?1, 0) ) D. (?2, ?1)

9.已知 a ? log 1 5, b ? log2 3, c ? 1, d ? 3?0.5 ,那么(
2

A. a ? c ? b ? d

B. a ? d ? c ? b

C. a ? b ? c ? d

D. a ? c ? d ? b

? 10.设奇函数 f ( x ) 在 (0, ?) 上为减函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式

, , A. (?1 0) ? (1 ? ?)

? 1) B. (??, 1) ? (0,

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为( ) x ? , , 1) C. (??, 1) ? (1 ? ?) D. (?1 0) ? (0,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. lg 5 ? lg 20 的值是

1

12. 一个几何体的三视图如图 2 所示,那么这个几何体的表面积为 ... 13.函数 y ? (m2 ? m ?1) xm
2

.

?2 m?1

是幂函数,且在 x ? ?0,??? 上是减函数,则实数 m ?
2 2 2 2 2

14.若点 P( x, y) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,
2 2 则 x ? y 的最小值为

2


4 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 15. (本小题满分 12 分)已知直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,
2

2 侧视图

(1)求与 l 平行,且过点 (1, 4) 的直线方程: (2)已知圆心为 (1, 4) ,且与直线 l 相切求圆的方程;

正视图

图2
俯视图

16、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? (1)证明 f (x ) 在 ?1,??? 上是减函数;

x ?1 ?x ? 1? . x ?1

(2)当 x ? ?3,5?时,求 f (x ) 的最小值和最大值.

2

17、 (本小题满分 14 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , AB ? BC ? AA1 ,且 AC ? 2 BC , 点 D 是 AB 的中点. (1)证明: AC1 // 平面 B1CD ;(2)求证: AB ? 平面 BCC1B1 (3)证明:平面 ABC1 ? 平面 B1CD .

A1 B1

C1

A D B

C

18. (本小题满分 14 分)如图,已知矩形 ABCD 中, AB ? 10 , BC ? 6 ,将矩形沿对角线 BD 把 ?ABD 折起, 使 A 移到 A?1 点,且 A?1 在平面 BCD 上的射影 O 恰在 CD 上,即 A?1O ? 平面 DBC . (1)求证: BC ? A1D ; (2)平面 A?1BC ? 平面 A?1BD ;
D A A1

(3)求点 C 到平面 A?1BD 的距离.
O B C

3

19、 (本小题满分 14 分)已知直线 l : x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 C : x2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 相交于 P, Q 两点 O 为坐标 原点,D 为线段 PQ 的中点。 (1)求圆心 C 和点 D 的坐标; (3)若 OP ? OQ ,求 PQ 的长以及 m 的值。

20. (本小题满分 14 分) 设 a 为常数, a ? R ,函数 f ( x) ? x2 ? | x ? a | ?1 ( x ? R) . (1)若函数 f ( x ) 为偶函数,求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的最小值.

4

2013 年高一上学期期末考试复习卷(A 卷)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1.直线 3 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( A、 30? B、 60? C ) D、 135? )

C、 120?

2. 在空间直角坐标系中, 点 P(3, 4,5) 关于 yOz 平面对称的点的坐标为(A A. (?3, 4,5) B. (?3, ?4,5) C. (3, ?4, ?5)
? ? 1 ? ? 的值是( ? f ? ?? ? ? 4 ??

D. (?3, 4, ?5)

3.已知函数 f

? x?

?log x, x ? 0 , 则f ? ? x 2 3 ,x ? 0 ?
B.

B )

A. 9 4.函数 f ( x ) ?

1 9

C. ?9

D. ?

1 9

lg( x ? 1) 的定义域是( C ) x ?1
B. [?1, ??) C. (?1,1) ? (1, ??) D. [?1,1) ? (1, ??) D ) D. y ? x
1 3

A. (?1, ??)

5.下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( A. y ?

x

B.

y ?3

x

C.

y ? lg | x |

6.已知 m, n 是两条不同直线, ? , , 是三个不同平面,下列命题中正确的有(D ) ? ? A. 若m‖? ,‖? , m‖ n ; n 则 C. 若m‖? , ‖ ? , ?‖ ? ; m 则 B. 若? ? ? , ? ? , ?‖ ? ; ? 则 D. 若m ? ? , ? ? , m‖ n . n 则 C )

7.圆 C1 : x2+y 2 ? 1 和圆 C2 : x2+y 2 ? 6x ? 8 y ? 9 ? 0 的公切线有且仅有( A. 1 条 B. 2 条
x

C. 3 条

D. 4 条

8.函数 f ( x) ? 4 ? 4 x ? e ( e 为自然对数的底)的零点所在的区间为( B ) A. (1, 2) B. (0,1)
?0.5

C. (?1, 0) ,那么(B )

D. (?2, ?1)

9.已知 a ? log 1 5, b ? log2 3, c ? 1, d ? 3
2

A. a ? c ? b ? d

B. a ? d ? c ? b

C. a ? b ? c ? d

D. a ? c ? d ? b

? 10.设奇函数 f ( x ) 在 (0, ?) 上为减函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 , , A. (?1 0) ? (1 ? ?) ? 1) B. (??, 1) ? (0,

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为( C ) x ? , , 1) C. (??, 1) ? (1 ? ?) D. (?1 0) ? (0,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. lg 5 ? lg 20 的值是 1

5

12. 一个几何体的三视图如图 2 所示,那么这个几何体的表面积为 ... ⒔ 函数 y ? (m2 ? m ?1) xm
2

. 11?

?2 m?1

是幂函数,且在 x ? ?0,??? 上是减函数,则实数 m ? ___2
2 2 2

14.若点 P( x, y) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,
2 2 则 x ? y 的最小值为

2 2

2

.2 2
4 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 15. (本小题满分 12 分)已知直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,
2

2 侧视图

(1)求与 l 平行,且过点 (1, 4) 的直线方程: (2)已知圆心为 (1,4) ,且与直线 l 相切求圆的方程; 解: (1)∵所求的直线与直线 l 平行,

正视图

图2
俯视图

∴设所求的直线方程为 x ? 2 y ? c ? 0(c ? ?4) ,

? 直线经过点 (1, 4) 即 1 ? 2 ? 4 ? c ? 0, c ? ?9
∴所求的直线方程为 x ? 2 y ? 9 ? 0 . ……6 分

(2) 设圆的半径为 r ,?圆与直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 相切

?r ?

1? 8 ? 4 1? 2
2

? 5

∴所求的圆的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 4)2 ? 5 . ……12 分

16、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? (1)证明 f (x ) 在 ?1,??? 上是减函数;

x ?1 ?x ? 1? . x ?1

(2)当 x ? ?3,5?时,求 f (x ) 的最小值和最大值. (1)证明:设 1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1 x2 ? 1
……4 分

…2 分

?

?x1 ? 1??x2 ? 1? ? ?x2 ? 1??x1 ? 1? ? ? 2?x2 ? x1 ? ?x1 ? 1??x2 ? 1? ?x1 ? 1??x2 ? 1?

? x1 ? 1, x2 ? 1, ? x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, ? ( x1 ? 1)?x2 ? 1? ? 0, ? x1 ? x2 ,? x2 ? x1 ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
? f (x ) 在 ?1,??? 上是减函数。
(2)? ?3,5? ? ?1,??? ,? f (x ) 在 ?3,5? 上是减函数, ……10 分 ……12 分

……6 分 ……7 分 ……8 分

? f ( x) max ? f (3) ? 2, f ( x) min ? f (5) ? 1.5,

6

17、 (本小题满分 14 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , AB ? BC ? AA1 ,且 AC ? 2 BC , 点 D 是 AB 的中点. (1)证明: AC1 // 平面 B1CD ;(2)求证: AB ? 平面 BCC1B1 (3)证明:平面 ABC1 ? 平面 B1CD .

A1 B1

C1

A D B

C

7

18. (本小题满分 14 分)如图,已知矩形 ABCD 中, AB ? 10 , BC ? 6 ,将矩形沿对角线 BD 把 ?ABD 折起, 使 A 移到 A?1 点,且 A?1 在平面 BCD 上的射影 O 恰在 CD 上,即 A?1O ? 平面 DBC . (1)求证: BC ? A1D ; (2)平面 A?1BC ? 平面 A?1BD ;
D A A1

(3)求点 C 到平面 A?1BD 的距离. 18. 【解析】 (1)∵ A?1O ? 平面 DBC ,∴ A?1O ? BC , 又 ∵ BC ? DC , AO ? DC ? O , 1 ∴ BC ? 平面 A?1DC ,∴ BC ? A?1D . (2)∵ BC ? A?1D , A?1D ? A?1B , BC ? A?1B ? B , ∴ A1D ? 平面 A BC , 1 又 ∵ A?1 D ? 平面 A?1BD , ∴平面 A?1BC ? 平面 A?1BD . (3)设 C 到平面 A?1BD 的距离为 h ,则 ∵ VC ? A1BD ? VA1 ? DBC , 又 ∵ S?A1BD ∴ h? ……9 分 ……4 分
O B C

1 1 S?A1BD ? h ? S?DBC ? A1O , 3 3 6 ? 8 24 ? , ? S?DBC , A1O ? 10 5
∴ ……14 分

24 . 5

8

19、 (本小题满分 14 分)已知直线 l : x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 C : x2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 相交于 P, Q 两点, O 为坐标原点,D 为线段 PQ 的中点。 (1)求圆心 C 和点 D 的坐标; (3)若 OP ? OQ ,求 PQ 的长以及 m 的值。 19.解:(1)?C : x2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 ? C : ( x ? ) ? ( y ? 3) ?
2 2

1 2

37 ?m 4

圆心 C 为 (? ,3) ,? CD ? PQ ? kCD ? ?

1 2

1 ?2 kPQ

1 ? lCD : y ? 3 ? 2( x ? ) 即 2 x ? y ? 4 ? 0 2
联立方程 ?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? x ? ?1 解之得 ? 即 D(?1, 2) …………………6 分 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?y ? 2

(2)解法一:连接 PC ,? D 为 PQ 的中点, OP ? OQ …………………8 分

? PQ ? 2 OD ? 2 1 ? 22 ? 2 5 …………………10 分
在 Rt ? PCD 中,? CD ? PD ? PC ?
2 2 2

37 ? m …………………11 分 4

又 PD ?

1 1 5 …………………13 分 AB ? 5, CD ? ?1 ? 2 4 2

?

37 25 ? m ? , m ? 3 …………………14 分 4 4
y p yQ
p

(2)解法二:设点 P(xp,yQ),Q(xQ,yQ) 当 OP⊥ OQ≥Kop· OQ=-1 ? x · =-1 ? xpxQ+ypyQ = 0 K x
Q

(1)……………………8 分

又直线与圆相交于 P、Q

? x ? 2 y ? 3 ? 0(2) ?? 2 2 ? x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0(3)

的根是 P、Q 坐标

?是方程 5x2+10x+(4m-27)=0 的两根

4m ? 27 ……………………10 分 5 1 又 P、Q 在直线 x+2y-3=0 上 yp·Q= y (3- xp)· xQ) (32 1 = [9-3(xp+ xQ)+ xp·Q] ……………………11 分 x 4
有:xp+xQ=-2,xp·Q= x 由(1)(2)(3)得:m=3………………………………12 分 且检验△>O 成立…………………………………13 分 故存在 m=3,使 OP⊥ OQ…………………………14 分

9

20. (本小题满分 14 分) 设 a 为常数, a ? R ,函数 f ( x) ? x2 ? | x ? a | ?1 ( x ? R) . (1)若函数 f ( x ) 为偶函数,求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的最小值.

解: (1)因为 f ( x ) 为 R 上的偶函数,所以 f (? x) ? f ( x) 对一切实数 x 恒成立, 即 (? x)2 ? | ? x ? a | ?1 ? x2 ? | x ? a | ?1 恒成立, 化简得 | ? x ? a | ?| x ? a | 恒成立,故 ?x ? a ? x ? a 或 ?x ? a ? ?x ? a 恒成立, 故a ? 0; (2)注:此问和第(1)问无关系。二次函数问题要画图分析

1 3 ,对称轴为 x ? ? , 2 4 1 1 1 2 1 3 若 a ? ? , f ( x ) 的最小值 g (a ) ? f (? ) ? (? ) ? (? ) ? a ? 1 ? ? a ? ; 2 2 2 2 4 1 若 a ? ? , f ( x ) 的最小值 g (a) ? f (a) ? a2 ? a ? a ? 1 ? a 2 ? 1 ; 2 1 2 3 1 2 当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ? ,对称轴为 x ? , 2 4 2 1 若 a ? , f ( x ) 的最小值 g (a) ? f (a) ? a2 ? a ? a ? 1 ? a 2 ? 1 ; 2 1 1 1 2 1 3 若 a ? , f ( x ) 的最小值 g (a) ? f ( ) ? ( ) ? ? a ? 1 ? a ? ; 2 2 2 2 4
2 2 a 当 x … 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?

1 2

3 1 ? a? ? ??a ? 4 , 2 ? 1 1 ? 2 综上, f ( x ) 的最小值 g ( a ) ? ? a ? 1, ? ? a ? 2 2 ? 3 1 ? a? ? a? 4, 2 ?

10


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