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河南省2013届高三高考适应性考试(一)数学(文)试题 Word版含答案


河南省普通高中 2013 年新课程高考适应性考试(一)

数学(文)试题
本试题卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(必考题和选考题两部分) 。考生作答时,将答案 答在答题卡上(答题注意事项见答题卡) ,在本试题卷上答题无效。考试结束后,将本试题 卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 1 2 小题,每小题

5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B={ x | x ? 2 },下图中阴影部分所表示的集合 为 A.{0,1,2} C.{1} 2.复数 z ? i ?
3

B.{1,2} C.{0,1}

2i ,在复平面上对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第二象限 D.第四象限

A.第一象限

3.在用二分法求方程 x2 ? 2x ? 1 ? 0 的一个近似解时,已将一根锁定在区间(1,2)内, 则下一步可断定该根所在的区间为 A. (1,4,2) B. (1,1,4) C. (1,

3 ) 2

D. ( , 2)

3 2

4.已知命题 p : ?x ? R, 使得 x ? A.p ? q

1 ? 2, 命题 q : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ,下列命题为真的是 x
C.

B. ?p) ? q (

p ? (?q)

D. (?p) ? (?q)

5.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为

A. 4 3

B. 8 3

C. 12 3

D. 24 3

6.设函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
2

), x ? R, 则f ( x) 是

A.最小正周期为 ? 的奇函数 B.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为

? 的奇函数 2 ? D.最小正周期为 的偶函数 2
?ln(? x), x ? ?2, ? 7.如图是计算函数 y ? ?0, ?2 ? x ? 3, 的值的程序框图,在① 、③ 、② 处分别应填入的是 ?2 x , x ? 3 ?
A.y=ln(一 x) ,y=0,y=2x B.y=0,y=2x,y=In(一 x) C.y=ln(一 x) ,y=2z,y=0 D.y=0,y=ln(一 x) ,y=2x 8.如果数列 a1 ,

a a2 a3 , ,?, n ,? 是首项为 1,公比为 ? 2 a1 a2 an?1

的等比数列,则 a5 等于 A. ?2 2 C. 16 2 B.—32 D.32

9.在同一坐标系中画出函数 y ? loga x, y ? a x , y ? x ? a 的图象,可能正确的是

10.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a-c)· (b 一 c)=0,则|c|的最大值是 A.1 B.

2 2

C.2

D. 2

11. 已知 A, C, 是同一球面上的四个点, B, D 其中△ ABC 是正三角形, 平面 ABC, AD⊥ AD=2AB=6 则该球的表面积为 A.16 ? B.24 ? C.32 3

?

D.48 ?

12.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为一 1 的直线,该直线与双曲线 a 2 b2

的两条渐近线的交点分别为 B,C,若 A,B,C 三点的横坐标成等比数列,则双曲线的 离心率为 A. 3 B. 5 C. 10 D. 13

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 2l 题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第 22~24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

?4 x ? y ? 9 ? 0 ? 13.已知函数 x, y满足 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则z ? x ? 3 y 的最大值是 ?y ? 3 ?



14.已知函数 f ( x)是(-?,+?) 上的奇函数,且 f ( x ) 的图象关于直 线 x=1 对称, 当

1 x ? [?1, 0] 时, f ( x) ? 1 ? ( ) x , 则f (2012) ? f (2013) ? 2



15.已知圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? 8(ab ? 0) 过坐标原点,则圆心 C 到直线 l : 离的最小值等于
3

x y ? ? 1距 b a


2

16.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4在x ? 2 处取得极值,若 m, n ? [?1,1], 则f (m) ? f ?(n) 的最小值是 。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a sin
2

B A c ? b sin 2 ? . 2 2 2

(I)求证:a,c,b 成等差数列; (Ⅱ)若 a-b=4,△ABC 的最大内角为 120°,求△ABC 的面积.

18. (本小题满分 1 2 分) 如图所示,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中。AB=AA1,D 是 BC 上的一点,且 AD⊥C1D. (I)求证:A1B∥平面 AC1D; (Ⅱ)在棱 CC1 上是否存在一点 P,使直线 PB1⊥平面 AC1D?若存在,找出这个点,并加 以证明;若不存在,请说明理由.

19. (本小题满分 12 分) 某种商品在 50 个不同地区的零售价格全部介于 13 元与 18 元 之间,将各地价格按如下方式分成五组:第一组 [13,14) ; 第二组[14,15) ,??,第五组[17,18]。右图是按上述分 组方法得到的频率分布直方图. (I)求价格在[16,17)内的地区数,并估计该商品价格的 中位数(精确到 0.1) ; (Ⅱ)设 m、n 表示某两个地区的零售价格,且已知 m, n ? [13,14) ? [17,18] ,求事件“|m-n|>l”的概率.

2 x 2 y2 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 左、右焦点分别为 a b

F1、F2,焦距为 4,点 M 是椭圆 C 上一点,满足 ?F1 MF2 ? 60?, 且S?F1MF ?

4 3 . 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)分别作直线 PA,PB 交椭圆 C 于 A,B 两点,设直线 PA,PB 的斜 率分别为 k1,k2, 且k1 ? k2 ? 4 ,求证:直线 AB 过定点,并求出直线 AB 的斜率 k 的 取值范围。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 8ln x, g ( x) ? ?x2 ? 14x. (1)若函数 y ? f ( x) 和函数 y ? g ( x) 在区间 (a, a ? 1) 上均为增函数,求实数 a 的取 值范围; (2)若方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解,求实数 m 的值。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做.则按所做的第一题记分.做 答时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲 在 ? ABC 的边 AB,BC,CA 上分别取 D,E,F.使得 DE=BE,FE=CE,又点 O 是△ ADF 的 外心。 (Ⅰ)证明:D,E,F,O 四点共圆; (Ⅱ)证明:O 在∠DEF 的平分线上.

23. (本小题满分 10 分)选修 4~4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos ? , (t 为参数) 在极坐标系 (与 ? y ? 2 ? t sin ?

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位。且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, 圆 C 的方程为 ? ? 6sin ? . (I)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ )设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(1,2),求 | PA | ? | PB | 的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x ) = 2 | x ? 2 | ? x ? 5. (I)求函数 f ( x ) 的最小值 m; (II)若不等式 | x ? a | ? | x ? 2 |? m 恒成立,求实数 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 A 5 A 6 B 7 B 8 D 9 D 10 D 11 D 12 C

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) (13) (14) (15) (16)

三、解答题(17)解: (Ⅰ)由正弦定理已知等式可化为


所以 所以 由正弦定理得, ,所以



3分 . ………6 分

, 所以 a,c,b 成等差数列.

(Ⅱ)由



且 a 为最大边,



,得:

,从而

,

…10 分

所以

.

12 分

(18) (Ⅰ)证明:因为 ABC-A1B1C1 是正三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC, 所以 CC1⊥AD. AD⊥C1D,CC1∩C1D=C1, 又 所以 AD⊥平面 BCC1B1, 所以 AD⊥BC,所以 D 是 BC 的中点. 3分

如图,连接 A1C,设与 AC1 相交于点 E,则点 E 为 A1C 的中点. 连接 DE,则在 中,因为 D、E 分别是 BC、A1C 的中点,所以 A1B∥DE,又 DE 在平 ……6 分 …7 分

面 AC1D 内,A1B 不在平面 AC1D 内,所以 A1B∥平面 AC1D. (Ⅱ)解:存在这样的点 P,且点 P 为 CC1 的中点.

下面证明:由(Ⅰ)知 AD⊥平面 BCC1B1,故 B1P⊥AD. 设 PB1 与 C1D 相交于点 Q,由于△DC1C≌△PB1C1,故∠QB1C1=∠CC1D, 因为∠QC1B1=∠CDC1,从而△QC1B1∽△CDC1,所以∠C1QB1=∠DCC1=90° ,所以 B1P⊥ C1D.因为 AD∩C1D=D,所以 B1P⊥平面 AC1D. …12 分 (19)解: (Ⅰ)价格在[16,17﹚内的频数为 1-(0.06+0.08+0.16+0.38)=0.32, 所以价格在[16,17﹚内的地区数为 50× 0.32=16,…2 分 设价格中位数为 x,由 0.06+0.16+(x-15)× 0.38=0.5,解得:x=15≈15.7(元) (Ⅱ)由直方图知,价格在 的地区数为 若 时, A x y z xA yA zA B xB yB zB C
[学.科.网]

5分

的地区数为 若

,记为 、 、 ;价格在 时,有 6 种情况;若 , , 3 种情况; 和 内

,记为 时,有

分别在

D xD yD zD

xC yC zC

共有 12 种情况. 事件“

10 分所以基本事件总数为 21 种,

”所包含的基本事件个数有 12 种. …12 分

(20) (Ⅰ) 解: 在 即

中,设

, ,即

,由余弦定理得 ,





.

…2 分又因为









所以

,所以所求椭圆的方程为 的斜率 存在,设直线方程为 ,

.

……6 分 ,

(Ⅱ)显然直线





,即 ,





…8 分



得,

,又











, 那么 则直线直线 过定点 . ……12 分 ,

…10 分

(21)解: (Ⅰ)因为 故当 要使 要使 在 在 时, ,当 ,因为 ,即 在 , 时,

, , ,

上递增,必须 上递增,必须 时 ,

由上得出,当

上均为增函数. ……6 分

(Ⅱ)方程 设

有唯一解 ,所以 随 变化如下表:

有唯一解, ( )

递减 极小值 由于在 上, 只有一个极小值,所以

递增 的最小值为 ,

故当

时,方程

有唯一解. …………12 分

(22)证明: (Ⅰ)如图, =180° -2∠A.因此∠A 是锐角,从而 的外心与顶点 A 在 DF 的同侧,

∠DOF=2∠A=180° -∠DEF.因此 D,E,F,O 四点共圆. ………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠DEO=∠DFO=∠FDO=∠FEO, 即 O 在∠DEF 平分线上. …10 分

( 23 ) 解 : ( Ⅰ ) 由 .



,化为直角坐标方程为 ……………4 分

,即

(Ⅱ)将 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 由 ,故可设 是上述方程的两根,

所以 =

,又直线 过点

,故结合 t 的几何意义得

所以

的最小值为

……………10 分

(24)解: (Ⅰ) 显然,函数 所以函数 在区间 的最小值 , 上单调递减,在区间 上单调递增, ……………5 分 恒成立, , 时成立, 或 或 ……………10 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 由于 等号当且仅当 故 ,解之得

所以实数 的取值范围为


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