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东北三省三校(哈师大附中,东北师大附中,辽宁省实验中学)2013届高三第三次联合考试数学理试题(wor版)


东北三省三校(哈师大附中,东北师大附中,辽宁省实验中学)2013 届高三第三次联合考试数学理试题(wor版)
本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题使用2B铅笔填涂;非

选择题必须使用0.5毫米黑色自己的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上 答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须使用黑色自己的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第I卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

B ? {x | log3 x ? 1} ,则 A ? CU B ? 1.已知全集U = R,集合 A ? {x | 2 ? 1},
x

A. (0,3] 2.在等比数列 A.4 B.7 C.8 D.16

B. [0,3]

C. (3, ??)

D.R

{an } 中,若a + a =1,a + a = 4,则a + a 的值为 1 2 11 12 21 22

3.如果执行如图的框图,运行的结果为 A. 2 2 B.3 C. 10 D.4 4. 已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2), 且P(ξ < 2) = 0.8, 则P(0 < ξ < 1) = A.0.2 B.0.3 C.0.4
-1-

D.0.6

?? x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 5.设x、y满足约束条件 ? ,则目标函数z = 2x + y的最大值为
A.-4 B.5 C.6 D.不存在

6.若一个四面体的四个面均为直角三角形,正视图与俯视图如图所示均为直角 边为1的等腰直角三角形,则该几何体的侧视图的面积为

1 A. 4 1 C. 2

B. 2

2 D. 2

7.二项式(x + a)n展开式中各项二项式的系数和为32,各项系数和为243,则展开式中的第4项 为 A.80x2 B.80x C.10x4 D.40x3

8.已知函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则函数 y ? ? f (| x |) 的图象应是

9.四棱锥P—ABCD,底面ABCD是边长为6的正方形,且PA = PB = PC = PD,若一个半径为1的球与此四棱 锥的各个面相切,则此四棱锥的体积为 A.15 B.24 C.27 D.30

10.若函数 f ( x) ? A sin 2? x( A ? 0, ? ? 0) 在x = 1处取得最大值,则 f ( x ? 1) 的奇偶性为 A.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.奇函数 D.非奇非偶函数

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 A (?a, 0) 、 A2 (a,0) ,若在双曲线上存在一点 b 11.已知双曲线 a ,两个顶点分别为 1
P,使得在ΔPA1A2中,∠PA1A2 = 30° ,∠PA2A1 = 120° ,则此双曲线的离心率为 A. 3

3 ?1 B. 2

C. 2

D. 3 ? 1

12 . 已 知 函 数

f ( x) ? f1 ( x) ?| cos 2? x | , x ? [0,1] 。 当 n ≥ 2 时 , fn ( x )? f (fn?1 x ), 则 方 程 ( )
-2-

f 2013 ( x) ?

x 2013 的实数解的个数为
B.42013 C.2 D.4

A.22013

第II卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。 第13题 ~ 第21题为必考题, 每个试题考生都必须作答; 第22题 ~ 第 24题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13.i为虚数单位,复数(a + i)i的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为__________ 14.求值 ?
?
2 0

cos xdx ?

__________

??? ? ??? ? ??? ? AC ? mAE ? nAF ,其中 m, n ? R ,则m + 15.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若
n =__________ 16.已知圆O:x2 + y2 = 1,直线x - 2y + 5 = 0上动点P,过点P作圆O的一条切线,切点为A,则 PO ? PA 的最 小值为__________ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分) 已知数列

??? ??? ? ?

{an } 是等比数列且a > 0,a = 1,且a ,3a ,a 成等差数列。 n 1 2 1 3 {an } 的通项公式;
{bn } 的前n项和S 。
n

(1)求数列

(2)记bn = nan,求

18. (本小题满分12分) 一位机场志愿者开展了一项关于“民航如何发挥自身优势应对高铁冲击”的调查, 调查面向民航业内人士 和广大旅客共随机发放问卷100份,要求被调查者在多项民航可以采取的应对措施中选择自己最认同的一 项。该调查的问卷全部回收并有效。回收的业内人士答卷共30份,其中占认同程度前三位的是降低机票价 格(6份) 、提高航班准点率(5份)和提高机场交通便捷度(4份) ,而这三项民航应对措施在旅客的答卷中
-3-

依次分别有25份、14份和18份。 (1)根据以上信息,完成下面2 × 2列联表: 选择降低机票价格 业内人士 旅客 合计 (2) 该志愿者作出了“对机票降价的认同程度与是否为民航业内人士有关”的论断, 这个论断犯错误的概 率能否超过0.15? 没有选择降低机票价格 合计

K2 ?
附:

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.50 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024

P(K2 ≥ k0) k0 0.455

19. (本小题满分12分) 在三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱CC1⊥底面ABC,∠ACB = 90° ,且AC = BC = CC1,O为AB1中点。 (1)求证:CO⊥平面ABC1; (2)求直线BC与平面ABC1所成角的正弦值。

20. (本小题满分12分) 设F1 是椭圆x2 + 2y2 = 2的左焦点,线段MN为椭圆的长轴。若点P(-2,0),椭圆上两点A、B满足

??? ? ??? ? BP ? ? AP(? ? 1)。
(1)若λ = 3,求

3| AF1 | ? | BF1 | 的值;
-4-

(2)证明:∠AF1M =∠BF1N

21. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? a( x ?1) ? ln x 。
2

(1)若 y ? f ( x) 在x = 2处取得极小值,求a的值; (2)若 f ( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,求a的取值范围;

1 1 1 3n 2 ? n ? 2 ? ? ... ? ? ln n 2n 2 ? 2n 。 (3)求证:当n ≥ 2时, ln 2 ln 3

请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号。 22. (本小题满分10分)
-5-

选修4 - 1:集合证明选讲 已知AB是圆O的直径,C为圆O上一点,CD⊥AB于点D,弦BE与CD、AC分别交于点M、N,且MN = MC (1)求证:MN = MB; (2)求证:OC⊥MN。

23. (本小题满分10分) 选修4 - 4:坐标系与参数方程

? x ? t cos ? ? y ? 1 ? t sin ? (t为参数,0 ≤ α < π) 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 ? 。以原点为极点,x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ = 4sinθ。 (1)求直线l与曲线C的平面直角坐标方程; (2)设直线l与曲线C交于不同的两点A、B,若 | AB |? 8 ,求α的值。

24. (本小题满分10分) 选修4 - 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | x ? 1| 。 (1)当a = 3时,求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (2)若 f ( x) ? 5 ? x 对 ?x ? R 恒成立,求实数a的取值范围。

2013年师大附中第三次模拟考试理科数学答案
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
-6-

的) ADBBC CABCA CB

二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.1

14.1

4 15. 3

16. 4

三.解答题(本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解: (Ⅰ)设

{an } 的公比为 q ,则 q ? 0 ,
a2 ,3a1, a3 成等差数列? a2 ? a3 ? 6a1 ?? 2?

又?

2 ? q ? q ? 6 ? 0 ,? q ? 2 ( q ? ?3 舍去)?? 4?

n?1 n?1 ? an ? a1q ? 2 ?? 6?

(Ⅱ)

bn ? n ? 2n?1
① ② ?? 8?

Sn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ? ?? n ? 2n?1 2Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n
由①-②得

?Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n?1 ? n ? 2n ??10?

n ? Sn ? (n ?1) ? 2 ? 1 ??12?

18. 解: (Ⅰ) 选择降低机票价格 业内人士 旅客 合计 没有选择降低机票价格 合计

6 25 31

24 45 69

30 70 100

?? 6?
k? 100? (6 ? 45 ? 24 ? 25) 2 12100 ? ? 2.424 30 ? 70 ? 31? 69 4991

(Ⅱ) K 的观测值

2

?2.424? 2.072,? 该论断犯错误的概率不能超过 0.15

??12?

19. 法一: (Ⅰ)证明:取 AB 中点 M ,连结 CM ,
-7-

? AC ? BC ? CM ? AB. 又? CM ? BB1 , AB ? BB1 ? B ? CM ? 面 A1 ABB1 ,
以 MA, MO, MC 分别为 x 轴、 设

y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,

AC ? BC ? CC1 ? a ,
A( 2 2 2 a, 0, 0) B(? a, 0, 0) C (0, 0, a) 2 2 2 , ,

M (0,0,0)

??? ? a 2 a 2 O (0, , 0) C1 (0, a, a) ? CO ? (0, , ? a) 2 2 2 2 , ,
??? ???? ? ? ???? ? a2 a2 2 2 ??? ? ? ? CO?AC1 ? 0 ? ? ? 0 , AC1 ? (? a, a, a) ??? ??? AB ? (? 2a,0,0,) 2 2 2 2 , CO?AB ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 , ,
? CO ? AB, CO ? AC1 , AB ? AC1 ? A, 又? AB, AC1 ? 平面 ABC1 ,
? CO ? 平面 ABC1 ? 6?

??? ? 2 2 ??? ? CB ? (? a, 0, ? a) ABC1 的一个法向量, 2 2 (Ⅱ)解:由已知 CO 为平面

1 2 ??? ??? ? ? a ??? ??? ? ? CB? CO 3 cos?CB, CO? ? ??? ??? ? 2 ? ? ? 3 3 3 CB ?CO a?a ABC1 所 成 角 的 正 弦 值 为 3 2 , ? 直 线 BC 与 平 面
? 12?
法二: (Ⅰ)证明:取 AB 中点 M ,连结 CM , OM ,

? AC ? BC ? CM ? AB. ,


?OM // BB1 ,?OM ? AB, OM ? CM ? M , OM , CM ? 平面 OCM ,

? AB ? 平面 OCM ,? AB ? CO ,
连结 且 又

CA1 ,? BC ? AC, BC ? CC1 ,? BC ? 平面 A1 ACC 1 ,

AC1 ? 平面 A1 ACC1 ,? BC ? AC1 ,

? AC ? AC1 ,且 AC ? BC ? C , AC, BC ? 平面 A1BC , 1 1 1

? AC1 ? 平面 A1BC , CO ? 平面 A1BC , ?CO ? AC1 , AB ? AC1 ? A ,又? AB, AC1 ? 平面 ABC1 ,? CO ? 平面 ABC1
-8-

? 6?

(Ⅱ)解:连结

MC1 交 CO 于 N ,连结 BN ,

? CO ? 面 ABC1 ,??CBN 为 BC 与平面 ABC1 所成的角,


AC ? BC ? CC1 ? a ,
C1C ? a, CM ? 2 6 a,? MC1 ? a, 2 2

Rt?C1CM 中, 在

2 a?a 3 2 ? CN ? ? a 3 6 a ?C N ? M 1 ?CN ? MC1 ? CM ? CC1 , C 2 ,

3 a CN 3 ? 3 sin ?CBN ? ? ? C B? a? Rt ? CBN 中, CB a 3 , ,

3 ABC1 所成角的正弦值为 3 ? 直线 BC 与平面

? 12?

20. (Ⅰ)解:

x2 ? y2 ? 1 BF2 , F1 (?1,0) F2 (1,0) F 2 法一:椭圆方程 ,取椭圆的右焦点 2 ,连结

? PF1 ? 1



??? ? ??? PF ? AP 1 ? BP ? 3 AP ? 1 ? ? PF2 ? 3 PF2 BP 3

AF1 1 ? ? AF1 // BF2 且 BF2 3

?3 AF1 ? BF1 ? BF2 ? BF1 ? 2 2 ? 4?

??? ? ??? ? A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,? BP ? 3AP ? y2 ? 3y1 ,显然直线 AB 斜率存在,设直线 AB 方程为 法二:设
-9-

y ? k ( x ? 2)

? y ? k ( x ? 2) ? 2 x ? 2 y 2 ? 2 得: (1 ? 2k 2 ) y 2 ? 4ky ? 2k 2 ? 0 由?
? ? 0,

y1 ? y2 ? 4 y1 ?

4k 2k 2 y1 y2 ? 3 y12 ? 1 ? 2k 2 , 1 ? 2k 2 ,

?k2 ?

1 1 4 1 k? A(? , ) 4 ,符合 ? ? 0 ,由对称性不妨设 2 ,解得 3 3 , B(0,1) ?3 AF1 ? BF1 ? 2 2 ? 4?

(Ⅱ)设

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 2)

? y ? k ( x ? 2) ? 2 x ? 2 y 2 ? 2 得: (1 ? 2k 2 ) y 2 ? 4ky ? 2k 2 ? 0 ? 6? 由?
1 4k 2k 2 0?k ? y1 ? y2 ? y1 y2 ? ? ? 0得 2, 1 ? 2k 2 , 1 ? 2k 2 ,
2

2 2 k ?? x1 ? ?1 ,则直线 PA 的方程为 y ? ? 2 ( x ? 2) ,将 2 代入得: ? ? 0 , 若
不满足题意,

? x1 ? ?1同理 x2 ? ?1 ? 7?

tan ?AF1 N ?

y1 y y y tan ?BF1 N ? 2 tan ?AF1 N ? tan ?BF1 N ? 1 ? 2 x1 ? 1 , x2 ? 1 , x1 ? 1 x2 ? 1

y y ( 2 ? 2) y1 ? y1 ? ( 1 ? 2) y2 ? y2 x2 y1 ? y1 ? x1 y2 ? y2 k ? k ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

2 2k 2 4k 2 ? ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) 2 k (1 ? 2k ) 1 ? 2k 2 ?k ? ?0 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ?10?

? tan ?AF1 N ? ? tan ?BF1N ??AF1M ? ?BF1N ? 12?
21. 解: (Ⅰ)∵ f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,

f ?( x) ? 2ax ?

1 x a? 1 8

? ∵ f ( x ) 在 x ? 2 处取得极小值,∴ f (2) ? 0 ,即
a?

此时,经验证 x ? 2 是 f ( x ) 的极小值点,故

1 8 . ? 4?

- 10 -

f ?( x) ? 2ax ?
(Ⅱ)∵

1 x,

? ①当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在 [1, ??) 上单调递减,
∴当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 矛盾. ? 6?

②当 a ? 0 时,

f ?( x) ?

2ax 2 ? 1 x

? 令 f ( x) ? 0 ,得

x?

1 1 0? x? 2a 2a ; f ?( x) ? 0 ,得

1 1 ?1 0?a? 2 时, (ⅰ)当 2a ,即 x ? (1, 1 ) 2a 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 递减,∴ f ( x) ? f (1) ? 0 矛盾.

1 1 ?1 a? 2 时, (ⅱ)当 2a ,即
x ? [1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 递增,∴ f ( x) ? f (1) ? 0 满足题意.
a?
综上,

1 2 . ?8? a? 1 1 2 ( x ? 1) ? ln x ? 0 2 ,当 x ? [1, ??) 时, 2 (当且仅当 x ? 1 时取“ ? ”)

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知令

1 2 ? 2 ? 当 x ? 1 时, ln x x ? 1 ?10? 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? 2( 2 ? 2 ??? 2 ) x ? 2,3, 4,?, n, 有 ln 2 ln 3 ln n 2 ?1 3 ?1 n ?1 即当

1 1 1 1 ? 2( ? ? ?? ) 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 (n ? 1) ? (n ? 1)
1 1 1 1 1 1 1 3n2 ? n ? 2 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 3 2 4 3 5 n ?1 n ? 1 2n 2 ? 2n ?12?
22. 证明: (Ⅰ)连结AE,BC,∵AB是圆O的直径,∴∠AEB=90° ,∠ACB=90° ∵MN=MC,∴∠MCN=∠MNC 又∵∠ENA=∠MNC,∴∠ENA=∠MCN
- 11 -

∴∠EAC=∠DCB,∵∠EAC=∠EBC,∴∠MBC=∠MCB,∴MB=MC∴MN=MB. ? 5? (Ⅱ)设OC∩BE=F, ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB 由(Ⅰ)知,∠MBC=∠MCB,∴∠DBM=∠FCM.又∵∠DMB=∠FMC ∴∠MDB=∠MFC,即∠MFC=90° ∴OC⊥MN. ?10? 23. 解: (Ⅰ)直线 l 普通方程为 sin ? x ? cos ? y ? cos ? ? 0 曲线 C 的极坐标方程为 ? cos
2

? ? 4sin ? ,则 ? 2 cos2 ? ? 4? sin ?

2 ? ? cos? ? x, ? sin ? ? y ?C : x ? 4 y ?? 5?

? x ? t cos ? l:? (t为参数,? ? ? ? ) 0 2 y ? 1 ? t sin ? (Ⅱ) ,将 ? 代入曲线 C : x ? 4 y
?t 2 cos2 ? ? 4t sin ? ? 4 ? 0 ?? 7?

?4 ? 4sin ? ? ? AB ? t1 ? t2 ? ? ?8 ? ? 4? 2 cos 2 ? ? cos ? ?
2

? cos ? ? ?
?? ?

2 2 ?? 9?

?

3? 4 或 4 ??10?

2 x ? 3 ? x ?1 ? 2 24. 解: (Ⅰ) a ? 3 时,即求解
x?
①当

3 2 时, 2 x ? 3 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 2 3 2 时, 3 ? 2 x ? x ? 1 ? 2 ? 2 ? x ? 2 ? x ? 0 3 ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 3x ? 2 ? x ? 2 3

1? x ?
②当

③当 x ? 1 时,

? 2 ? ? x x ? 或x ? 2? 3 ? ?5? ? 综上,解集为 ?
(Ⅱ)即

2 x ? a ? 5 ? x ? x ?1

恒成立

- 12 -

?6 ? 2 x, x ? 1 g ( x) ? 5 ? x ? x ? 1 ? ? ? 4, x ? 1 则函数图象为 令
a ? ?3 2 ,? a ? 6 ?10?

- 13 -


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