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2015中考数学真题分类汇编 二次函数填空选择精选50题(含解析)


2015 中考数学真题分类汇编:二次函数(选择题) 一.选择题(共 30 小题) 1.(2015?兰州)下列函数解析式中,一定为二次函数的是( A. y=3x﹣1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2﹣2t+1 D. y=x2+



2.(2015?宁夏)函数 y= 与 y=﹣kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(



A.

B.

C.

D. )

3.(2015?衢州)下列四个函数图象中,当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小的是(

A. B. C. D. 4.(2015?锦州)在同一坐标系中,一次函数 y=ax+2 与二次函数 y=x2+a 的图象可能是(



A.

B.
2

C.

D.

5.(2015?湖北)二次函数 y=ax +bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示,则一次函数 y=ax+b 与反比 例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )

A.

B.

C.
2 2

D. )

6.(2015?泰安)在同一坐标系中,一次函数 y=﹣mx+n 与二次函数 y=x +m 的图象可能是(

A. x … ﹣2

B. ﹣1 0 1 2

C.
2

D.

7.(2015?泰安)某同学在用描点法画二次函数 y=ax +bx+c 的图象时,列出了下面的表格: …

y



﹣11 ﹣2

1

﹣2

﹣5



由于粗心,他算错了其中一个 y 值,则这个错误的数值是( ) A. ﹣11 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣5 2 8.(2015?沈阳)在平面直角坐标系中,二次函数 y=a(x﹣h) (a≠0)的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

9.(2015?安徽)如图,一次函数 y1=x 与二次函数 y2=ax2+bx+c 图象相交于 P、Q 两点,则函数 y=ax2+(b﹣1) x+c 的图象可能是( )

A.

B.

C.
2

D. )

10.(2015?泉州)在同一平面直角坐标系中,函数 y=ax +bx 与 y=bx+a 的图象可能是(

A.

B.

C.

D.

11.(2015?咸宁)如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象,下列结论: 2 ①二次三项式 ax +bx+c 的最大值为 4; ②4a+2b+c<0; 2 ③一元二次方程 ax +bx+c=1 的两根之和为﹣1; ④使 y≤3 成立的 x 的取值范围是 x≥0. 其中正确的个数有( )

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 12.(2015?新疆)抛物线 y=(x﹣1)2+2 的顶点坐标是( ) A. (﹣1,2) B. (﹣1,﹣2) C. (1,﹣2) D. (1,2)

13. (2015?梅州)对于二次函数 y=﹣x2+2x.有下列四个结论:①它的对称轴是直线 x=1;②设 y1=﹣x12+2x1,y2= ﹣x22+2x2,则当 x2>x1 时,有 y2>y1;③它的图象与 x 轴的两个交点是(0,0)和(2,0);④当 0<x<2 时,y >0.其中正确的结论的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 14.(2015?南昌)已知抛物线 y=ax +bx+c(a>0)过(﹣2,0),(2,3)两点,那么抛物线的对称轴( ) A. 只能是 x=﹣1 B. 可能是 y 轴 C. 在 y 轴右侧且在直线 x=2 的左侧 D. 在 y 轴左侧且在直线 x=﹣2 的右侧 15.(2015?福州)已知一个函数图象经过(1,﹣4),(2,﹣2)两点,在自变量 x 的某个取值范围内,都有函 数值 y 随 x 的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是( ) A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 反比例函数 D. 二次函数 2 16.(2015?甘孜州)二次函数 y=x +4x﹣5 的图象的对称轴为( ) A. x=4 B. x=﹣4 C. x=2 D. x=﹣2 2 17. (2015?常州)已知二次函数 y=x +(m﹣1)x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,而 m 的取值范围是( ) A. m=﹣1 B. m=3 C. m≤﹣1 D. m≥﹣1 18.(2015?玉林)如图,反比例函数 y= 的图象经过二次函数 y=ax +bx 图象的顶点(﹣ ,m)(m>0),则有 ( )
2

A. a=b+2k B. a=b﹣2k C. k<b<0 D. a<k<0 19.(2015?台州)设二次函数 y=(x﹣3)2﹣4 图象的对称轴为直线 l,若点 M 在直线 l 上,则点 M 的坐标可能 是( ) A. (1,0) B. (3,0) C. (﹣3,0) D. (0,﹣4) 20.(2015?兰州)在下列二次函数中,其图象对称轴为 x=﹣2 的是( ) 2 2 2 2 A. y=(x+2) B. y=2x ﹣2C. y=﹣2x ﹣2 D. y=2(x﹣2) 21.(2015?益阳)若抛物线 y=(x﹣m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则 m 的取值范围为( ) A. m>1 B. m>0 C. m>﹣1 D. ﹣1<m<0 22.(2015?黔南州)二次函数 y=x2﹣2x﹣3 的图象如图所示,下列说法中错误的是( )

A. 函数图象与 y 轴的交点坐标是(0,﹣3) B. 顶点坐标是(1,﹣3) C. 函数图象与 x 轴的交点坐标是(3,0)、(﹣1,0) D. 当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小 23.(2015?安顺)如图为二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法: ①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3 时,y>0 其中正确的个数为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 24.(2015?恩施州)如图是二次函数 y=ax +bx+c 图象的一部分,图象过点 A(﹣3,0),对称轴为直线 x=﹣1, 给出四个结论: ①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c>0;④若点 B(﹣ ,y1)、C(﹣ ,y2)为函数图象上的两点,则 y1<y2, 其中正确结论是( )

A. ②④ B. ①④ C. ①③ D. ②③ 2 25.(2015?日照)如图是抛物线 y1=ax +bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标 A(1,3),与 x 轴的一 个交点 B(4,0),直线 y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于 A,B 两点,下列结论: 2 ①2a+b=0;②abc>0;③方程 ax +bx+c=3 有两个相等的实数根;④抛物线与 x 轴的另一个交点是(﹣1,0);⑤ 当 1<x<4 时,有 y2<y1, 其中正确的是( )

A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤ 26.(2015?毕节市)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则下列关系式错误的是(



A. a<0 B. b>0 C. b2﹣4ac>0 D. a+b+c<0 27.(2015?深圳)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法正确的个数是( ①a>0;②b>0;③c<0;④b2﹣4ac>0.



A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 28.(2015?南宁)如图,已知经过原点的抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的对称轴是直线 x=﹣1,下列结论中:? ①ab>0,?②a+b+c>0,?③当﹣2<x<0 时,y<0. 正确的个数是( )

A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 29. (2015?孝感) 如图, 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象与 x 轴交于 A, B 两点, 与 y 轴交于点 C, 且 OA=OC. 则 下列结论: ①abc<0;② >0;③ac﹣b+1=0;④OA?OB=﹣ . )

其中正确结论的个数是(

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 30.(2015?遂宁)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①2a+b>0;②abc<0;③b2﹣4ac >0;④a+b+c<0;⑤4a﹣2b+c<0,其中正确的个数是( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二.填空题(共 21 小题) 1.(2015?常州)二次函数 y=﹣x2+2x﹣3 图象的顶点坐标是 . 2 2.(2015?漳州)已知二次函数 y=(x﹣2) +3,当 x 时,y 随 x 的增大而减小. 2 3. (2015?杭州)函数 y=x +2x+1,当 y=0 时,x= ;当 1<x<2 时,y 随 x 的增大而 写“增大”或“减小”). 4.(2015?天水)下列函数(其中 n 为常数,且 n>1) ①y= (x>0);②y=(n﹣1)x;③y= x 的值增大而增大的函数有 个.
2

(填

(x>0);④y=(1﹣n)x+1;⑤y=﹣x +2nx(x<0)中,y 的值随

5.(2015?淄博)对于两个二次函数 y1,y2,满足 y1+y2=2x2+2 x+8.当 x=m 时,二次函数 y1 的函数值为 5,且 二次函数 y2 有最小值 3.请写出两个符合题意的二次函数 y2 的解析式 (要求:写出的解析式的对称 轴不能相同). 6.(2015?十堰)抛物线 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,且 a≠0)经过点(﹣1,0)和(m,0),且 1<m<2, 当 x<﹣1 时,y 随着 x 的增大而减小.下列结论:①abc>0;②a+b>0;③若点 A(﹣3,y1),点 B(3,y2)都 2 在抛物线上,则 y1<y2;④a(m﹣1)+b=0;⑤若 c≤﹣1,则 b ﹣4ac≤4a.其中结论错误的是 .(只 填写序号) 7.(2015?乌鲁木齐)如图,抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x=﹣1.且过点( ,0),有下列结论:①abc>0; ②a﹣2b+4c=0; ③25a﹣10b+4c=0; ④3b+2c>0; ⑤a﹣b≥m (am﹣b) ; 其中所有正确的结论是 写正确结论的序号) . (填

8.(2015?长春)如图,在平面直角坐标系中,点 A 在抛物线 y=x2﹣2x+2 上运动.过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C, 以 AC 为对角线作矩形 ABCD,连结 BD,则对角线 BD 的最小值为 .

9.(2015?河南)已知点 A(4,y1),B( y1、y2、y3 的大小关系是 .

,y2),C(﹣2,y3)都在二次函数 y=(x﹣2) ﹣1 的图象上,则

2

10.(2015?乐山)在直角坐标系 xOy 中,对于点 P(x,y)和 Q(x,y′),给出如下定义:若 y′=



则称点 Q 为点 P 的“可控变点”. 例如:点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(﹣1,3)的“可控变点”为点(﹣1,﹣3). (1)若点(﹣1,﹣2)是一次函数 y=x+3 图象上点 M 的“可控变点”,则点 M 的坐标为 . 2 (2)若点 P 在函数 y=﹣x +16(﹣5≤x≤a)的图象上,其“可控变点”Q 的纵坐标 y′的取值范围是﹣16≤y′≤16,则实 数 a 的取值范围是 . 11.(2015?宿迁)当 x=m 或 x=n(m≠n)时,代数式 x2﹣2x+3 的值相等,则 x=m+n 时,代数式 x2﹣2x+3 的值 为 . 2 12.(2015?龙岩)抛物线 y=2x ﹣4x+3 绕坐标原点旋转 180° 所得的抛物线的解析式是 . 2 2 13.(2015?湖州)如图,已知抛物线 C1:y=a1x +b1x+c1 和 C2:y=a2x +b2x+c2 都经过原点,顶点分别为 A,B, 与 x 轴的另一交点分别为 M,N,如果点 A 与点 B,点 M 与点 N 都关于原点 O 成中心对称,则称抛物线 C1 和 C2 为姐妹抛物线,请你写出一对姐妹抛物线 C1 和 C2,使四边形 ANBM 恰好是矩形,你所写的一对抛物线解析式是 和 .

14.(2015?绥化)把二次函数 y=2x 的图象向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,平移后抛物线的 解析式为 . 2 15.(2015?岳阳)如图,已知抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,顶点 C 的纵坐标为﹣2,现将抛物线向 2 右平移 2 个单位,得到抛物线 y=a1x +b1x+c1,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) ①b>0 ②a﹣b+c<0 ③阴影部分的面积为 4 ④若 c=﹣1,则 b2=4a.

2

16.(2015?莆田)用一根长为 32cm 的铁丝围成一个矩形,则围成矩形面积的最大值是 cm . 2 17.(2015?资阳)已知抛物线 p:y=ax +bx+c 的顶点为 C,与 x 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧),点 C 关于 x 轴的对称点为 C′, 我们称以 A 为顶点且过点 C′, 对称轴与 y 轴平行的抛物线为抛物线 p 的“梦之星”抛物线, 2 直线 AC′为抛物线 p 的“梦之星”直线. 若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是 y=x +2x+1 和 y=2x+2, 则这条抛物线的解析式为 . 18.(2015?营口)某服装店购进单价为 15 元童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为 25 元时平均每天能 售出 8 件,而当销售价每降低 2 元,平均每天能多售出 4 件,当每件的定价为 元时,该服装店平均 每天的销售利润最大. 19.(2015?温州)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示 的三处各留 1m 宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为 27m,则能建成的饲养室面积最大为 m2.

2

20.(2015?湖州)已知在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点,线段 AB 的两个端点 A(0,2),B(1,0) 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上,点 C 为线段 AB 的中点,现将线段 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 90° 得到线段 BD, 2 抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)经过点 D. (1)如图 1,若该抛物线经过原点 O,且 a=﹣ . ①求点 D 的坐标及该抛物线的解析式; ②连结 CD,问:在抛物线上是否存在点 P,使得∠POB 与∠BCD 互余?若存在,请求出所有满足条件的点 P 的 坐标,若不存在,请说明理由; 2 (2)如图 2,若该抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)经过点 E(1,1),点 Q 在抛物线上,且满足∠QOB 与∠BCD 互 余.若符合条件的 Q 点的个数是 4 个,请直接写出 a 的取值范围.

21.(2015?衢州)如图,已知直线 y=﹣ x+3 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B,P 是抛物线 y=﹣ x2+2x+5 的一个动 点, 其横坐标为 a, 过点 P 且平行于 y 轴的直线交直线 y=﹣ x+3 于点 Q, 则当 PQ=BQ 时, a 的值是 .

参考答案与试题解析

一.选择题(共 30 小题) 1.(2015?兰州)下列函数解析式中,一定为二次函数的是( A. y=3x﹣1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2﹣2t+1 D. y=x2+ 考点: 二次函数的定义. 分析: 根据二次函数的定义,可得答案. 解答: 解:A、y=3x﹣1 是一次函数,故 A 错误; B、y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数,故 B 错误; C、s=2t2﹣2t+1 是二次函数,故 C 正确; D、y=x + 不是二次函数,故 D 错误; 故选:C. 点评: 本题考查了二次函数的定义,y=ax2+bx+c
2



(a≠0)是二次函数,注意二次函数都是整式. )

2.(2015?宁夏)函数 y= 与 y=﹣kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(

A.

B.

C.

D.

考点: 二次函数的图象;反比例函数的图象. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负,再与二次函数的图象相比较看是否一致. 解答: 解:由解析式 y=﹣kx2+k 可得:抛物线对称轴 x=0; A、由双曲线的两支分别位于二、四象限,可得 k<0,则﹣k>0,抛物线开口方向向上、抛物线与 y 轴的交点为 y 轴的负半轴上;本图象与 k 的取值相矛盾,故 A 错误; B、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得 k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上,本图象符合题意,故 B 正确;

C、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得 k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上,本图象与 k 的取值相矛盾,故 C 错误; D、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得 k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上,本图象与 k 的取值相矛盾,故 D 错误. 故选:B. 点评: 本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象,解决此类问题步骤一般为:(1)先根据图象的特点判断 k 取值是否矛盾;(2)根据二次函数图象判断抛物线与 y 轴的交点是否符合要求. 3.(2015?衢州)下列四个函数图象中,当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小的是( )

A. B. C. D. 考点: 二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象. 专题: 计算题. 分析: 利用一次函数,二次函数,以及反比例函数的性质判断即可.

解答: 解:当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小的是



故选 B 点评: 此题考查了二次函数的图象,一次函数的图象,以及反比例函数的图象,熟练掌握各自的图象与性质是 解本题的关键. 2 4.(2015?锦州)在同一坐标系中,一次函数 y=ax+2 与二次函数 y=x +a 的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 二次函数的图象;一次函数的图象. 分析: 根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与 y 轴的交点为(0,2),二次函数的开口向上,据此 判断二次函数的图象. 解答: 解:当 a<0 时,二次函数顶点在 y 轴负半轴,一次函数经过一、二、四象限; 当 a>0 时,二次函数顶点在 y 轴正半轴,一次函数经过一、二、三象限. 故选 C. 点评: 此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质,用到的知识点为:二次函数和一次函数的常数项是 图象与 y 轴交点的纵坐标. 5.(2015?湖北)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示,则一次函数 y=ax+b 与反比 例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象. 分析: 根据二次函数图象开口向下得到 a<0,再根据对称轴确定出 b,根据与 y 轴的交点确定出 c>0,然后确 定出一次函数图象与反比例函数图象的情况,即可得解. 解答: 解:∵二次函数图象开口方向向下, ∴a<0, ∵对称轴为直线 x=﹣ >0,

∴b>0, ∵与 y 轴的正半轴相交, ∴c>0, ∴y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限, 反比例函数 y= 图象在第一三象限, 只有 C 选项图象符合. 故选 C. 点评: 本题考查了二次函数的图形,一次函数的图象,反比例函数的图象,熟练掌握二次函数的有关性质:开 口方向、对称轴、与 y 轴的交点坐标等确定出 a、b、c 的情况是解题的关键. 2 2 6.(2015?泰安)在同一坐标系中,一次函数 y=﹣mx+n 与二次函数 y=x +m 的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 二次函数的图象;一次函数的图象. 分析: 本题可先由一次函数 y=﹣mx+n2 图象得到字母系数的正负, 再与二次函数 y=x2+m 的图象相比较看是否一 致. 解答: 解:A、由直线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知,n2<0,错误; B、由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上可知,m>0,由直线可知,﹣m>0,错误; C、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知,m<0,由直线可知,﹣m<0,错误; D、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知,m<0,由直线可知,﹣m>0,正确, 故选 D. 点评: 本题考查抛物线和直线的性质,用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法,难度适中. 7.(2015?泰安)某同学在用描点法画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象时,列出了下面的表格: x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 … 由于粗心,他算错了其中一个 y 值,则这个错误的数值是( ) A. ﹣11 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣5 考点: 二次函数的图象. 分析: 根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等,可得答案. 解答: 解:由函数图象关于对称轴对称,得 (﹣1,﹣2),(0,1),(1,2)在函数图象上, 把(﹣1,﹣2),(0,1),(1,﹣2)代入函数解析式,得



解得


2

函数解析式为 y=﹣3x +1 x=2 时 y=﹣11, 故选:D. 点评: 本题考查了二次函数图象,利用函数图象关于对称轴对称是解题关键. 2 8.(2015?沈阳)在平面直角坐标系中,二次函数 y=a(x﹣h) (a≠0)的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

考点: 二次函数的图象. 分析: 根据二次函数 y=a(x﹣h)2(a≠0)的顶点坐标为(h,0),它的顶点坐标在 x 轴上,即可解答. 2 解答: 解:二次函数 y=a(x﹣h) (a≠0)的顶点坐标为(h,0),它的顶点坐标在 x 轴上, 故选:D. 点评: 本题考查了二次函数的图象,解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标. 2 2 9.(2015?安徽)如图,一次函数 y1=x 与二次函数 y2=ax +bx+c 图象相交于 P、Q 两点,则函数 y=ax +(b﹣1) x+c 的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 二次函数的图象;正比例函数的图象. 2 2 分析: 由一次函数 y1=x 与二次函数 y2=ax +bx+c 图象相交于 P、Q 两点,得出方程 ax +(b﹣1)x+c=0 有两个 不相等的根,进而得出函数 y=ax2+(b﹣1)x+c 与 x 轴有两个交点,根据方程根与系数的关系得出函数 y=ax2+(b ﹣1)x+c 的对称轴 x=﹣ >0,即可进行判断.

解答: 解:∵一次函数 y1=x 与二次函数 y2=ax2+bx+c 图象相交于 P、Q 两点, ∴方程 ax2+(b﹣1)x+c=0 有两个不相等的根, ∴函数 y=ax2+(b﹣1)x+c 与 x 轴有两个交点, ∵方程 ax2+(b﹣1)x+c=0 的两个不相等的根 x1>0,x2>0, ∴x1+x2=﹣ ∴﹣ >0, >0,

∴函数 y=ax2+(b﹣1)x+c 的对称轴 x=﹣

>0,

∵a>0,开口向上, ∴A 符合条件, 故选 A. 点评: 本题考查了二次函数的图象,直线和抛物线的交点,交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系 等,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 2 10.(2015?泉州)在同一平面直角坐标系中,函数 y=ax +bx 与 y=bx+a 的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 二次函数的图象;一次函数的图象. 分析: 首先根据图形中给出的一次函数图象确定 a、b 的符号,进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次 函数的图象是否符合题意,根据选项逐一讨论解析,即可解决问题. 解答: 解:A、对于直线 y=bx+a 来说,由图象可以判断,a>0,b>0;而对于抛物线 y=ax2+bx 来说,对称轴 x= ﹣ <0,应在 y 轴的左侧,故不合题意,图形错误.
2

B、对于直线 y=bx+a 来说,由图象可以判断,a<0,b<0;而对于抛物线 y=ax +bx 来说,图象应开口向下,故不 合题意,图形错误. 2 C、对于直线 y=bx+a 来说,由图象可以判断,a<0,b>0;而对于抛物线 y=ax +bx 来说,图象开口向下,对称 轴 y =﹣ 位于 y 轴的右侧,故符合题意,
2

D、对于直线 y=bx+a 来说,由图象可以判断,a>0,b>0;而对于抛物线 y=ax +bx 来说,图象开口向下,a<0, 故不合题意,图形错误. 故选:C. 点评: 此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题;解题的方法是首先根据其中一次函数图象 确定 a、b 的符号,进而判断另一个函数的图象是否符合题意;解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象 的性质来分析、判断、解答. 11.(2015?咸宁)如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象,下列结论: ①二次三项式 ax2+bx+c 的最大值为 4; ②4a+2b+c<0; ③一元二次方程 ax2+bx+c=1 的两根之和为﹣1; ④使 y≤3 成立的 x 的取值范围是 x≥0. 其中正确的个数有( )

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 考点: 二次函数的图象;二次函数图象与系数的关系;二次函数的最值;抛物线与 x 轴的交点;二次函数与不 等式(组). 分析: ①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式 ax2+bx+c 的最大值;

②根据 x=2 时,y<0 确定 4a+2b+c 的符号; ③根据抛物线的对称性确定一元二次方程 ax2+bx+c=1 的两根之和; ④根据函数图象确定使 y≤3 成立的 x 的取值范围. 解答: 解:∵抛物线的顶点坐标为(﹣1,4),∴二次三项式 ax2+bx+c 的最大值为 4,①正确; ∵x=2 时,y<0,∴4a+2b+c<0,②正确; 2 根据抛物线的对称性可知,一元二次方程 ax +bx+c=1 的两根之和为﹣2,③错误; 使 y≤3 成立的 x 的取值范围是 x≥0 或 x≤﹣2,④错误, 故选:B. 点评: 本题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式,掌握二次函数的性质、正确获取 图象信息是解题的关键. 2 12.(2015?新疆)抛物线 y=(x﹣1) +2 的顶点坐标是( ) A. (﹣1,2) B. (﹣1,﹣2) C. (1,﹣2) D. (1,2) 考点: 二次函数的性质. 专题: 压轴题. 分析: 直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标. 2 解答: 解:∵顶点式 y=a(x﹣h) +k,顶点坐标是(h,k), ∴抛物线 y=(x﹣1)2+2 的顶点坐标是(1,2). 故选 D. 点评: 主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法.熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键. 13. (2015?梅州)对于二次函数 y=﹣x2+2x.有下列四个结论:①它的对称轴是直线 x=1;②设 y1=﹣x12+2x1,y2= 2 ﹣x2 +2x2,则当 x2>x1 时,有 y2>y1;③它的图象与 x 轴的两个交点是(0,0)和(2,0);④当 0<x<2 时,y >0.其中正确的结论的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 二次函数的性质. 分析: 利用配方法求出二次函数对称轴,再求出图象与 x 轴交点坐标,进而结合二次函数性质得出答案. 2 2 解答: 解:y=﹣x +2x=﹣(x﹣1) +1,故①它的对称轴是直线 x=1,正确; 2 2 ②∵直线 x=1 两旁部分增减性不一样,∴设 y1=﹣x1 +2x1,y2=﹣x2 +2x2,则当 x2>x1 时,有 y2>y1,错误; ③当 y=0,则 x(﹣x+2)=0,解得:x1=0,x2=2, 故它的图象与 x 轴的两个交点是(0,0)和(2,0),正确; ④∵a=﹣1<0, ∴抛物线开口向下, ∵它的图象与 x 轴的两个交点是(0,0)和(2,0), ∴当 0<x<2 时,y>0,正确. 故选:C. 点评: 此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法,得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关 键. 14.(2015?南昌)已知抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)过(﹣2,0),(2,3)两点,那么抛物线的对称轴( ) A. 只能是 x=﹣1 B. 可能是 y 轴 C. 在 y 轴右侧且在直线 x=2 的左侧 D. 在 y 轴左侧且在直线 x=﹣2 的右侧 考点: 二次函数的性质. 分析: 根据题意判定点(﹣2,0)关于对称轴的对称点横坐标 x2 满足:﹣2<x2<2,从而得出﹣2< 即可判定抛物线对称轴的位置. 解答: 解:∵抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)过(﹣2,0),(2,3)两点, ∴点(﹣2,0)关于对称轴的对称点横坐标 x2 满足:﹣2<x2<2, ∴﹣2< <0, <0,

∴抛物线的对称轴在 y 轴左侧且在直线 x=﹣2 的右侧. 故选 D.

点评: 本题考查了二次函数的性质,根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键. 15.(2015?福州)已知一个函数图象经过(1,﹣4),(2,﹣2)两点,在自变量 x 的某个取值范围内,都有函 数值 y 随 x 的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是( ) A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 反比例函数 D. 二次函数 考点: 二次函数的性质;一次函数的性质;正比例函数的性质;反比例函数的性质. 分析: 求出一次函数和反比例函数的解析式,根据其性质进行判断. 解答: 解:设一次函数解析式为:y=kx+b, 由题意得, ,

解得,



∵k>0, ∴y 随 x 的增大而增大, ∴A、B 错误, 设反比例函数解析式为:y= , 由题意得,k=﹣4, k<0, ∴在每个象限,y 随 x 的增大而增大, ∴C 错误, 当抛物线开口向上,x>1 时,y 随 x 的增大而减小. 故选:D. 点评: 本题考查的是正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质,掌握各个函数的增减性是解题的 关键. 2 16.(2015?甘孜州)二次函数 y=x +4x﹣5 的图象的对称轴为( ) A. x=4 B. x=﹣4 C. x=2 D. x=﹣2 考点: 二次函数的性质. 分析: 直接利用抛物线的对称轴公式代入求出即可. 解答: 解:二次函数 y=x +4x﹣5 的图象的对称轴为:x=﹣
2

=﹣

=﹣2.

故选:D. 点评: 此题主要考查了二次函数的性质,正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键. 17. (2015?常州)已知二次函数 y=x2+(m﹣1)x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,而 m 的取值范围是( A. m=﹣1 B. m=3 C. m≤﹣1 D. m≥﹣1 考点: 二次函数的性质. 分析: 根据二次函数的性质,利用二次函数的对称轴不大于 1 列式计算即可得解. 解答: 解:抛物线的对称轴为直线 x=﹣ ∵当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大而增大, ∴﹣ ≤1, ,



解得 m≥﹣1. 故选 D. 点评: 本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的增减性,熟记性质并列出不等式是解题的关键. 18.(2015?玉林)如图,反比例函数 y= 的图象经过二次函数 y=ax2+bx 图象的顶点(﹣ ,m)(m>0),则有 ( )

A. a=b+2k B. a=b﹣2k C. k<b<0 D. a<k<0 考点: 二次函数的性质;反比例函数图象上点的坐标特征. 专题: 计算题. 分析: 把(﹣ ,m)代入 y=ax2+bx 图象的顶点坐标公式得到顶点(﹣ ,﹣ ),再把(﹣ ,﹣ )代入 得 到 k= ,由图象的特征即可得到结论. 解答: 解:∵y=ax2+bx 图象的顶点(﹣ ,m),

∴﹣

=﹣ ,即 b=a,∴m=

=﹣ ,

∴顶点(﹣ ,﹣ ), 把 x=﹣ ,y=﹣ 代入反比例解析式得:k= , 由图象知:抛物线的开口向下, ∴a<0, ∴a<k<0, 故选 D. 点评: 本题考查了二次函数的性质,反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特 征是解题的关键. 19.(2015?台州)设二次函数 y=(x﹣3)2﹣4 图象的对称轴为直线 l,若点 M 在直线 l 上,则点 M 的坐标可能 是( ) A. (1,0) B. (3,0) C. (﹣3,0) D. (0,﹣4) 考点: 二次函数的性质. 分析: 根据二次函数的解析式可得出直线 l 的方程为 x=3,点 M 在直线 l 上则点 M 的横坐标一定为 3,从而选 出答案. 解答: 解:∵二次函数 y=(x﹣3)2﹣4 图象的对称轴为直线 x=3, ∴直线 l 上所有点的横坐标都是 3, ∵点 M 在直线 l 上, ∴点 M 的横坐标为 3, 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数的性质,解答本题的关键是掌握二次函数 y=a(x﹣h)2+k 的顶点坐标为(h,k), 对称轴是 x=h. 20.(2015?兰州)在下列二次函数中,其图象对称轴为 x=﹣2 的是( ) 2 2 2 2 A. y=(x+2) B. y=2x ﹣2C. y=﹣2x ﹣2 D. y=2(x﹣2) 考点: 二次函数的性质. 分析: 根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴,选出正确的选项. 解答: 解:y=(x+2)2 的对称轴为 x=﹣2,A 正确; 2 y=2x ﹣2 的对称轴为 x=0,B 错误; 2 y=﹣2x ﹣2 的对称轴为 x=0,C 错误; y=2(x﹣2)2 的对称轴为 x=2,D 错误. 故选:A.

点评: 本题考查的是二次函数的性质,正确求出二次函数图象的对称轴是解题的关键. 21.(2015?益阳)若抛物线 y=(x﹣m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则 m 的取值范围为( ) A. m>1 B. m>0 C. m>﹣1 D. ﹣1<m<0 考点: 二次函数的性质. 2 分析: 利用 y=ax +bx+c 的顶点坐标公式表示出其顶点坐标,根据顶点在第一象限,所以顶点的横坐标和纵坐标 都大于 0 列出不等式组. 2 2 2 解答: 解:由 y=(x﹣m) +(m+1)=x ﹣2mx+(m +m+1),

根据题意,



解不等式(1),得 m>0, 解不等式(2),得 m>﹣1; 所以不等式组的解集为 m>0. 故选 B. 点评: 本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围,同时考查了不等式组的解法,难度较大. 22.(2015?黔南州)二次函数 y=x2﹣2x﹣3 的图象如图所示,下列说法中错误的是( )

A. 函数图象与 y 轴的交点坐标是(0,﹣3) B. 顶点坐标是(1,﹣3) C. 函数图象与 x 轴的交点坐标是(3,0)、(﹣1,0) D. 当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小 考点: 二次函数的性质;二次函数的图象. 分析: A、将 x=0 代入 y=x2﹣2x﹣3,求出 y=﹣3,得出函数图象与 y 轴的交点坐标,即可判断; B、将一般式化为顶点式,求出顶点坐标,即可判断; C、将 y=0 代入 y=x2﹣2x﹣3,求出 x 的值,得到函数图象与 x 轴的交点坐标,即可判断; D、利用二次函数的增减性即可判断. 解答: 解:A、∵y=x2﹣2x﹣3, ∴x=0 时,y=﹣3, ∴函数图象与 y 轴的交点坐标是(0,﹣3),故本选项说法正确; B、∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4, ∴顶点坐标是(1,﹣4),故本选项说法错误; 2 C、∵y=x ﹣2x﹣3, ∴y=0 时,x2﹣2x﹣3=0, 解得 x=3 或﹣1, ∴函数图象与 x 轴的交点坐标是(3,0)、(﹣1,0),故本选项说法正确; D、∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4, ∴对称轴为直线 x=1, 又∵a=1>0,开口向上, ∴x<1 时,y 随 x 的增大而减小, ∴x<0 时,y 随 x 的增大而减小,故本选项说法正确; 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数的性质,抛物线与坐标轴的交点坐标,掌握二次函数的性质是解决本题的关键. 23.(2015?安顺)如图为二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法: ①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当﹣1<x<3 时,y>0

其中正确的个数为(



A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 二次函数图象与系数的关系. 专题: 压轴题. 分析: 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由 x=1 时的函数值判断 a+b+c>0,然后根据对称轴推出 2a+b 与 0 的关系,根据图象判断﹣1<x<3 时,y 的符号. 解答: 解:①图象开口向下,能得到 a<0; ②对称轴在 y 轴右侧,x= =1,则有﹣ =1,即 2a+b=0;

③当 x=1 时,y>0,则 a+b+c>0; ④由图可知,当﹣1<x<3 时,y>0. 故选 C. 点评: 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系,以及二次函数与 方程之间的转换,根的判别式的熟练运用. 2 24.(2015?恩施州)如图是二次函数 y=ax +bx+c 图象的一部分,图象过点 A(﹣3,0),对称轴为直线 x=﹣1, 给出四个结论: ①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c>0;④若点 B(﹣ ,y1)、C(﹣ ,y2)为函数图象上的两点,则 y1<y2, 其中正确结论是( )

A. ②④ B. ①④ C. ①③ D. ②③ 考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,然后根据对称轴及 抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解答: 解:∵抛物线的开口方向向下, ∴a<0; ∵抛物线与 x 轴有两个交点, ∴b2﹣4ac>0,即 b2>4ac, 故①正确 由图象可知:对称轴 x=﹣ =﹣1,

∴2a﹣b=0, 故②错误; ∵抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上, ∴c>0 由图象可知:当 x=1 时 y=0,

∴a+b+c=0; 故③错误; 由图象可知:当 x=﹣1 时 y>0, ∴点 B(﹣ ,y1)、C(﹣ ,y2)为函数图象上的两点,则 y1<y2, 故④正确. 故选 B 2 点评: 此题考查二次函数的性质,解答本题关键是掌握二次函数 y=ax +bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称 轴、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定. 2 25.(2015?日照)如图是抛物线 y1=ax +bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标 A(1,3),与 x 轴的一 个交点 B(4,0),直线 y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于 A,B 两点,下列结论: 2 ①2a+b=0;②abc>0;③方程 ax +bx+c=3 有两个相等的实数根;④抛物线与 x 轴的另一个交点是(﹣1,0);⑤ 当 1<x<4 时,有 y2<y1, 其中正确的是( )

A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤ 考点: 二次函数图象与系数的关系;抛物线与 x 轴的交点. 专题: 数形结合. 分析: 根据抛物线对称轴方程对①进行判断;由抛物线开口方向得到 a<0,由对称轴位置可得 b>0,由抛物线 与 y 轴的交点位置可得 c>0,于是可对②进行判断;根据顶点坐标对③进行判断;根据抛物线的对称性对④进行 判断;根据函数图象得当 1<x<4 时,一次函数图象在抛物线下方,则可对⑤进行判断. 解答: 解:∵抛物线的顶点坐标 A(1,3), ∴抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =1,

∴2a+b=0,所以①正确; ∵抛物线开口向下, ∴a<0, ∴b=﹣2a>0, ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方, ∴c>0, ∴abc<0,所以②错误; ∵抛物线的顶点坐标 A(1,3), ∴x=1 时,二次函数有最大值, ∴方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根,所以③正确; ∵抛物线与 x 轴的一个交点为(4,0) 而抛物线的对称轴为直线 x=1, ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为(﹣2,0),所以④错误; ∵抛物线 y1=ax2+bx+c 与直线 y2=mx+n(m≠0)交于 A(1,3),B 点(4,0) ∴当 1<x<4 时,y2<y1,所以⑤正确. 故选 C. 点评: 本题考查了二次项系数与系数的关系:对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数 a 决定抛物线的开 口方向和大小:当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口;一次项系数 b 和二次项系数 a 共同 决定对称轴的位置:当 a 与 b 同号时(即 ab>0),对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0),对称轴在 y 轴右.(简称:左同右异);常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点:抛物线与 y 轴交于(0,c);抛物线与 x 轴交点

个数由△决定:△=b2﹣4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;△=b2﹣4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点;△=b2 ﹣4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点. 26.(2015?毕节市)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则下列关系式错误的是( )

A. a<0 B. b>0 C. b ﹣4ac>0 D. a+b+c<0 考点: 二次函数图象与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: 根据抛物线的开口方向对 A 进行判断;根据抛物线的对称轴位置对 B 进行判断;根据抛物线与 x 轴的交 点个数对 C 进行判断;根据自变量为 1 所对应的函数值为正数对 D 进行判断. 解答: 解:A、抛物线开口向下,则 a<0,所以 A 选项的关系式正确; B、抛物线的对称轴在 y 轴的右侧,a、b 异号,则 b>0,所以 B 选项的关系式正确; C、抛物线与 x 轴有 2 个交点,则△=b2﹣4ac>0,所以 D 选项的关系式正确; D、当 x=1 时,y>0,则 a+b+c>0,所以 D 选项的关系式错误. 故选 D. 点评: 本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数 a 决定抛物线的 开口方向和大小,当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口;一次项系数 b 和二次项系数 a 共 同决定对称轴的位置:当 a 与 b 同号时(即 ab>0),对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0),对称轴 在 y 轴右.(简称:左同右异);常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点:抛物线与 y 轴交于(0,c).抛物线与 x 轴 2 2 交点个数由△决定:△=b ﹣4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;△=b ﹣4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点; 2 △=b ﹣4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点. 2 27.(2015?深圳)二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法正确的个数是( ) 2 ①a>0;②b>0;③c<0;④b ﹣4ac>0.

2

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 二次函数图象与系数的关系. 专题: 数形结合. 分析: 根据抛物线开口方向对①进行判断;根据抛物线的对称轴位置对②进行判断;根据抛物线与 y 轴的交点 位置对③进行判断;根据抛物线与 x 轴的交点个数对④进行判断. 解答: 解:∵抛物线开口向下, ∴a<0,所以①错误; ∵抛物线的对称轴在 y 轴右侧, ∴﹣ >0,

∴b>0,所以②正确; ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方, ∴c>0,所以③错误; ∵抛物线与 x 轴有 2 个交点, 2 ∴△=b ﹣4ac>0,所以④正确. 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数 a 决定抛物线的 开口方向和大小,当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口;一次项系数 b 和二次项系数 a 共

同决定对称轴的位置:当 a 与 b 同号时(即 ab>0),对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0),对称轴 在 y 轴右.(简称:左同右异);常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点:抛物线与 y 轴交于(0,c).抛物线与 x 轴 交点个数由△决定:△=b2﹣4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;△=b2﹣4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点; △=b2﹣4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点. 2 28.(2015?南宁)如图,已知经过原点的抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的对称轴是直线 x=﹣1,下列结论中:? ①ab>0,?②a+b+c>0,?③当﹣2<x<0 时,y<0. 正确的个数是( )

A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: ①由抛物线的开口向上,对称轴在 y 轴左侧,判断 a,b 与 0 的关系,得到?ab>0;故①错误; ②由 x=1 时,得到 y=a+b+c>0;故②正确; ③根据对称轴和抛物线与 x 轴的一个交点,得到另一个交点,然后根据图象确定答案即可. 解答: 解:①∵抛物线的开口向上, ∴a>0, ∵对称轴在 y 轴的左侧, ∴b>0 ∴?ab>0;故①正确; ②∵观察图象知;当 x=1 时 y=a+b+c>0, ∴②正确; ③∵抛物线的对称轴为 x=﹣1,与 x 轴交于(0,0), ∴另一个交点为(﹣2,0), ∴当﹣2<x<0 时,y<0;故③正确; 故选 D. 点评: 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系,以及二次函数与 方程之间的转换,根的判别式的熟练运用. 29. (2015?孝感) 如图, 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象与 x 轴交于 A, B 两点, 与 y 轴交于点 C, 且 OA=OC. 则 下列结论: ①abc<0;② >0;③ac﹣b+1=0;④OA?OB=﹣ . )

其中正确结论的个数是(

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 考点: 二次函数图象与系数的关系. 专题: 数形结合. 分析: 由抛物线开口方向得 a<0,由抛物线的对称轴位置可得 b>0,由抛物线与 y 轴的交点位置可得 c>0,则 可对①进行判断;根据抛物线与 x 轴的交点个数得到 b2﹣4ac>0,加上 a<0,则可对②进行判断;利用 OA=OC

可得到 A(﹣c,0),再把 A(﹣c,0)代入 y=ax2+bx+c 得 ac2﹣bc+c=0,两边除以 c 则可对③进行判断;设 A (x1,0),B(x2,0),则 OA=﹣x1,OB=x2,根据抛物线与 x 轴的交点问题得到 x1 和 x2 是方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两根,利用根与系数的关系得到 x1?x2= ,于是 OA?OB=﹣ ,则可对④进行判断. 解答: 解:∵抛物线开口向下, ∴a<0, ∵抛物线的对称轴在 y 轴的右侧, ∴b>0, ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方, ∴c>0, ∴abc<0,所以①正确; ∵抛物线与 x 轴有 2 个交点, 2 ∴△=b ﹣4ac>0, 而 a<0, ∴ <0,所以②错误;

∵C(0,c),OA=OC, ∴A(﹣c,0), 把 A(﹣c,0)代入 y=ax2+bx+c 得 ac2﹣bc+c=0, ∴ac﹣b+1=0,所以③正确; 设 A(x1,0),B(x2,0), 2 ∵二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交于 A,B 两点, 2 ∴x1 和 x2 是方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两根, ∴x1?x2= , ∴OA?OB=﹣ ,所以④正确. 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数 a 决定抛物线的 开口方向和大小:当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口;一次项系数 b 和二次项系数 a 共 同决定对称轴的位置:当 a 与 b 同号时(即 ab>0),对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0),对称轴 在 y 轴右.(简称:左同右异);常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点:抛物线与 y 轴交于(0,c);抛物线与 x 轴 交点个数由△决定:△=b2﹣4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;△=b2﹣4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点; △=b2﹣4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点. 30.(2015?遂宁)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①2a+b>0;②abc<0;③b2﹣4ac >0;④a+b+c<0;⑤4a﹣2b+c<0,其中正确的个数是( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 由抛物线开口向下得到 a<0,由对称轴在 x=1 的右侧得到﹣ >1,于是利用不等式的性质得到 2a+b>

0;由 a<0,对称轴在 y 轴的右侧,a 与 b 异号,得到 b>0,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的下方得到 c<0,于是 2 abc>0;抛物线与 x 轴有两个交点,所以△=b ﹣4ac>0;由 x=1 时,y>0,可得 a+b+c>0;由 x=﹣2 时,y<0, 可得 4a﹣2b+c<0. 解答: 解:①∵抛物线开口向下, ∴a<0,

∵对称轴 x=﹣

>1,

∴2a+b>0,故①正确; ②∵a<0,﹣ >0,

∴b>0, ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的下方, ∴c<0, ∴abc>0,故②错误; ③∵抛物线与 x 轴有两个交点, 2 ∴△=b ﹣4ac>0,故③正确; ④∵x=1 时,y>0, ∴a+b+c>0,故④错误; ⑤∵x=﹣2 时,y<0, ∴4a﹣2b+c<0,故⑤正确. 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,当 a>0,开口向上, a<0,开口向下;对称轴为直线 x=﹣ ,a 与 b 同号,对称轴在 y 轴的左侧,a 与 b 异号,对称轴在 y 轴的右侧;

当 c<0,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的下方;当△=b2﹣4ac>0,抛物线与 x 轴有两个交点.
参考答案与试题解析

一.填空题(共 21 小题) 2 1.(2015?常州)二次函数 y=﹣x +2x﹣3 图象的顶点坐标是 (1,﹣2) . 考点: 二次函数的性质. 2 分析: 此题既可以利用 y=ax +bx+c 的顶点坐标公式求得顶点坐标,也可以利用配方法求出其顶点的坐标. 2 解答: 解:∵y=﹣x +2x﹣3 2 =﹣(x ﹣2x+1)﹣2 =﹣(x﹣1)2﹣2, 故顶点的坐标是(1,﹣2). 故答案为(1,﹣2). 点评: 本题考查了二次函数的性质,求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法,②配方法. 2.(2015?漳州)已知二次函数 y=(x﹣2)2+3,当 x <2 时,y 随 x 的增大而减小. 考点: 二次函数的性质. 分析: 根据二次函数的性质,找到解析式中的 a 为 1 和对称轴;由 a 的值可判断出开口方向,在对称轴的两侧 可以讨论函数的增减性. 解答: 解:在 y=(x﹣2)2+3 中,a=1, ∵a>0, ∴开口向上, 由于函数的对称轴为 x=2, 当 x<2 时,y 的值随着 x 的值增大而减小; 当 x>2 时,y 的值随着 x 的值增大而增大. 故答案为:<2. 点评: 本题考查了二次函数的性质,找到的 a 的值和对称轴,对称轴方程是解题的关键. 3.(2015?杭州)函数 y=x2+2x+1,当 y=0 时,x= ﹣1 ;当 1<x<2 时,y 随 x 的增大而 增大 (填写“增大” 或“减小”). 考点: 二次函数的性质. 分析: 将 y=0 代入 y=x2+2x+1,求得 x 的值即可,根据函数开口向上,当 x>﹣1 时,y 随 x 的增大而增大. 2 解答: 解:把 y=0 代入 y=x +2x+1, 2 得 x +2x+1=0, 解得 x=﹣1, 当 x>﹣1 时,y 随 x 的增大而增大,

∴当 1<x<2 时,y 随 x 的增大而增大; 故答案为﹣1,增大. 点评: 本题考查了二次函数的性质,重点掌握对称轴两侧的增减性问题,解此题的关键是利用数形结合的思想. 4.(2015?天水)下列函数(其中 n 为常数,且 n>1) ①y= (x>0);②y=(n﹣1)x;③y= (x>0);④y=(1﹣n)x+1;⑤y=﹣x2+2nx(x<0)中,y 的值随

x 的值增大而增大的函数有 3 个. 考点: 二次函数的性质;一次函数的性质;正比例函数的性质;反比例函数的性质. 分析: 分别根据正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质进行分析即可. 解答: 解:①y= (x>0),n>1,y 的值随 x 的值增大而减小; ②y=(n﹣1)x,n>1,y 的值随 x 的值增大而增大; ③y= (x>0)n>1,y 的值随 x 的值增大而增大;

④y=(1﹣n)x+1,n>1,y 的值随 x 的值增大而减小; ⑤y=﹣x2+2nx(x<0)中,n>1,y 的值随 x 的值增大而增大; y 的值随 x 的值增大而增大的函数有 3 个, 故答案为:3. 点评: 此题主要考查了正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质,关键是掌握正比例函数 y=kx (k≠0),k>0 时,y 的值随 x 的值增大而增大;一次函数的性质: 2 k>0, y 随 x 的增大而增大, 函数从左到右上升; k<0, y 随 x 的增大而减小, 函数从左到右下降; 二次函数 y=ax +bx+c (a≠0)当 a<0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣ 时,y 随 x 的增大而增大;反比例函数的性

质,当 k<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而增大. 2 5.(2015?淄博)对于两个二次函数 y1,y2,满足 y1+y2=2x +2 x+8.当 x=m 时,二次函数 y1 的函数值为 5,且 二次函数 y2 有最小值 3.请写出两个符合题意的二次函数 y2 的解析式 y2=x2+3,y2=(x+ )2+3 (要求:写 出的解析式的对称轴不能相同). 考点: 二次函数的性质. 专题: 开放型. 分析: 已知当 x=m 时,二次函数 y1 的函数值为 5,且二次函数 y2 有最小值 3,故抛物线的顶点坐标为(m,3), 设出顶点式求解即可. 解答: 解:答案不唯一, 例如:y2=x2+3, y2=(x+ )2+3. 故答案为:y2=x2+3,y2=(x+ )2+3. 点评: 考查了二次函数的性质,二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣
2



).

6.(2015?十堰)抛物线 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,且 a≠0)经过点(﹣1,0)和(m,0),且 1<m<2, 当 x<﹣1 时,y 随着 x 的增大而减小.下列结论:①abc>0;②a+b>0;③若点 A(﹣3,y1),点 B(3,y2)都 在抛物线上,则 y1<y2;④a(m﹣1)+b=0;⑤若 c≤﹣1,则 b2﹣4ac≤4a.其中结论错误的是 ③⑤ .(只填 写序号) 考点: 二次函数图象与系数的关系. 专题: 数形结合. 分析: 根据题意画出抛物线的大致图象,利用函数图象,由抛物线开口方向得 a>0,由抛物线的对称轴位置得 b<0,由抛物线与 y 轴的交点位置得 c<0,于是可对①进行判断;由于抛物线过点(﹣1,0)和(m,0),且 1 <m<2,根据抛物线的对称性和对称轴方程得到 0<﹣ < ,变形可得 a+b>0,则可对②进行判断;利用点 A

(﹣3,y1)和点 B(3,y2)到对称轴的距离的大小可对③进行判断;根据抛物线上点的坐标特征得 a﹣b+c=0,

am2+bm+c=0,两式相减得 am2﹣a+bm+b=0,然后把等式左边分解后即可得到 a(m﹣1)+b=0,则可对④进行判 断;根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到 判断. 解答: 解:如图, ∵抛物线开口向上, ∴a>0, ∵抛物线的对称轴在 y 轴的右侧, ∴b<0, ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方, ∴c<0, ∴abc>0,所以①的结论正确; ∵抛物线过点(﹣1,0)和(m,0),且 1<m<2, ∴0<﹣ < , <c≤﹣1,变形得到 b2﹣4ac>4a,则可对⑤进行

∴a+b>0,所以②的结论正确; ∵点 A(﹣3,y1)到对称轴的距离比点 B(3,y2)到对称轴的距离远, ∴y1>y2,所以③的结论错误; ∵抛物线过点(﹣1,0),(m,0), 2 ∴a﹣b+c=0,am +bm+c=0, 2 ∴am ﹣a+bm+b=0, a(m+1)(m﹣1)+b(m+1)=0, ∴a(m﹣1)+b=0,所以④的结论正确; ∵ 而 c≤﹣1, ∴ <﹣1, <c,

∴b2﹣4ac>4a,所以⑤的结论错误. 故答案为③⑤.

点评: 本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数 a 决定抛物线的 开口方向和大小,当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口;一次项系数 b 和二次项系数 a 共 同决定对称轴的位置:当 a 与 b 同号时(即 ab>0),对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0),对称轴 在 y 轴右.(简称:左同右异);常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点:抛物线与 y 轴交于(0,c).抛物线与 x 轴 交点个数由△决定:△=b2﹣4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;△=b2﹣4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点; 2 △=b ﹣4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点.

7.(2015?乌鲁木齐)如图,抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x=﹣1.且过点( ,0),有下列结论:①abc>0; ②a﹣2b+4c=0;③25a﹣10b+4c=0;④3b+2c>0;⑤a﹣b≥m(am﹣b);其中所有正确的结论是 ①③⑤ 写正确结论的序号) .(填

考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 根据抛物线的开口方向、对称轴、与 y 轴的交点判定系数符号,及运用一些特殊点解答问题. 解答: 解:由抛物线的开口向下可得:a<0, 根据抛物线的对称轴在 y 轴左边可得:a,b 同号,所以 b<0, 根据抛物线与 y 轴的交点在正半轴可得:c>0, ∴abc>0,故①正确; 直线 x=﹣1 是抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的对称轴,所以﹣ a﹣2b+4c=a﹣4a+2=﹣3a+4c, ∵a<0, ∴﹣3a>0, ∴﹣3a+4c>0, 即 a﹣2b+4c>0,故②错误; ∵抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x=﹣1.且过点( ,0), ∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为( 当 x=﹣ 时,y=0,即 整理得:25a﹣10b+4c=0,故③正确; ∵b=2a,a+b+c<0, ∴ , ,0), ,
2

=﹣1,可得 b=2a,

即 3b+2c<0,故④错误; ∵x=﹣1 时,函数值最大, ∴a﹣b+c>m2a﹣mb+c(m≠1), ∴a﹣b>m(am﹣b),所以⑤正确; 故答案为:①③⑤. 点评: 本题考查的是二次函数图象与系数的关系,掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键, 解答时,要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式. 2 8.(2015?长春)如图,在平面直角坐标系中,点 A 在抛物线 y=x ﹣2x+2 上运动.过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C, 以 AC 为对角线作矩形 ABCD,连结 BD,则对角线 BD 的最小值为 1 .

考点: 二次函数图象上点的坐标特征;垂线段最短;矩形的性质. 专题: 计算题.

分析: 先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(1,1),再根据矩形的性质得 BD=AC,由于 AC 的长等于点 A 的纵坐标,所以当点 A 在抛物线的顶点时,点 A 到 x 轴的距离最小,最小值为 1,从而得到 BD 的最小值. 解答: 解:∵y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1, ∴抛物线的顶点坐标为(1,1), ∵四边形 ABCD 为矩形, ∴BD=AC, 而 AC⊥x 轴, ∴AC 的长等于点 A 的纵坐标, 当点 A 在抛物线的顶点时,点 A 到 x 轴的距离最小,最小值为 1, ∴对角线 BD 的最小值为 1. 故答案为 1. 点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了矩形的性 质. 2 9.(2015?河南)已知点 A(4,y1),B( ,y2),C(﹣2,y3)都在二次函数 y=(x﹣2) ﹣1 的图象上,则 y1、y2、y3 的大小关系是 y3>y1>y2 . 考点: 二次函数图象上点的坐标特征. 分析: 分别计算出自变量为 4, 和﹣2 时的函数值,然后比较函数值得大小即可. 解答: 解:把 A(4,y1),B( ,y2),C(﹣2,y3)分别代入 y=(x﹣2)2﹣1 得: y1=(x﹣2)2﹣1=3,y2=(x﹣2)2﹣1=5﹣4 ,y3=(x﹣2)2﹣1=15, ∵5﹣4 <3<15, 所以 y3>y1>y2. 故答案为 y3>y1>y2. 点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是:明确二次函数图象上点的坐标满足其解析式. 10.(2015?乐山)在直角坐标系 xOy 中,对于点 P(x,y)和 Q(x,y′),给出如下定义:若 y′= ,

则称点 Q 为点 P 的“可控变点”. 例如:点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(﹣1,3)的“可控变点”为点(﹣1,﹣3). (1)若点(﹣1,﹣2)是一次函数 y=x+3 图象上点 M 的“可控变点”,则点 M 的坐标为 (﹣1,2) . (2)若点 P 在函数 y=﹣x2+16(﹣5≤x≤a)的图象上,其“可控变点”Q 的纵坐标 y′的取值范围是﹣16≤y′≤16,则实 数 a 的取值范围是 0≤a≤4 . 考点: 二次函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征. 专题: 新定义. 分析: (1)直接根据“可控变点”的定义直接得出答案; (2)根据题意可知 y=﹣x2+16 图象上的点 P 的“可控变点”必在函数 y= 象即可得到答案. 解答: 解:(1)根据“可控变点”的定义可知点 M 的坐标为(﹣1,2); (2)依题意,y=﹣x2+16 图象上的点 P 的“可控变点”必在函数 y= 的图象上. 的图象上,结合图

∵﹣16≤y′≤16, 当 y′=16 时,16=﹣x2+16 或﹣16=﹣x2+16. ∴x=0 或 x=4 . 当 y′=﹣16 时,﹣16=﹣x2+16. ∴x=4 . ∴a 的取值范围是 0≤a≤4 . 故答案为(﹣1,2),0≤a≤4 . 点评: 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”,解答此 题还需要掌握二次函数的性质,此题有一定的难度.

11.(2015?宿迁)当 x=m 或 x=n(m≠n)时,代数式 x2﹣2x+3 的值相等,则 x=m+n 时,代数式 x2﹣2x+3 的值为 3 . 考点: 二次函数图象上点的坐标特征. 分析: 设 y=x2﹣2x+3 由当 x=m 或 x=n(m≠n)时,代数式 x2﹣2x+3 的值相等,得到抛物线的对称轴等于 ﹣ ,求得 m+n=2,再把 m+n=2 代入即可求得结果.
2

=

解答: 解:设 y=x ﹣2x+3, 2 ∵当 x=m 或 x=n(m≠n)时,代数式 x ﹣2x+3 的值相等, ∴ =﹣ ,

∴m+n=2, ∴当 x=m+n 时, 2 2 即 x=2 时,x ﹣2x+3=(2) ﹣2× (2)+3=3, 故答案为:3. 点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,熟记抛物线的对称轴公式是解题的关键. 12.(2015?龙岩)抛物线 y=2x2﹣4x+3 绕坐标原点旋转 180° 所得的抛物线的解析式是 y=﹣2x2﹣4x﹣3 . 考点: 二次函数图象与几何变换. 分析: 根据旋转的性质,可得 a 的绝对值不变,根据中心对称,可得答案. 解答: 解:将 y=2x2﹣4x+3 化为顶点式,得 y=2(x﹣1)2+1, 2 2 抛物线 y=2x ﹣4x+3 绕坐标原点旋转 180° 所得的抛物线的解析式是 y=﹣2(x+1) ﹣1, 化为一般式,得 2 y=﹣2x ﹣4x﹣3, 2 故答案为:y=﹣2x ﹣4x﹣3. 点评: 本题考查了二次函数图象与几何变换,利用了中心对称的性质. 2 2 13.(2015?湖州)如图,已知抛物线 C1:y=a1x +b1x+c1 和 C2:y=a2x +b2x+c2 都经过原点,顶点分别为 A,B, 与 x 轴的另一交点分别为 M,N,如果点 A 与点 B,点 M 与点 N 都关于原点 O 成中心对称,则称抛物线 C1 和 C2 为姐妹抛物线,请你写出一对姐妹抛物线 C1 和 C2,使四边形 ANBM 恰好是矩形,你所写的一对抛物线解析式是 y=﹣ x2+2 x 和 y= x2+2 x .

考点: 二次函数图象与几何变换. 专题: 新定义. 分析: 连接 AB,根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数,一次项系数相等且不等于零,常数项都是零,设 2 抛物线 C1 的解析式为 y=ax +bx, 根据四边形 ANBM 恰好是矩形可得△AOM 是等边三角形,设 OM=2,则点 A 的坐标是(1, ),求出抛物线 C1 的解析式,从而求出抛物线 C2 的解析式. 解答: 解:连接 AB, 根据姐妹抛物线的定义,可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数,一次项系数相等且不等于零,常数项都是 零, 2 设抛物线 C1 的解析式为 y=ax +bx, 根据四边形 ANBM 恰好是矩形可得:OA=OM, ∵OA=MA, ∴△AOM 是等边三角形,

设 OM=2,则点 A 的坐标是(1, 则 ,

),

解得: 则抛物线 C1 的解析式为 y=﹣ x +2 x, 2 抛物线 C2 的解析式为 y= x +2 x, 2 2 故答案为:y=﹣ x +2 x,y= x +2 x.
2

点评: 此题考查了二次函数的图象与几何变换,用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、 矩形的判定,关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系. 2 14.(2015?绥化)把二次函数 y=2x 的图象向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,平移后抛物线的 2 解析式为 y=2(x+1) ﹣2 . 考点: 二次函数图象与几何变换. 分析: 直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答. 2 解答: 解:由“左加右减”的原则可知,将二次函数 y=2x 的图象向左平移 1 个单位长度所得抛物线的解析式为: 2 2 2 y=2(x+1) ,即 y=2(x+1) ;由“上加下减”的原则可知,将抛物线 y=2(x+1) 向下平移 2 个单位长度所得抛 2 2 物线的解析式为:y=2(x+1) ﹣2,即 y=2(x+1) ﹣2. 故答案为:y=2(x+1)2﹣2. 点评: 本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键. 15.(2015?岳阳)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,顶点 C 的纵坐标为﹣2,现将抛物线向 右平移 2 个单位,得到抛物线 y=a1x2+b1x+c1,则下列结论正确的是 ③④ .(写出所有正确结论的序号) ①b>0 ②a﹣b+c<0 ③阴影部分的面积为 4 ④若 c=﹣1,则 b2=4a.

考点: 二次函数图象与几何变换;二次函数图象与系数的关系. 分析: ①首先根据抛物线开口向上,可得 a>0;然后根据对称轴为 x=﹣ >0,可得 b<0,据此判断即可.

②根据抛物线 y=ax2+bx+c 的图象,可得 x=﹣1 时,y>0,即 a﹣b+c>0,据此判断即可. ③首先判断出阴影部分是一个平行四边形, 然后根据平行四边形的面积=底× 高, 求出阴影部分的面积是多少即可. ④根据函数的最小值是 解答: 解:∵抛物线开口向上, ∴a>0, ,判断出 c=﹣1 时,a、b 的关系即可.

又∵对称轴为 x=﹣

>0,

∴b<0, ∴结论①不正确; ∵x=﹣1 时,y>0, ∴a﹣b+c>0, ∴结论②不正确; ∵抛物线向右平移了 2 个单位, ∴平行四边形的底是 2, 2 ∵函数 y=ax +bx+c 的最小值是 y=﹣2, ∴平行四边形的高是 2, ∴阴影部分的面积是:2× 2=4, ∴结论③正确; ∵ ,c=﹣1,

∴b2=4a, ∴结论④正确. 综上,结论正确的是:③④. 故答案为:③④. 点评: (1)此题主要考查了二次函数的图象与几何变换,要熟练掌握,解答此类问题的关键是要明确:由于抛 物线平移后的形状不变,故 a 不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任 意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式. (2)此题还考查了二次函数的图象与系数的关系,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①二次项系数 a 决 定抛物线的开口方向和大小:当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口;②一次项系数 b 和二 次项系数 a 共同决定对称轴的位置:当 a 与 b 同号时(即 ab>0),对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab <0),对称轴在 y 轴右.(简称:左同右异)③常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点. 抛物线与 y 轴交于(0,c). 16.(2015?莆田)用一根长为 32cm 的铁丝围成一个矩形,则围成矩形面积的最大值是 64 cm2. 考点: 二次函数的最值. 分析: 设矩形的一边长是 xcm,则邻边的长是(16﹣x)cm,则矩形的面积 S 即可表示成 x 的函数,根据函数的 性质即可求解. 解答: 解:设矩形的一边长是 xcm,则邻边的长是(16﹣x)cm. 则矩形的面积 S=x(16﹣x),即 S=﹣x2+16x, 当 x =﹣ =﹣ =8 时,S 有最大值是:64.

故答案是:64. 点评: 本题考查了二次函数的性质,求最值得问题常用的思路是转化为函数问题,利用函数的性质求解. 2 17.(2015?资阳)已知抛物线 p:y=ax +bx+c 的顶点为 C,与 x 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧),点 C 关于 x 轴的对称点为 C′, 我们称以 A 为顶点且过点 C′, 对称轴与 y 轴平行的抛物线为抛物线 p 的“梦之星”抛物线, 直线 AC′为抛物线 p 的“梦之星”直线. 若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是 y=x2+2x+1 和 y=2x+2, 则这条抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3 . 考点: 抛物线与 x 轴的交点;二次函数的性质. 专题: 新定义. 分析: 先求出 y=x2+2x+1 和 y=2x+2 的交点 C′的坐标为(1,4),再求出“梦之星”抛物线 y=x2+2x+1 的顶点 A 坐 标(﹣1,0),接着利用点 C 和点 C′关于 x 轴对称得到 C(1,﹣4),则可设顶点式 y=a(x﹣1)2﹣4, 然后把 A 点坐标代入求出 a 的值即可得到原抛物线解析式. 解答: 解:∵y=x2+2x+1=(x+1)2, ∴A 点坐标为(﹣1,0), 解方程组 得 或 ,

∴点 C′的坐标为(1,4), ∵点 C 和点 C′关于 x 轴对称, ∴C(1,﹣4), 设原抛物线解析式为 y=a(x﹣1)2﹣4, 把 A(﹣1,0)代入得 4a﹣4=0,解得 a=1, 2 2 ∴原抛物线解析式为 y=(x﹣1) ﹣4=x ﹣2x﹣3. 2 故答案为 y=x ﹣2x﹣3. 2 点评: 本题考查了二次函数与 x 轴的交点:求二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)与 x 轴的交点坐标, 2 2 令 y=0,即 ax +bx+c=0,解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标.△=b ﹣4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个 2 2 2 数,△=b ﹣4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;△=b ﹣4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点;△=b ﹣4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点. 18.(2015?营口)某服装店购进单价为 15 元童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为 25 元时平均每天能 售出 8 件,而当销售价每降低 2 元,平均每天能多售出 4 件,当每件的定价为 22 元时,该服装店平均每天的 销售利润最大. 考点: 二次函数的应用. 分析: 根据“利润=(售价﹣成本)× 销售量”列出每天的销售利润 y(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式; 把二次函数解析式转化为顶点式方程,利用二次函数图象的性质进行解答. 解答: 解:设定价为 x 元, 根据题意得:y=(x﹣15)[8+2(25﹣x)] =﹣2x2+88x﹣870 2 ∴y=﹣2x +88x﹣870, 2 =﹣2(x﹣22) +98 ∵a=﹣2<0, ∴抛物线开口向下, ∴当 x=22 时,y 最大值=98. 故答案为:22. 点评: 此题题考查二次函数的实际应用,为数学建模题,借助二次函数解决实际问题,解决本题的关键是二次 函数图象的性质. 19.(2015?温州)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示 的三处各留 1m 宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为 27m,则能建成的饲养室面积最大为 75 m2.

考点: 二次函数的应用. 分析: 设垂直于墙的材料长为 x 米,则平行于墙的材料长为 27+3﹣3x=30﹣3x,表示出总面积 S=x(30﹣3x)= 2 2 ﹣3x +30x=﹣3(x﹣5) +75 即可求得面积的最值. 解答: 解:设垂直于墙的材料长为 x 米, 则平行于墙的材料长为 27+3﹣3x=30﹣3x, 2 2 则总面积 S=x(30﹣3x)=﹣3x +30x=﹣3(x﹣5) +75, 故饲养室的最大面积为 75 平方米, 故答案为:75. 点评: 本题考查了二次函数的应用,解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型,难度不大. 20.(2015?湖州)已知在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点,线段 AB 的两个端点 A(0,2),B(1,0) 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上,点 C 为线段 AB 的中点,现将线段 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 90° 得到线段 BD, 2 抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)经过点 D. (1)如图 1,若该抛物线经过原点 O,且 a=﹣ . ①求点 D 的坐标及该抛物线的解析式;

②连结 CD,问:在抛物线上是否存在点 P,使得∠POB 与∠BCD 互余?若存在,请求出所有满足条件的点 P 的 坐标,若不存在,请说明理由; (2)如图 2,若该抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 E(1,1),点 Q 在抛物线上,且满足∠QOB 与∠BCD 互 余.若符合条件的 Q 点的个数是 4 个,请直接写出 a 的取值范围.

考点: 二次函数综合题. 分析: (1)①过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F,先通过三角形全等求得 D 的坐标,把 D 的坐标和 a=﹣ ,c=0 代入 y=ax +bx+c 即可求得抛物线的解析式; ②先证得 CD∥x 轴, 进而求得要使得∠POB 与∠BCD 互余, 则必须∠POB=∠BAO, 设 P 的坐标为 (x, ﹣ x + x) , 分两种情况讨论即可求得; (2)若符合条件的 Q 点的个数是 4 个,则当 a<0 时,抛物线交于 y 轴的负半轴,当 a>0 时,最小值得<﹣1, 解不等式即可求得. 解答: 解:(1)①过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F,如图 1, ∵∠DBF+∠ABO=90° ,∠BAO+∠ABO=90° , ∴∠DBF=∠BAO, 又∵∠AOB=∠BFD=90° ,AB=BD, 在△AOB 和△BFD 中, , ∴△AOB≌△BFD(AAS) ∴DF=BO=1,BF=AO=2, ∴D 的坐标是(3,1), 根据题意,得 a=﹣ ,c=0,且 a× 32+b× 3+c=1, ∴b= , ∴该抛物线的解析式为 y=﹣ x + x; ②∵点 A(0,2),B(1,0),点 C 为线段 AB 的中点, ∴C( ,1), ∵C、D 两点的纵坐标都为 1, ∴CD∥x 轴, ∴∠BCD=∠ABO, ∴∠BAO 与∠BCD 互余, 要使得∠POB 与∠BCD 互余,则必须∠POB=∠BAO, 设 P 的坐标为(x,﹣ x2+ x), (Ⅰ)当 P 在 x 轴的上方时,过 P 作 PG⊥x 轴于点 G,如图 2, 则 tan∠POB=tan∠BAO,即 = ,
2 2 2



= ,解得 x1=0(舍去),x2= ,

∴﹣ x2+ x= , ∴P 点的坐标为( , ); (Ⅱ)当 P 在 x 轴的上方时,过 P 作 PG⊥x 轴于点 G,如图 3 则 tan∠POB=tan∠BAO,即 = ,



= ,解得 x1=0(舍去),x2= , );



∴﹣ x2+ x=﹣

∴P 点的坐标为( ,﹣

综上,在抛物线上是否存在点 P( , )或( ,﹣ (2)如图 3,∵D(3,1),E(1,1), 抛物线 y=ax2+bx+c 过点 E、D,代入可得

),使得∠POB 与∠BCD 互余.

,解得

,所以 y=ax2﹣4ax+3a+1.

分两种情况: 2 ①当抛物线 y=ax +bx+c 开口向下时,若满足∠QOB 与∠BCD 互余且符合条件的 Q 点的个数是 4 个,则点 Q 在 x 轴的上、下方各有两个. (i)当点 Q 在 x 轴的下方时,直线 OQ 与抛物线有两个交点,满足条件的 Q 有 2 个; 2 2 (ii)当点 Q 在 x 轴的上方时,要使直线 OQ 与抛物线 y=ax +bx+c 有两个交点,抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴的交点 必须在 x 轴的正半轴上,与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴,所以 3a+1<0,解得 a<﹣ ; ②当抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上时,点 Q 在 x 轴的上、下方各有两个, (i)当点 Q 在 x 轴的上方时,直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点,符合条件的点 Q 有两个; (ii)当点 Q 在 x 轴的下方时,要使直线 OQ 与抛物线 y=ax2+bx+c 有两个交点,符合条件的点 Q 才两个. 根据(2)可知,要使得∠QOB 与∠BCD 互余,则必须∠POB=∠BAO, ∴tan∠QOB=tan∠BAO=
2

= ,此时直线 OQ 的斜率为﹣ ,则直线 OQ 的解析式为 y=﹣ x,要使直线 OQ 与抛
2 2

物线 y=ax +bx+c 有两个交点,所以方程 ax ﹣4ax+3a+1=﹣ x 有两个不相等的实数根,所以△=(﹣4a+ ) ﹣4a (3a+1)>0,即 4a2﹣8a+ >0,解得 a> 综上所示,a 的取值范围为 a<﹣ 或 a> (a< . 舍去)

点评: 本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,正切函数,最小值等,分类讨论的 思想是本题的关键. 21.(2015?衢州)如图,已知直线 y=﹣ x+3 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B,P 是抛物线 y=﹣ x2+2x+5 的一个动 点,其横坐标为 a,过点 P 且平行于 y 轴的直线交直线 y=﹣ x+3 于点 Q,则当 PQ=BQ 时,a 的值是 ﹣1,4, 4+2 ,4﹣2 .

考点: 二次函数综合题. 分析: 设点 P 的坐标为(a,﹣ a2+2a+5),分别表示出 B、Q 的坐标,然后根据 PQ=BQ,列方程求出 a 的值. 解答: 解:设点 P 的坐标为(a,﹣ a2+2a+5), 则点 Q 为(a,﹣ a+3),点 B 为(0,3), 当点 P 在点 Q 上方时,BQ= PQ=﹣ a +2a+5﹣(﹣ a+3)=﹣ a + ∵PQ=BQ, ∴ a=﹣ a2+
2 2 2

= a, a+2,

a+2,

整理得:a ﹣3a﹣4=0, 解得:a=﹣1 或 a=4, 当点 P 在点 Q 下方时,BQ= PQ=﹣ a+3﹣(﹣ a +2a+5)= a ﹣ ∵PQ=BQ, ∴ a= a ﹣
2 2 2

= a, a﹣2,

a﹣2,

整理得:a2﹣8a﹣4=0, 解得:a=4+2 或 a=4﹣2 . 综上所述,a 的值为:﹣1,4,4+2 ,4﹣2 故答案为:﹣1,4,4+2 ,4﹣2 .



点评: 本题考查了二次函数的综合题,涉及了二次函数与一次函数的交点问题,以及两点间的距离,解答本题 的关键是设出点 P 的坐标,表示出 PQ、BQ 的长度,然后根据 PQ=BQ,分情况讨论并求解,难度一般.


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