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高中全程复习方略配套课件:5.1数列(含函数特性


第一节

数列(含函数特性)

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三年2考

高考指数:★

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项

公式);
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

1.根据数列的递推关系求通项公

式和已知前n项和Sn求an是高考 考查的重点.

2.多在解答题中出现,属中档题目.

1.数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义 一定次序 ①数列:按照_________排列的一列数. 每一个数 ②数列的项:数列中的_________.

(2)数列的分类

分类标准





满足条件
有限 项数_____ 无限 项数_____ > an+1__an < an+1__an

有穷数列 项数 无穷数列 递增数列

项与项间的大小 关系

递减数列 常数列

其中 n∈N+

an+1=an

(3)数列的通项公式

n 如果数列{an}的第n项an与__之间的函数关系可以用一个式子表
示成an=f(n),那么这个式子叫作这个数列的通项公式.

【即时应用】 (1)思考:数列的通项公式是唯一的吗?

提示:不唯一,如数列-1,1,-1,1,?的通项公式可以是
an=(-1)n(n∈N+),也可以是 a ? ??1(n为奇数) . ? n
?1(n为偶数)

(2)判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
①数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}. ( )

②数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列. ( ③数列{ n ? 1 }的第k项为1+
n
1 . k

) ) )

( (

④数列0,2,4,6,?可记为{2n}.

【解析】由数列的定义可知①、②错误;数列{ n ? 1 }的第k项
n

为 k ? 1=+ 1 , 故③正确;数列0,2,4,6,?的通项公式为an= 1
k k

2n-2,故④错.综上知,③正确;①,②,④错误.

答案:①×

②×

③√

④×

(3)若数列{an}的通项公式为 a n ?

n , 那么这个数列是____数 n ?1

列.(填“递增”、“递减”、“摆动”) 【解析】令f(x)= x , 则f(x)= 1 ? 1 在(0,+∞)上是增函
x ?1 x ?1

数,则数列{an}是递增数列. 答案:递增

(4)数列9,99,999,?的通项公式an=_____.

【解析】9=10-1,99=102-1,999=103-1,?,
∴an=10n-1. 答案:10n-1

2.an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn,
S1 (n ? 1) ? ___ 则 an ? ? Sn ? Sn ?1 ? ________ (n ? 2)

【即时应用】 (1)数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=________. (2)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=nan,则an=______.

【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1] =n2-(n-1)2=2n-1, 将n=1代入an=2n-1得a1=1≠2.
?2 ?an ? ? ?2n ? 1 (n ? 1) (n ? 2) .

(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1, ∴an=an-1(n≥2),∴an=1. 答案:(1) ?2 ?
(n ? 1) (n ? 2) ?2n ? 1 (2)1

已知数列的前几项,归纳数列的通项公式 【方法点睛】求数列的通项时,要抓住以下几个特征 (1)分式中分子、分母的特征; (2)相邻项的变化特征; (3)拆项后的特征; (4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想.

【例1】根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,? (2)0.8,0.88,0.888,?
1 1 5 13 29 61 (3) , , ? , , ? , ,? 2 4 8 16 32 64

【解题指南】(1)从各项符号和各项绝对值的关系两方面考虑. (2)从考虑数列0.8,0.88,0.888,?和数列0.9,0.99,0.999,? 的关系着手. (3)分子规律不明显,从考虑分子与分母的关系着手.

【规范解答】(1)符号可通过(-1)n表示,后面的数的绝对值总
比前面的数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).

(2)数列变为 8 (1-0.1), 8 (1-0.01), 8 (1-0.001),?,
9 9 9

∴an=

8 1 (1- n ). 9 10 2?3 . 2

(3)各项的分母分别为21,22,23,24,?,易看出第2,3,4
项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为 ?
21 ? 3 22 ? 3 23 ? 3 24 ? 3 原数列化为 ? 1 , 2 , 3 , 4 , , ? ? 2 2 2 2 n n 2 ?3 ? a n ? (?1) ? n . 2

【反思·感悟】1.解答本题(3)时有两个困惑:一是首项的符 号,二是各项分子规律不明显.解答时从分子与分母的关系入 手,是求解的关键. 2.归纳通项公式应从以下四个方面着手: (1)观察项与项之间的关系;

(2)符号与绝对值分别考虑;
(3)分开看分子、分母,再综合看分子、分母的关系;

(4)规律不明显时适当变形.

已知Sn求an 【方法点睛】已知Sn求an时应注意的问题 (1)应重视分类讨论思想的应用,分n=1和n≥2两种情况讨论, 特别注意an=Sn-Sn-1中需n≥2. (2)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时,a1也适合“an式”,则需统

一“合写”.
(3)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时,a1不适合“an式”,则数列

的通项公式应分段表示(“分写”),即 a n ? ?S1 ?

(n ? 1),

?Sn ? Sn ?1 (n ? 2).

【例2】已知数列{an}的前n项和Sn,分别求它们的通项公式.

(1)Sn=2n2+3n;(2)Sn=3n+1.
【解题指南】解决本题的关键是明确通项公式与前n项和Sn的 关系,利用 a n ? ?
?S1 ?Sn ? Sn ?1 (n ? 1) (n ? 2) 进行求解.

【规范解答】(1)由题可知, 当n=1时,a1=S1=2×12+3×1=5,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1.
当n=1时,4×1+1=5=a1,∴an=4n+1.

(2)当n=1时,a1=S1=3+1=4, 当n≥2时,

an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1.
当n=1时,2×31-1=2≠a1,
?4 ?an ? ? n ?1 ?2 ? 3 (n ? 1) (n ? 2) .

【反思·感悟】解答此类题目易犯的错误是没有分n=1和n≥2 两种情况求解,而是直接根据an=Sn-Sn-1求得an.

由递推公式求数列的通项公式 【方法点睛】1.“累加法”求an 已知a1且an-an-1=f(n)(n≥2),可以用“累加法”,即an-an-1 =f(n),an-1-an-2=f(n-1),?,a3-a2=f(3),a2-a1=f(2),所有等式 左右两边分别相加,代入a1得an.

2.“累乘法”求an 已知a1且
a n ?1

an =f(n)(n≥2),可以用“累乘法”, a n ?1
a n ?2 a2 a1

即 a n ? f (n), a n ?1 ? f (n ? 1),?, a 3 ? f (3), a 2 ? f (2), 所有等式左右两边分别相乘,代入a1得an.

3.“转化法”求an 已知首项a1=a,递推关系为an+1=qan+b(n∈N*).求通项公式

时可将公式转化为an+1+a=q(an+a)的形式,利用等比数列求
解.

【提醒】在求解出通项公式后,记得验证a1是否满足公式.

【例3】根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=2,an+1=an+ln(1+ ); (2)a1=1,nan+1=(n+1)an. 【解题指南】(1)求an-an-1,累加求和并验证n=1的情形.
1 n

(2)求 a n , 累乘求积并验证n=1的情形.
a n ?1

【规范解答】(1)∵an+1=an+ln(1+ 1 ),
n

∴an-an-1=ln(1+ 1 )= ln n (n≥2),
n ?1
n ?1

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1
n n ?1 3 ? ln ??? ln ? ln2 ? 2 n ?1 n?2 2 n n ?1 3 ? 2 ? ln( ? ? ? ?2) ? 2 ? lnn(n ? 2). ? n ?1 n ? 2 2 ? ln

又a1=2适合上式,故an=2+lnn(n∈N+).

(2)∵a1=1,nan+1=(n+1)an,
? a n ?1 n ? 1 a n ? ,? n ? (n ? 2). an n a n ?1 n ? 1 a a a n a n ?1 ? ? ? 3 ? 2 ?a1 ? a n ?1 a n ?2 a 2 a1

?an ?

n n ?1 3 2 ? ? ? ? ? ? ? n(n ? 2), ? 1 n ?1 n ? 2 2 1

又a1=1适合上式,故an=n(n∈N+).

【反思·感悟】解答此类题目应注意两个方面的问题:一是何 时应用“累加”或“累乘”法,可从所给递推公式的结构上分 析.二是如何“累加”或“累乘”,这是求通项公式an的关键, 应注意对“累加”式或“累乘”式的变形.

【易错误区】忽视数列的项数n的范围致误
【典例】(2012·大连模拟)已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,
an 则 的最小值为_______. n

【解题指南】先用“累加法”求出an,再根据 a n 的单调性求最
n

小值.

【规范解答】∵an+1-an=2n,∴an-an-1=2(n-1), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 =(2n-2)+(2n-4)+?+2+33=n2-n+33(n≥2), 又a1=33适合上式,∴an=n2-n+33,
an 33 ? n ? ? 1. n n 令f(x)=x+ 33 -1(x>0),则f′(x)=1- 33 , x2 x ?

令f′(x)=0得x= 33.
∴当0<x< 33 时,f′(x)<0,

当x>

33

时,f′(x)>0,

即f(x)在区间(0, 33 )上递减,在区间( 33, +∞)上递增.
又5 ? 33 ? 6,且f (5) ? 5 ? f (6) ? 6 ? 33 53 ?1 ? , 5 5

33 21 ? 1 ? , f (5) ? f (6), ? 6 2

a ∴当n=6时, n 有最小值 21 . n 2

答案:21
2

【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结,我们可以得到以下
误区警示和备考建议: 在解答本题时,以下几点容易出错:

误 (1)an求错;
区 警 示 (2)求 a n 的最小值时,直接使用基本不等式,忽视了等号
n

成立的条件;
(3)求 a n 的最小值时,误认为是n=5时的值最小.
n

解决此类数列问题时,以下几点在备考时要高度关注: 备 (1)用“累加法”求an时,不要忘记加上a1. 考 (2)在用基本不等式求 a n 的最小值时,由于等号成立的 n 建 条件 (n ? 33 ? N? ) 不满足,故不能使用基本不等式求最小 议 值,而应借助函数的单调性求解.

1.(2012·珠海模拟)设数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则a7的值为 ( (A)13 (B)14 (C)15 (D)16 )

【解析】选B.a7=S7-S6=(72+7)-(62+6)=14.

2.(2012·中山模拟)数列
(A) 16 17 (B) 18 19

2 4 6 8 , , , ,? 的第10项是( 3 5 7 9 20 22 (C) (D) 21 23 2n ? 1

)

【解析】选C.由已知得数列的通项公式 a ? 2n ,? a ? 20 . n 10
21

3.(2012·杭州模拟)已知数列{an},若a1=b(b>0), an+1 ? ? 1 (n ? N ? ), 则能使an=b成立的n的值可能是(
an ?1

)

(A)14

(B)15

(C)16

(D)17
1 ? ?1 ? , a2 ?1 b

【解析】选C.∵ a 2 ? ? 1 ,a 3 ? ? 1
b ?1 a4 ? ?

1 ? b,故数列{an}是以3为周期的数列. a3 ? 1

∴a16=a1=b.

4.(2012·合肥模拟)数列{an}中,a1=1,an+1= 2a n (n∈N+),
an ? 2

则a5=(
2 (A) 5

)
1 (B) 3

2 1 (C) (D) 3 2 【解析】选B. ? a n ?1 ? 2a n ,? 1 ? a n ? 2 ? 1 ? 1 , a n ? 2 a n ?1 2a n an 2



1 a n ?1

?

1 1 1 1 1 ? ,又 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 4 ? 3, , an 2 a1 a5 2

1 ?a5 ? . 3

5.(2011·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn满足:
Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a10=( (A)1 (B)9 ) (C)10 (D)55

【解析】选A.∵Sn+Sm=Sn+m, ∴令n=9,m=1,得S9+S1=S10,即S1=S10-S9=a10=1,∴a10=1.


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