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甘肃省兰州市2013届高三第一次(3月)诊断考试数学(文)试题


2013 年高三诊断考试



学(文)

注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。试题前标注有(理)的试题 理科考生作答,试题前标注有(文)的试题文科考生作答,没有标注的试题文理科考生 均作答。 2.本卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。 3.答题全部在答题纸上完成,试卷

上答题无效。

第 I 卷(共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.(文)若全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6}, M ? {2,3}, N ? {1, 4} ,则集合 N ? (? M ) 等于 U A. {1, 2,3, 4} B. {1, 4,5,6} C. {1, 4,5} D. {1, 4}

2.(文)设 i 为虚数单位,若 ( x ? i)(1 ? i) ? y ,则实数 x, y 满足

A. x ? ?1, y ? 1
3

B. x ? ?1, y ? 2

C. x ? 1, y ? 2

D. x ? 1, y ? 1

3.曲线 y ? x ? 11 在点 P(1,12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是 A.75 B.

75 2

C. 27

D.

27 2

4.若点 P(2,0) 到双曲线 的离心率为 A. 2

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的距离为 2 ,则该双曲线 a 2 b2

B. 3

C. 2 2

D. 2 3

5.(文)下列命题中的真命题是 A.对于实数 a 、 b 、 c ,若 a ? b ,则 ac ? bc
2 2

B.不等式

1 ? 1 的解集是 {x | x ? 1} x

C. ?? , ? ? R ,使得 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 成立 D. ?? , ? ? R , tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 成立 1 ? tan ? ? tan ?

6.(文)已知数列 {an } 为等差数列,若 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 tan(a2 ? a12 ) ? A. ? 3

B. 3

C.

3 3

D. ?

3 3

开始

7. 执行右面的程序框图,若输入的 n ? 6 , m ? 4 那么输出的 p 是 A.120 B.240 C.360 D.720

输入 n、m k=1,p=1

p=p(n-m+k) 是 k<m 否 输出 p 结束

k=k+1

8. 有一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.16 B.20 C.24 D.32
3 4

2

9.(文) 在半径为 1 的圆内任取一点,以该点为中点作弦,则所做弦的长度超过 3 的概率是 A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

10.(文) 已知动点 P 到两定点 A 、 B 的距离和为 8,且 | AB |? 4 3 ,线段 AB 的的中点为

O ,过点 O 的所有直线与点 P 的轨迹相交而形成的线段中,长度为整数的有

A. 5 条

B. 6 条

C. 7 条

D. 8 条

11.(文)数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1 , an ?1 ? 3Sn ,则 a6 ? A. 3 ? 4
4

B. 3 ? 4 ? 1
4

C. 4 4

D. 44 ? 1

12.(文)已知函数 f ( x) 是 R 上的偶函数,且满足 f (5 ? x) ? f (5 ? x) ,在[0,5]上有且只 有 f (1) ? 0 ,则 f (x) 在[–2013,2013]上的零点个数为 A.808 B.806 C.805 D.804

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

?x ? 3y ? 5 ? 0 ? 13. (文)已知变量 x, y 满足 ? 2 x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为__________. ? x ? 0, y ? 0? ? r r r r r r r b a 14. 文) ( 已知向量 a ? (k , ?2) , ? (2, 2) , ? b 为非零向量, a ? (a ? b ) , k ? 若 则

.

15.已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在以 O 为球心的球面上, ABC 是边长为1 的正三角 ? 形, 为球 O 的直径,若三棱锥 S ? ABC 的体积为 SC

2 , 则球 O 的表面积为 6

.

16. (文) 定义一种运算 a ? b ? ? 函数 f ( x ?

?a a ? b 5 ? 2 .令 f ( x) ? (cos x ? sin x) ? .当 x ? [0, ] 时, 4 2 ?b a ? b

?
2

) 的最大值是______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , a ? b ? c ? bc .
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 3 , b ? 2 ,求 c 的值.

18. (本小题满分 12 分)

(文)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD是菱形,

AB ? 2 , ?BAD ? 60? .
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 PA ? AB ,求棱锥 C ? PBD 的高.

P

D A C B

19. (本小题满分 12 分) (文) 某售报亭每天以每份 0.4 元的价格从报社购进若干份报纸,然后以每份 1 元的 价格出售,如果当天卖不完,剩下的报纸以每份 0.1 元的价格卖给废品收购站. (Ⅰ) 若售报亭一天购进 280 份报纸, 求当天的利润 y (单位: 元)关于当天需求量 x(单位: 份, x ? N )的函数解析式. (Ⅱ)售报亭记录了 100 天报纸的日需求量(单位:份) ,整理得下表: 日需求量 x 频数 240 10 250 20 260 16 270 16 280 15 290 13 300 10

(1)假设售报亭在这 100 天内每天购进 280 份报纸,求这 100 天的日利润(单位:元)的 平均数; (2)若售报亭一天购进 280 份报纸,以 100 天记录的各需求量的频率作为各销售量发生的 概率,求当天的利润不超过 150 元的概率.

20. (本小题满分 12 分) 已知点 P 为 y 轴上的动点,点 M 为 x 轴上的动点,点 F (1, 0)为定点,且满足

uuur uuu r uuu 1 uuur r PN ? NM ? 0 , PM ? PF ? 0 . 2
(Ⅰ)求动点 N 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ) 过点 F 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 E 交于两点 A , , B 试判断在 x 轴上是否存在点 C , 使得 | CA | ? | CB | ?| AB | 成立,请说明理由.
2 2 2

21. (本小题满分 12 分) ( 文 ) 已 知 函 数 f ( x) ?

1 2 x ? 2ex , g ( x) ? 3e2 ln x ? b ( x ? R? , e 为 常 数 , 2

,且这两函数的图象有公共点,并在该公共点处的切线相同. e ? 2.71828 ) (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)若 x ? (0,1] 时,证明: 2[ f ( x) ? 2ex] ?

1 [2 g ( x) ? e2 ] ? 4 x ? 3 恒成立. 2 3e

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.做答时请 .... 写清题号.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:《几何证明选讲》 已知:如图, ? O 为 ?ABC 的外接圆,直线 l 为 ? O 的切线,切点为 B ,直线 AD ∥ l , 交 BC 于 D 、交 ? O 于 E , F 为 AC 上一点,且 ?EDC ? ?FDC . 求证: (Ⅰ) AB ? BD ? BC ;
2

A

l
O B

(Ⅱ)点 A 、 B 、 D 、 F 共圆.

g
D E

F C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 《坐标系与参数方程》 在 直 接 坐 标 系 xoy 中 , 直 线 l 的 方 程 为 x ? y ? 4 ? 0 , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为

? x ? 3 cos ? ? ( ? 为参数) ? ? y ? sin ? ?
(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

? ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5: 《不等式选讲》 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 5 .

(I)证明: ? 3 ? f ( x) ? 3 ; (II)求不等式 f ( x) ? x ? 8 x ? 15 的解集.
2

2013 高三诊断考试 数学参考答案及评分标准(文)

一、选择题:本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 A 5 C 6 A 7 C 8 B 9 B 10 D 11 A 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 4 ; 14. 0 ; 15. 4? ; 16. 1 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解: (Ⅰ)由 a ? b ? c ? bc ,得
2 2 2

b2 ? c2 ? a 2 1 ?? . 2bc 2

………………3 分

∴ cos A ? ?

1 . 2
∴A?

∵0? A?? ,

2? . 3

………………6 分

(Ⅱ)由正弦定理,得 sin B ? ∵A? ∴B ?

b 2 3 1 sin A ? ? ? . a 2 2 3 2

………………9 分

?

2? , 3
.

0? B ?? ,
∴ C ? ? ? ( A ? B) ?

?
6

6 ∴c ? b ? 2.

.

………………11 分 ………………12 分

18. (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD . 又因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BD . 又 PA ? AC ? A ,所以 BD ⊥平面 PAC .
P

………………6 分

(Ⅱ)解:∵ VC ? PBD ? VP ?CBD ,设棱锥 C ? PBD 的高为 h ∴ h ? S?PBD ?

1 3

1 PA ? S?CBD 3

………………8 分
D A C B

. ∵ PA ? AB , AB ? 2 , ?BAD ? 60? ∴ PB ? PD ? 2 2 , ∴ S ?PBD ?

BD ? 2
……10 分

1 1 1 1 BD ? PB 2 ? ( BD) 2 ? 7 , S?CBD ? BD ? AC ? 3 2 2 2 2

∴h ?

PA ? SCBD 2 21 ? . S ?PBD 7

即棱锥 C ? PBC 的高为

2 21 . 7

………………12 分

19. 解:(Ⅰ)当 x ? 280 时, y ? 280 ? (1 ? 0.4) ? 168 ;

当 x ? 280 时, y ? (1 ? 0.4) x ? (280 ? x) ? 0.1 ? (280 ? x) ? 0.4 ? 0.9 x ? 84 , ∴y??

?0.9 x ? 84, ?168 ,

( x ? 280) ( x ? 280)

(x ? N )

………………5 分

(Ⅱ)(1) 这 100 天中,每天利润为 132 元的有 10 天,每天利润为 141 元的有 20 天,每天 利润为 150 元的有 16 天,每天利润为 159 元的有 16 天,每天利润为 168 元的有 38 天,所 以这 100 天的日利润的平均数为

132 ?10 ? 141? 20 ? 150 ?16 ? 159 ?16 ? 168 ? 38 ? 154.68 .………………9 分 100
(2)利润不超过 150 元当且仅当报纸日需求量不大于 260 份, 故当天的利润不超过 150 元的概率的概率为

p ? 0.1 ? 0.2 ? 0.16 ? 0.46 .
20. 解: (Ⅰ)设 N ( x, y ) ,则由 PN ? ∴ P (0, ) ,

………………12 分

???? 1 ???? ? NM ? 0 ,得 P 为 MN 的中点.………………2 分 2

∴ PM ? (? x, ? ) , PF ? (1, ? ) . ∴ PM ? PF ? ? x ?

???? ?

y 2

M (? x,0) .

y 2

??? ?

y 2

???? ??? ? ?

y2 ? 0 , 即 y2 ? 4x . 4
2

∴动点 N 的轨迹 E 的方程 y ? 4 x . (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,由 ? 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ?

………………5 分

? y ? k ( x ? 1) ? y ? 4x
2

消去 x 得 y ?
2

4 y?4 ? 0. k

假设存在点 C (m, 0) 满足条件,则 CA ? ( x1 ? m, y1 ) , ∴ CA ? CB ? x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m ? y1 y2 ? (
2

??? ?

4 , k

y1 y2 ? ?4 .

………………6 分

??? ? CB ? ( x2 ? m, y2 ) ,

??? ??? ?

y1 y2 2 y 2 ? y2 2 ) ? m( 1 ) ? m2 ? 4 4 4

??

m [( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ] ? m2 ? 3 4 4 ? m2 ? m( 2 ? 2) ? 3 . k

………………9 分

4 ? 2)2 ? 12 ? 0 , 2 k 4 ∴关于 m 的方程 m2 ? m( 2 ? 2) ? 3 ? 0 有解 . k
∵? ? (
2 2 2

………………11 分

∴假设成立,即在 x 轴上存在点 C ,使得 | CA | ? | CB | ?| AB | 成立. …………12 分 21. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? x ? 2e , g ?( x) ? 设 f ( x) ?

3e 2 , x

1 2 x ? 2ex 与 g ( x) ? 3e2 ln x ? b 的公共点为 ( x0 , y0 ) ,则有 2

?1 2 2 ? 2 x0 ? 2ex0 ? 3e ln x0 ? b, ? 3e 2 ? , ? x0 ? 2e ? x0 ? ? x0 ? 0. ? ?

………………3 分

e2 解得 b ? ? . 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? 3e ln x ?
2

………………5 分

e2 . 2

所以 2[ f ( x) ? 2ex] ?

1 [2 g ( x) ? e2 ] ? x 2 ? 2ln x . 3e2
2

∴ 要证 x ? (0,1] 时, x ? 2ln x ? 4 x ? 3 恒成立, 即证 x ? (0,1] 时, x ? 4 x ? 3 ? 2ln x ? 0 恒成立 .
2

………………8 分

设 h( x) ? x ? 4 x ? 3 ? 2ln x(0 ? x ? 1) , 则
2

h?( x) ? 2 x ? 4 ?
∵ x ? (0,1]
2

2 2 x 2 ? 4 x ? 2 2( x ? 1) 2 ? ? . x x x

∴ h?( x) ? 0 (仅当 x ? 1 时取等号). ………………11 分

∴ h( x) ? x ? 4 x ? 3 ? 2ln x 在 (0,1] 上为增函数. ∴ h( x)max ? h(1) ? 1 ? 4 ? 3 ? 0 ? 0 . ∴ x ? (0,1] 时, 2[ f ( x) ? 2ex] ?

1 [2 g ( x) ? e2 ] ? 4 x ? 3 恒成立.………………12 分 2 3e

22. 证明:⑴∵直线 l 为 ? O 的切线, ∴∠1= ?ACB .

∵ AD ∥ l ,

∴∠1=∠ DAB .

∴ ?ACB = ?DAB , 又∵ ?ABC = ?DBA , ∴ ?ABC ∽ ?DAB . ∴

AB BC . ? DB AB
2

∴ AB ? BD ? BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ?BAC ? ?ADB . ∵ ?EDC ? ?FDC ,

………………5 分

?EDC ? ?ADB ,

∴ ?BAC ? ?FDC . ∴ ?BAC ? ?FDB ? ?FDC ? ?FDB ? 180°. ∴点 A 、 B 、 D 、 F 共圆. 23. 解: (I)把极坐标系下的点 P (4, ………………10 分

?
2

) 化为直角坐标,得 P(0, 4) .

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上. (II)设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,则点 Q 到直线 l 的距离为 ………………5 分

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2
由此得,当 cos(? ?

2cos(? ? ) ? 4 ? 6 ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 . 6 2
………………10 分

?

?
6

) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 2 .

24. 解: (I)证明:当 x ? 2 时, f ( x) ? 2 ? x ? (5 ? x) ? ?3 ; 当 2 ? x ? 5 时, f ( x) ? x ? 2 ? (5 ? x) ? 2 x ? 7 ,所以 ?3 ? f ( x) ? 3 ; 当 x ? 5 时, f ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 5) ? 3 . 所以 ? 3 ? f ( x) ? 3 . (II)由(I)可知, 当 x ? 2 时, f ( x) ? x ? 8 x ? 15 ? x ? 8 x ? 18 ? 0 ? ( x ? 4) ? 2 ? 0 ,
2 2 2

………………5 分

∴ f ( x) ? x ? 8 x ? 15 的解集为空集;
2

当 2 ? x ? 5 时, f ( x) ? x ? 8 x ? 15 ? x ? 10 x ? 22 ? 0 ? 5 ? 3 ? x ? 5 ? 3 ,
2 2

∴ f ( x) ? x ? 8 x ? 15 的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 5} ;
2

当 x ? 5 时, f ( x) ? x ? 8 x ? 15 ? x ? 8 x ? 12 ? 0 ? 2 ? x ? 6 ,
2 2

∴ f ( x) ? x ? 8 x ? 15 的解集为 {x | 5 ? x ? 6} .
2

综上,不等式 f ( x) ? x ? 8 x ? 15 的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 6} . ………………10 分
2

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