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二元一次方程组提高题归纳


二元一次方程组 类型总结(提高题)
类型一:二元一次方程的概念及求解
例(1) .已知(a-2)x-by
|a|-1

=5 是关于 x、y 的二元一次方程,则 a=______,b=_____.

(2) .二元一次方程 3x+2y=15 的正整数解为_______________.

类型二:二元一次方程组的求解
例(3) .若|2a+3b-7|与(2a+5b-1) 互为相反数,则 a=______,b=______. (4) x-3y=4x-y=5 的解为_______________. .2
2

类型三:已知方程组的解,而求待定系数。
?3mx ? 2 y ? 1 ? x ? -2 2 2 例(5) .已知 ? 是方程组 ? 的解,则 m -n 的值为_________. ?4 x ? ny ? 7 ? 2 ?y ? 1
(6) .若满足方程组 ?3x ? 2 y ? 4 的 x、y 的值相等,则 k=_______. ? ?k x ? (2k ? 1) y ? 6 练习:若方程组 ?

?2 x ? y ? 3 的解互为相反数,则 k 的值为 ?2k x ? (k ? 1) y ? 10



?3x ? 4 y ? 2 ? a ? ? x ? by ? 4 若方程组 ? 与 ?3 有相同的解,则 a= b ?ax ? 2 y ? 5 ?2 x ? y ? 5 ? ?

,b=



类型四:涉及三个未知数的方程,求出相关量。设“比例系数”是解有关数量比的问题的常用方法.
例(7) .已知

a b c 1 = = ,且 a+b-c= ,则 a=_______,b=_______,c=_______. 2 3 4 12

?x ? 3 y ? 2 (8) .解方程组 ?3 y ? z ? 4 ,得 x=______,y=______,z=______. ? ? z ? 3x ? 6 ?

练习:若 2a+5b+4c=0,3a+b-7c=0,则 a+b-c = 由方程组 ?

。 ) C、1∶(-2)∶1 D、1∶2∶(-1)

? x ? 2 y ? 3z ? 0 可得,x∶y∶z 是( ?2 x ? 3 y ? 4 z ? 0
B、1∶(-2)∶(-1)

A、1∶2∶1

说明:解方程组时,可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数,再根据比例的性质求解. 当方程组未知数的个数多于方程的个数时,把其中一个未知数看作已知常数来解方程组。

类型五:列方程组求待定字母系数是常用的解题方法.
?x ? 1 ?x ? 0 ? 例(9) .若 ? ,? 1 都是关于 x、y 的方程|a|x+by=6 的解,则 a+b 的值为 ? y ? ?2 ? y ? 3 ?

1

(10) .关于 x,y 的二元一次方程 ax+b=y 的两个解是 ?

?x ? 1 ?x ? 2 ,? ,则这个二元一次方程是 ? y ? ?1 ? y ? 1

练习:如果 ?

? x ? ?1 ?ax ? by ? 0 是方程组 ? 的解,那么,下列各式中成立的是 ( ?y ? 2 ?bx ? cy ? 1
B、4a+c=2 C、a+4c+2=0



A、a+4c=2

D、4a+c+2=0

类型六:方程组有解的情况。 (方程组有唯一解、无解或无数解的情况)
方程组 ?

?a1 x ? b1 y ? c1 满足 ?a 2 x ? b2 y ? c 2
满足 满足

条件时,有唯一解; 条件时,有无数解; 条件时,有无解。

例(11) .关于 x、y 的二元一次方程组 ?

?2 x ? y ? 1 没有解时,m ?mx ? 3 y ? 2
,n= 。

(12)二元一次方程组 ?

?2 x ? y ? m 有无数解,则 m= ? x ? ny ? ?3

类型七:解方程组
5 ?x ? y 3 ? 2 ?2y?2 ? 例(13) ? . ?3 x ? 2y ? 0 . ?2 ?
?2( x ? 150 ) ? 5(3 y ? 50 ) ? (14) ? . 8. 5 ?10 % x ? 60 % y ? 100 ? 800 ?

?x ? y x ? y ? ?1 ? (15) ? 2 . 5 ?3( x ? y ) ? 2( x ? y ) ? 6 . ?

(16) ? .

?x ? y ? 4z ? 5 ? y ? z ? 4 x ? ?1 ?z ? x ? 4 y ? 4 . ?

类型八:解答题
例(17) .已知 ?

? x ? 4 y ? 3z ? 0 3 x 2 ? 2 xy ? z 2 ,xyz ≠0,求 的值. x2 ? y2 ?4 x ? 5 y ? 2 z ? 0

2

(18) .甲、乙两人解方程组 ?

?4 x ? by ? ?1 ?x ? 2 ,甲因看错 a,解得 ? ,乙将其中一个方程的 b 写成了它的相 ?ax ? by ? 5 ?y ? 3

反数,解得 ?

? x ? ?1 ,求 a、b 的值. ? y ? ?2

练习:甲、乙两人共同解方程组 ?

?ax ? 5 y ? 15   ① ?4 x ? by ? ?2   ②

,由于甲看错了方程①中的 a ,得到方程组的解为
2005

? x ? ?3 ?x ? 5 ? 1 ? 2004 ? ?? b? ;乙看错了方程②中的 b ,得到方程组的解为 ? 。试计算 a ? ? 10 ? ? y ? ?1 ?y ? 4

的值.

(19) .已知满足方程 2 x-3 y=m-4 与 3 x+4 y=m+5 的 x,y 也满足方程 2x+3y=3m-8,求 m 的值.

(20) .当 x=1,3,-2 时,代数式 ax +bx+c 的值分别为 2,0,20,求: (1)a、b、c 的值; (2)当 x=-2 时,ax +bx+c 的值.
2

2

类型九:列方程组解应用题
(21) .有一个三位整数,将左边的数字移到右边,则比原来的数小 45;又知百位上的数的 9 倍比由十位上的数 与个位上的数组成的两位数小 3.求原来的数.

(22) .某人买了 4 000 元融资券,一种是一年期,年利率为 9%,另一种是两年期,年利率是 12%,分别在一年和 两年到期时取出,共得利息 780 元.两种融资券各买了多少? (23) .汽车从 A 地开往 B 地,如果在原计划时间的前一半时间每小时驶 40 千米,而后一半时间由每小时行驶

3

50 千米,可按时到达.但汽车以每小时 40 千米的速度行至离 AB 中点还差 40 千米时发生故障,停车半小 时后,又以每小时 55 千米的速度前进,结果仍按时到达 B 地.求 AB 两地的距离及原计划行驶的时间.

单元测验九(二元一次方程组的应用)
姓名 全在桥上的时间共 60s;设火车的速度为 xm/s,火车的长度 得分 1、12.某铁路桥长 1750m,现有一列火车从桥上通过,测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了 80s,整列火车完

为 ym,根据题意得方程组为___________________ 2、 通讯员要在规定时间内将密件从师部送到团部。 如果他以 50km/h 的速度行驶就会迟到 24min; 如果他以 75km/h 的速度行驶就会提前 24min 到达团部。求若要在规定时间到达速度应该为多少 km/h。

3、某校办工厂去年总利润(总利润=总收入-总支出)为 50 万元。计划今年的总收入比去年增加 10%,总支出 节约 20%,这样今年总利润为 58 万元,求今年的总收入和总支出分别为多少万元?

4、甲乙两个商店各进洗衣机若干台,若甲店拨给乙店 12 台,则两店的洗衣机一样多;若乙店拨给甲店 12 台,则 甲店的洗衣机比乙店洗衣机数的 3 倍还多 2 台,求甲、乙两店各进洗衣机多少台?若设甲店进洗衣机 x 台,乙店 进洗衣机 y 台。则根据题意,可列出 方程组为:__________________ 5、甲是乙现在的年龄时,乙 10 岁;乙是甲现在的年龄时,甲 25 岁,甲、乙今年分别多少岁?

4

A 6、买 20 枝铅笔、3 块橡皮、2 本日记本需 32 元;买 39 枝铅笔、5 块橡皮、3 本日记本共需 58 元;则买 5 枝铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需( A、 20 元 D、35 元 7、如图,在长方形 ABCD 中,放入六个形状大小相同 的长方形,所标尺寸如图所示,求图中阴影部分面积。 B、 25 元 ) C、30 元 B 6cm

D

C 14cm

8、某校初三有两个班,中考体育成绩优秀者共有 92 人,全年级的优秀率约为 92%,其中一班优秀率为 96%,二 班优秀率为 84%。若设一班人数为 x 人,二班人数为 y 人。则可得方程组为( )

9、七(4) 、七(5)两班学生到集市上购买苹果,苹果的价格如右表: 七(5)班分两次共购买苹果 70 千克(第二次多于第一次) ,共付出 189 元,而七(4)班则一次购苹果 70 千克。 (1)七(4)班比甲七(5)班少付多少元? (2)七(5)班第一次、第二次分别购买苹果多少千克? 购买苹果数 不超过 30 千克 30 千克以上但不超过 50 千克 每千克价格 3元 2.5 元 50 千克以上 2元

10、我市某蔬菜基地生产一种绿色蔬菜,若在市场眼直接销售,每吨利润为 1000 元;经粗加工后销售,每吨利润 可达 4500 元;经精加工后销售每吨利润涨至 7500 元。本地一家农工商公司收购这种蔬菜 140 吨。该公司加工的 能力是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工 16 吨;如果进行精加工,每天可以加工 6 吨,但两种加工方式不能 同时进行。受季节等条件的限制,公司必须在 15 天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种可行 的方案: (1)将蔬菜全部进行粗加工; (2)尽可能多地对蔬菜进行精加工,没来得及加工的蔬菜,在市场上直接 销售; (3)将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好 15 天完成。你认为选择哪种方案获利最多?为 什么?

5

11、小亮解方程组 ?

?x ? 5 ?2 x ? y ?● 的解为 ? ,由于不小心,滴上了两滴墨水,刚好遮住了两个数●和★,请 ? y ?★ ?2 x ? y ? 12
,★= ; )对

你帮他找回这两个数●=

12、二元一次方程 x ? 3 y ? 10 的非负整数解共有( A、1 B、2 C、3 D、4

13、已知关于 x,y 的方程组 ?

? x+y=5m 的解满足 2x-3y=9,则 m 的值是_________. ? x-y=9m

14、设 A、B 两镇相距 x 千米,甲从 A 镇、乙从 B 镇同时出发,相向而行,甲、乙行驶的速度分别为 u 千米/小时、 v 千米/小时,①出发后 30 分钟相遇;②甲到 B 镇后立即返回,追上乙时又经过了 30 分钟;③当甲追上乙 时他俩离 A 镇还有 4 千米。求 x 、 u 、 v 。根据题意,由条件③,有四位同学各得到第 3 个方程如下,其中 错误的一个是( ) A、 x ? u ? 4 B、 x ? v ? 4 C、 2 x ? u ? 4 D、 x ? v ? 4 15、 (2004·北京)某山区有 23 名中、小学生因贫困失学需要捐助, 资助一名中学生的学习费用需要 a 元,一名 小学生的学习费用需要 b 元,某校学生积极捐款,初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生 人数的部分情况如下表: 初一年级 捐款数额(元) 捐助贫困学生(名) 捐助贫困小学生人数(名) 4000 2 4 初二年级 4200 3 3 初三年级 7400

(1)求 a、b 的值; (2)初三年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用, 请将初三年级学生可捐助的贫困中、小学 生人数直接填入上表中。 (不需写出计算过程)

16、 (2004· 重庆) 某出租汽车公司有出租车 100 辆, 平均每天每车消耗的汽油费为 80 元, 为了减少环境污染, 市场推出一种 “CNG ” 的改烧汽油为天然汽的装置,每辆车改装价格为 4000 元,公司第一次改装了部分车辆后核算:已改装后的车辆每天的燃料费占剩 下未改装车辆每天燃料费用的 料费用的

3 , 公司第二次再改装同样多的车辆后,所有改装后的车辆每天的燃料费点剩下未改装车辆每天燃 20

2 ,问: 5

(1)公司共改装了多少辆出租车? 改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少? (2)若公司一次性全部将出租车改装, 多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本?

17(2004·安徽)某电视台在黄金时段的 2min 广告时间内, 计划插播长度为 15s 和 30s 的两种广告,15s 广告

6

每播 1 次收费 0.6 万元,30s 广告每 1 播次收费 1 万元,若要求每种广告播放不少于 2 次,问: (1)两种广告的播放次数有几种安排方式? (2)电视台选择哪种方式播放收益较大?

18.已知方程组 ?

?2a ? 3b ? 1 ? a ? 2 .3 ?2( x ? 1) ? 3( y ? 2) ? 1 的解是 ? ,求方程组 ? 的解. ?3a ? 5b ? 12 .9 ?b ? 1.2 ?3( x ? 1) ? 5( y ? 2) ? 12 .9

19.已知 3x ? y ? 2 z ? 28,5x ? 3 y ? z ? 7 ,求 x ? y ? z 的值.

?3 ?x ? ? 20、阅读理解。解方程组 ? ?2 ? ?x ?

2 ?7 y 1 1 时,如果设 ? m, ? n ,则原方程组可变形为关于 m、n 的方程组 1 x y ? 14 y

1 ? x? ? ?3m ? 2n ? 7 ?m ? 5 1 1 ? 5 。解这个方程组得到它的解为 ? 。由 ? 5, ? ?4 ,求得原方程组的解为 ? 。利用 ? 2m ? n ? 14 n ? ?4 1 x y ? ? ?y ? ? ? 4 ?
?5 ?x ? ? 上述方法解方程组: ? ?3 ? ?x ? 2 ? 11 y 2 ? 13 y

7


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