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1.3.1推出与充分条件、必要条件(优质)


事例
?

提问:鱼生存非常需要水,没了水,鱼就 无法生存,但只有水,够吗? 探究: p:“有水”;q:“鱼能生存”. P和q之间有怎样的逻辑关系呢?

1.3.1推出与充分条件﹑ 必要条件

复习引入

命题“如果 p ,则 q ”, p 称为命题的条件,q 称为 命题的结论。还可以有

以下说法“若p则q”, “只要p,就有q”,”要是p,便q”.

将下列命题改写成”如果p,则q“的形式,并判断真假
(1)平行四边形两组对角相等 (1)如果四边形是平行四边形, 则它的两组对角相等



(2)两组对角相等的四边形是平行四边形

(2)如果四边形的两组对角相等, 则四边形是平行四边形

真 真 假

(3)如果a ? 0, 则a 2 ? 0(a ? R) (4)如果a 2 ? 0, 则a ? 0(a ? R)

p,则 q ”经过推理证明断定是真命题时, 当命题“如果
我们就说由 p 成立可推出 q 成立,记作 读作“p推出q” 如果由p可推出q,我们又称 p是q的充分条件 q是p的必要条件
若p则q为假,记作

p?q

p?q

(1)命题“如

x ? ? y ? x2 ? y 2 x ? ? y 是 x 2 ? y 2 的 充分 2 2 x ? y 是 x ? ? y的 必要

x ? ? y,则 x 2 ? y 2”是真命题;
条件 条件

(2)命题 ?ABC 中,如果 ?B ? ?C ,则 ACA? AB ”是真 “在 命题; B C ?B ? ?C ? AC ? AB 在?ABC 中, 充分 条件 的 AC ? AB ? B ? ? C 是 中, 在?ABC 必要 条件 的 ? B ? ? C 中, 是 AC ? AB 在?ABC

?ABC 中,如果 AC ? AB ,则?B ? ?C ”是真 命题 “在 命题; 在?ABC 中, AC ? AB ? ?B ? ?C 充分 条件 的 AC ? AB ? B ? ? C 是 中, 在?ABC 必要 条件 的 AC ? AB 在?ABC 中,?B ? ?C是
?B ? ?C 是 AC ? AB 的充分条件,也是 AC ? AB

的必要条件

充分必要条件 如果 p 是 q 的充分条件即 p ? q , 且 p是q 的必要条件即 q ? p, 则称 p 是 q 的充分且必要条件, 简称充要条件,记作.p ? q
等价符号


q当且仅当p

?”

典型例题

例1、在下列各命题中,试判定 p 是 q 的什么条件

(1) p : 两三角形全等, q : 两三角形面积相等 2 (2) p : a ? 4, q : a ? 2
(3) p : A ? B, q : A ? B ? A

(如图) 例2、设 A ? {x p( x)}, B ? {x q( x)}且A ? B 在下列命题中,试确定r是s的什么条件,s是r的 什么条件

(1)r : x ? A, s : x具有性质p( x); (2)r : x ? A, s : x ? B; (3)r : A ? B, s : x ? A ? x ? B.
B

x

A

例3.填表

p

q

y是有理数
x?5

y是实数
x?3

p是q的什么条件 q是p的什么条件 必要 充分 充分 充分 必要 充 要 充分 必要 必要 必要 充分 充要 必要 充分

m,n是奇数 a?b
x ? A且x ? B ab ? 0

m+n是偶数 a?b
x? A? B a?0

( x ? 1)( y ? 2) ? 0 x ? ?1且y ? 2

小结
1、定义:
(1)若p

?q,则p是q的充分条件。(p可能会多余浪费) (2)若q ?p,则p是q的必要条件(p可能还不足以使q成立) (3)若p ?q,则p是q的充要条件(p不多不少,恰到好处)

p ? q 2.若p则q为真 ,记作_____________; p ? q 若p则q为假 ,记作_____________.
p ? q 且q ? p 3. p是q的充分不必要条件的含义:————。 p ? q 且q ? p p是q的必要不充分条件的含义:—————。 p ? q 且q ? p ( p ? q ) p是q的充要条件的含义:—————。

p ? q 且q ? p p是q的既不充分也必要条件的含义:————。


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