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空间几何体的三视图和直观图试题(含答案)1


一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确 答案的代号填在题后的括号内.) 1.充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成,这 个图形是( )

解析:选项 A 得到的是空心球;D 得到的是球;选项 C 得到的 是车轮内胎;B 得到的是空心的环状几何体,故选 C. 答案:C 2.在斜二测画法的规则下,下列结论正确的是( A.角

的水平放置的直观图不一定是角 B.相等的角在直观图中仍然相等 C.相等的线段在直观图中仍然相等 D.若两条线段平行,且相等,则在直观图中对应的两条线段仍 然平行且相等 解析:角在直观图中可以与原来的角不等,但仍然为角;由正方 形的直观图可排除 B、C,故选 D. 答案:D 3.下图所示的四个几何体,其中判断正确的是( ) )

A.(1)不是棱柱

B.(2)是棱柱

C.(3)是圆台

D.(4)是棱锥

解析:显然(1)符合棱柱的定义;(2)不符合;(3)中两底面不互相 平行,故选 D. 答案:D 4.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 ( )

A.①② C.①④

B.①③ D.②④

解析:正方体三个视图都相同;圆锥的正视图和侧视图都是等腰 三角形,俯视图是带圆心的圆;三棱台的正视图和侧视图虽然都是梯 形但不一定相同;正四棱锥的正视图和侧视图是全等的等腰三角形, 故选 D. 答案:D 5.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且该梯形面积 为 2,则原梯形的面积为( )

A.2 C.2 2

B. 2 D.4

解析:设直观图中梯形的上底为 x,下底为 y,高为 h.则原梯形

的上底为 x,下底为 y,高为 2 2h,故原梯形的面积为 4,选 D. 答案:D

6.某几何体的一条棱长为 7,在该几何体的正视图中,这条棱 的投影是长为 6的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱 的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为( A.2 2 C.4 B.2 3 D.2 5 )

解析:构造长方体,将棱 BH 构造为长方体的体对角线,由题意 知 BH 的正视图的投影为 CH,BH 的侧视图的投影为 BG,BH 的俯 视图投影为 BD.

设 AB=x,AD=y,AE=h, 则由 CH= 6?DC2+DH2=6?x2+h2=6, 又 BH= 7?BC=1,即 y=1. BH 侧视图的投影为 BG= y2+h2, BH 俯视图的投影为 BD= x2+y2, ∴ y +h + x +y ≤2 当 x=h 时,取等号.
2 2 2 2

(y2+h2)+(x2+y2) =4, 2

答案:C 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确 答案填在题后的横线上.) 7.一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可 能图形为________(只填写序号).

解析:当截面与正方体的某一面平行时,可得①,将截面旋转可 得②,继续旋转,过正方体两顶点时可得③,即正方体的对角面,不 可能得④. 答案:①②③ 8.有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母.下图是从 3 种 不同角度看同一粒骰子的情况,请问 H 反面的字母是________.

解析:因为正方体的骰子共有六个面,每个面都有一个字母,从 每一个图中都看到有公共顶点的三个面, 又与标有 S 的面相邻的面有 四个,由图可知,这四个平面分别标有 H、E、O、P 四个字母,故能 说明 S 的反面是 D,翻转图②使 P 调整到正前面,S 调整到正左面, 则 O 为正下面,所以 H 的反面是 O. 答案:O 9.有一个三棱锥和一个四棱锥,棱长都相等,问它们的一个侧 面重叠后,还有几个暴露面?________.

解析:如图(1)三棱锥 S—A′B′C′有四个暴露面,如图(2)四 棱锥 V—ABCD 有五个暴露面, 且它们的侧面都是完全相同的正三角 形.

如图(3)当三棱锥 S—A′B′C′的底面 A′B′C′与四棱锥 V—ABCD 的侧面 AVD 完全重合后,四点 S,A,B,V 共面,同样 四点 S,D,C,V 也共面,此时,新几何体共有 5 个面. 答案:5 10.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,两条侧棱长为 13 2 ,则第三条侧棱长的取值范围是________. 解析:如图 1,四面体 ABCD 中,AB=BC=CA=1,DA=DC 13 = 2 ,只有棱长 BD 是可以变动的.

设 M 为 AC 的中点,则 MD=

? 13?2 ?1?2 3 ? ? -? ? = 3,MB= . 2 ?2? ? 2 ?

3 但是要构成三棱锥, 如图 2 所示, 必须 BD1<BD<BD2, 1=MB= 2 , BD

3 3 BD2=3MB= 2 , 3 3 3 即 2 <BD< 2 .
? 3 3 3? 答案:? 2 , 2 ? ? ?

三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分, 写出证明过程或推演步骤.) 11. 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1, 是 AA1 的中点, P E 是 BB1 上一点,如图所示,求 PE+EC 的最小值.

解:把面 A1ABB1 和面 B1BCC1 展成平面图形,如图所示,PE+ 1 EC 的最小值即为线段 PC 的长.由于 AP=PA1=2,AC=2,

所以 PC=

?1? 17 22+?2?2= 2 , ? ?

17 所以 PE+EC 的最小值为 2 . 评析: “化折为直”是求空间几何体表面上折线段最小值问题的 基本方法,其途径是将各侧面展开.

12.以正四棱台(底面为正方形,各个侧面均为全等的等腰梯形) 为模型,验证棱台的平行于底面的截面的性质:设棱台上底面面积为 S1,下底面面积为 S2,平行于底面的截面距棱台上、下两底的距离的 比为 m?n ,则截面面积 S 满足下列关系: S= 时,则 S= S1+ S2 (中截面面积公式). 2 m S2+n S1 .当 m=n m+n

解:如图所示,把棱台补成棱锥.根据棱台上、下底面与平行于 底面的截面相似的性质,上底面、下底面、截面的相似比为 S1: S2: S.

设 PO2=h,O1O2=x, 则 S1 PO2 = = S PO h(m+n) = , m h(m+n)+mx h+x· m+n h

h+x (h+x)(m+n) S2 PO1 = PO = = . m h(m+n)+mx S h+x· m+n ∴ nh(m+n) m(h+x)(m+n) n S1 m S2 + = + = h(m+n)+mx h(m+n)+mx S S

(hn+hm+mx)(m+n) =m+n, h(m+n)+mx m S2+n S1 即 S= . m+n m S1+m S2 S1+ S2 当 m=n 时,则 S= = . 2 m+m

评析:由于棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体, 台体中一些几何量的计算不是很容易时就可以把台体还原为锥体, 利 用锥体的一些性质解决台体问题, 如利用平行于锥体底面的平面截锥 体, 则截面面积和底面面积的比等于被截得的小锥体的高和原锥体的 高的比的平方, 截得的小锥体的体积和原来锥体的体积的比等于被截 得的小锥体的高和原来锥体高的比的立方等. 13.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体 的各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点.求这三个球的半 径之比. 解:设正方体的棱长为 a,球的半径分别为 R1,R2,R3.球内切于 正方体时,球的直径和正方体的棱长相等,如图 1 所示,AB=2R1 a =a,所以 R1=2;

球与这个正方体的各条棱相切时, 球的直径与正方体的面对角线 2a 长相等,如图 2 所示,CD=2R2= 2a,所以 R2= 2 ; 当球过这个正方体的各个顶点时,也即正方体内接于球,此时正 方体的八个顶点均在球面上,则正方体的体对角线长等于球的直径, 如图 3 所示,EF=2R3= 3a,

3a 所以 R3= 2 . 故三个球的半径之比为 1: 2: 3.


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