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高中数学 第一章 统计案例 例析回归分析思想素材 北师大版选修1-2


例析回归分析思想
1、相关性检验 相关性检验是统计中的假设检验,根据公式计算 r 的值。 当|r|越接近于 1,相关程度越强;当|r|越接近于 0,相关程度越弱,具体步骤: (1)假设 x 与 y 不具有线性相关关系。 (2)根据小频率 0.05 查表得出 r 的一个临界值 r0.05 。 (3)根据公式计算出样本相关系数 r 的值。 (4)统计推断,若|r|> r0.05 ,具有线性相关关系;若|r|≤ r0.05 ,不具有线性相关关系。 2、线性回归分析 一般情况下, 在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下, 应先进行相关 性检验,在确认具有线性相关关系后,再求回归直线方程。回归分析的一般步骤为: (1) 从一组数据出发, 求出两个变量的相关系数 r , 确定二者之间是否具有线性相关关系。 (2)如果具有线性相关关系,求出回归方程 y ? b x ? a ,其中 a 是常数项,b 是回归系数。 (3)根据回归方程,由一个变量的值,预测或控制另一个变量的值。 下面通过例题加以分析: 例 1、在 10 年期间,一城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系有如下数据: 第几年 城市居民年收入 x(亿元) 某商品销售额 y (万元) 第几年 城市居民年收入 x(亿元) 某商品销售额 y (万元) (1)画出散点图; (2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近,求 y 与 x 之间的回归直线方程。 解: (1)散点图如图所示: 1 32.2 25.0 6 38.0 41.0 2 31.1 30.0 7 39.0 42.0 3 32.9 34.0 8 43.0 44.0 4 35.8 37.0 9 44.6 48.0 5 37.1 39.0 10 46.0 51.0
? ? ?
? ?

(2) i 1 32.2 25.0 805 2 31.1 30.0 933 3 32.9 34.0 1118.6 4 35.8 37.0 1324.6 5 37.1 39.0 1446.9 6 38.0 41.0 1558 7 39.0 42.0 1638 8 43.0 44.0 1892 9 44.6 48.0 2140.8 10 46.0 51.0 2346

xi
yi xi yi

x ? 37, y ? 39.1

?x
i ?1

10

2 i

=14663.67,
10

?y
i ?1

10

2 i

=15857,

?x
i ?1

10

i

y i =15202.9

r?

?x y
i ?1 i 10 i ?1

i 2

? 10x ? y
10

=
2

15202 .9 ? 10 ? 37.97 ? 39.1 (14663 .67 ? 10 ? 37.972 )(15857? 10 ? 39.12 )

(? xi2 ? 10x )(? yi2 ? 10 y )
i ?1

? 0.952 。
查得 r0.05 ? 0.632,因 r> r0.05 ,说明该城市居民的年收入与该商品的销售额之间存在着 显著的线性相关关系。

b?

?

?x y
i ?1 10 i

10

i

? 10x ? y ? 10x
2

?x
i ?1
?

?

2 i

15202 .9 ? 10 ? 37.97 ? 39.1 356.63 ? ? 1.447, 246.461 14663 .67 ? 10 ? 37.972

a ? y ? b x =39.1-1.447×37.97 ? -15.843,
因此所求的回归直线方程是 y ? b x ? a =1.447x-15.843。
? ? ?

?

?

评注: 在我们解答具体问题时要进行相关性检验, 通过检验确认两个变量具有线性相关关系 后,再求其线性回归方程。 例 2、测得 10 对父子身高(单位:英寸)如下: 父亲身高(x) 儿子身高(y) 60 63.6 62 65.2 64 66 65 65.5 66 66.9 67 67.1 68 67.4 70 68.3 72 70.1 74 70

(1)对变量 y 与 x 进行相关性检验; (2)如果 y 与 x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程; (3)如果父亲的身高为 73 英寸,估计儿子的身高。 解: (1)x =66.8,y =67.01,
10

? xi2 =44794,? yi2 =44941.93,x y ? 4476.27,x 2 =4462.24,
i ?1 i ?1

10

10

y 2 ≈4490.34,

?x
i ?1

i

y i =44842.4。

所以, r ?

?x y
i ?1 i 10 i ?1

10

i 2

? 10x ? y
10 2

(? xi2 ? 10x )(? yi2 ? 10 y )
i ?1



44842 .4 ? 10 ? 4476 .27 (44794? 44622 .4)(44941 .93 ? 44903 .4)

? 0.9801

又查表得 r0.05 =0.632。 因为 r> r0.05 ,所以 y 与 x 之间具有线性相关关系。 (2)设回归直线方程为 y ? b x ? a 。
? ? ?

由b ?

?

?x y
i ?1 10 i

10

i

? 10x ? y ? 10x
2

?x
i ?1

?

2 i

44842 .4 ? 44762 .7 79.7 ? ? 0.4645, 44794? 44622 .4 171.6

a ? y ? b x ≈67.01-0.4645×66.8≈35.98。
故所求的回归直线方程为 y=0.4645x+35.98。 (3)当 x=73 时地,y=0.4645×73+35.98≈69.9,所以当父亲身高为 73 英寸时,估计儿

?

?

?

子的身高约为 69.9 英寸。 评注:求回归直线方程,一般先要考查 y 与 x 是否具有线性相关关系,若具有这种关系,则 这的回归曲线为直线。


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