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天津市六校2016届高三上学期期末联考数学(理)


2015-2016 学年度第一学期末六校联考高三数学(理)试卷 命题人:杨村一中
第Ⅰ卷

四十七中

选择题 (共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 设全集 U ? ?1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7?,M ? ?2, 3, 4, 6?,N = ?1 , 4, 5?,则?1,5? 等于
A. M ? N B. M ? N C.

?C

U

M ?? N

D. M ? CU N
开始

? x ? 1 ? 0, 2.若 x, y 满足约束条件 ? ? x ? y ? 0, ? x ? y ? 4 ? 0, ?

S ? 2, k ? 1

则 z ? x ? 2 y 的最小值为
A. 3 A. 2 1 B. 2 C. 1 D. ? 1 B.
4

C. 7

D. 2

k ? 2016?



3. 执行如图的程序框图,那么输出 S 的值是

是 1 S? 1? S

输出 S

结束

k ? k ?1
(第 3 题图)

4. 如图,点 A, B, C 是圆 O 上的点,且

B O A C
(第 4 题图)

AB ? 2, BC ? 6, ?CAB ? 120? ,则 ?AOB 对应的劣弧长为
A. ?

B.

? 3

C.

2 ? 2

D.

? 2

5.在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 所对的边, cos A ?
S ? 3 ,则 a 为 A. 3 5 B.

4 , b ? 2 ,面积 5

13

C. 21

D. 17

6. 给出下列命题: ①若 a, b, m 都是正数,且
a?m a ? ,则 a ? b ; b?m b

②若 f ' ( x) 是 f ( x) 的导函数,若 ?x ? R, f ' ( x) ? 0 ,则 f (1) ? f (2) 一定成立;

③命题 " ?x ? R, x 2 ? 2x ? 1 ? 0" 的否定是真命题; ④“ | x |? 1 ,且 | y |? 1 ”是“ | x ? y |? 2 ”的充分不必要条件. 其中正确命题的序号是 A.①②③ 7. 已知双曲线 C : B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的交点为 a2 b2

A 、 B ,直线 AB 经过抛物线的焦点 F ,且线段 AB 的长等于双曲线的虚轴

长,则双曲线的离心率为
A.

2 ?1

B.

3

C.

2

D. 2

8. 已知定义在 R 上的函数,当 x ??0, 2? 时, f ? x ? ? 8 ?1 ? x ? 1 ? ,且对任意的实
n n ?1 * 数 x?? ,都有 f ? x ? ? ? 2 ? 2, 2 ? 2 ? ? ( n ? N ,且 n ? 2 )

1 2

?x ? f ? ? 1? ,若方程 ?2 ?

f ( x) ?| loga x | 有且仅有四个实数解,则实数 a 的取值范围为
A.

?

2, 10

?

? B. ? ? 2, 10 ?

C. ? 2,10?

D. ?2,10?

第Ⅱ卷 非选择题 (共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答 题卡中的相应横线上)
9.若复数
2 ? bi ? b ? R, i为虚数单位? 的实部和虚部互为相反数,则 b =_____. 1 ? 2i

10.若 (3x ?

1
3

x2

) n 展开式中各项系数和为 128 ,则展开式中

1 系数是 x3 9 ,则 k ? 2

.

11. 若函数 y ? x 2 与 y ? kx(k ? 0) 图象围成的阴影部分的面积 12.若某几何体的的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
1 1 正视图 1 侧视图

. .

1

1 俯视图

1

(第 12 题图) 0

13.圆 O 中,弦 AB ? 2, AC ? 7 , 则 AO ? BC 的值为 14.已知实数 a, b, c 满足 a 2 ? b 2 ? c 2 , c ? 0 ,则
b 的取值范围是 a ? 2c

. .

三、解答题(本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos2 ?x ? 2 3 sin ?x cos?x ? 1 ,且 f ( x) 的 周期为 2 .

? 1 1? (Ⅰ)当 x ? ?? , ? 时,求 f ( x) 的最值; ? 2 2?
(Ⅱ)若 f (

? 1 2? ) ? ,求 cos( ? ? ) 的值. 2? 4 3

16. (本小题满分 13 分)在等差数列 {an } 中, 已知 a2 ? 2, S5 ? 15 . S n 为其前 n 项和, 公比为 2 的等比数列 {bn } 满足 b2 ? b4 ? 60. (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

2a n ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

S

17. (本小题满分 13 分)如图,三棱锥 S ? ABC 中, SA ? 平面 ABC , AC ? AB ? SA ? 2 , AC ? AB , D , E 分别是 AC , BC 的中点, F 在 SE 上,且 SF ? 2 FE . (Ⅰ)求证: AF ? 平面 SBC ; (Ⅱ)在线段上 DE 上是否存在点 G ,使二面角
G ? AF ? E 的大小为 30 ?若存在,
?

A D

F

B

E

求出 DG 的长;若不存在,请说明理由.

C
(第 17 题图) 0

x2 y2 18. (本小题满分 13 分)椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的焦距为 4 ,且以双曲线 a b y2 ? x 2 ? 1 的实轴为短轴,斜率为 k 的直线 l 经过点 M (0,1) ,与椭圆 C 交于 4

不同两点 A 、 B .(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时,求 k 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分)已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? (?1) n (n ? N * ) .
1 (Ⅰ)若 bn ? a2 n ?1 ? ,求证:数列 {bn } 是等比数列并求其通项公式; 3 1 1 (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅲ)求证: + +?+ 1 ? 3 . a1 a 2 an

20. (本小题满分 14 分)已知函数 h( x) ? ?2ax ? ln x (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 h( x) 在 (2 , h(2)) 处的切线方程; (Ⅱ) 令 f ( x) ?
a 2 1 x ? h( x ) , 已知函数 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 , 且 x1 ? x 2 ? , 2 2 求实数 a 的取值范围;

( Ⅲ ) 在 ( Ⅱ ) 的 条 件 下 , 若 存 在 x0 ? [1 ?

2 ,2] , 使 不 等 式 2

f ( x0 ) ? ln(a ? 1) ? m(a 2 ? 1) ? (a ? 1) ? 2 ln 2 对任意 a (取值范围内的值)
恒成立,求实数 m 的取值范围.

2015-2016 学年度第一学期期末六校联考高三数学(理) 答题纸
二、填空题(每题 5 分,共 40 分)
9.__________________.10.__________________.11.__________________.

12.______________ _ . 13.__________________. 14.__________________.

三、解答题(共 80 分)
15.(本题 13 分)

16.(本题 13 分)

S

17.(本题 13 分)
A

F

B

D
E

C

18.(本题 13 分)

19.(本题 14 分)

20.(本题 14 分)

2015-2016 学年度第一学期期末六校联考高三数学(理)参考答案 一选择题(每小题 5 分): CABC BDBA 二填空题: (每小题 5 分) 9. ?

2 . 3

10. 21

11. 3 14. [?

12. 15 ? 2 三解答题:

13.

3 2

3 3 , ] 3 3

15. (1) f ( x) ? cos2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin( 2?x ?

?
6

) ??????1 分

? T ? 2, ? ? ?
? f ( x) ? 2 sin(?x ?
?? 1 1 ?x? 2 2

?
2

??????2 分

?
6

) ??????3 分

??

?
3

? ?x ?

?

2 3 ? ? ? ?? ? sin(?x ? ) ? 1 ????4 分 6 3 2 6

? ? 3 ? 2 sin(?x ?
当x ??

?
6

) ? 2 ??????5 分

1 1 时, f ( x) 有最小值 ? 3 ,当 x ? 时, f ( x) 有最大值 2. ????6 分 2 3 ? 1 ? ? ? ? 1 ) ? ,所以 2 sin(? ? ? ) ? 2 sin( ? ) ? (2)由 f ( 2? 4 2? 6 2 6 4 ? ? 1 所以 sin( ? ) ? ----------------------------------8 分 2 6 8
而 cos(

?
3

?

?

? ? ? ? ? 1 ?? ) ? cos? ? ( ? )? ? sin( ? ) ? --------------10 分 2 6 2 ? 6 2 8 ?2

所以 cos(

2? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? cos?2( ? )? ? 2 cos2 ( ? ) ? 1 ------------12 分即 3 3 2 ? 3 2 ?

cos(

2? ? ? 31 ? ? ) ? 2 sin 2 ( ? ) ? 1 ? ? ------------------------13 分 3 2 6 32

16.解: (Ⅰ)由 a2 ? 2, S 5 ? 15, 得 an ? n ------------3 分

[来

? 公比为 2 的等比数列 {bn } 满足 b2 ? b4 ? 60.
所以 bn ? 3 ? 2 n ------------6 分
[来

(Ⅱ) cn == 则 令

.------------7 分 . .

[来



.------------9 分

[来

两式作差得:

=

= ∴ 故 .

.------------11 分

[来

.------------13 分

[来

17. (1)由 AC ? AB ? SA ? 2 , AC ? AB ,

E 是 BC 的中点,得 AE ? 2 .
因为 SA ? 底面 ABC ,所以 SA ? AE . ------------2 分 在 Rt △SAE 中, SE ?

1 6 . 6 ,所以 EF ? SE ? 3 3

2 因此 AE ? EF ? SE ,又因为 ?AEF ? ?AES ,

所以 △EFA ∽△EAS ,
? 则 ?AFE ? ?SAE ? 90 ,即 AF ? SE .

------4 分

因为 SA ? 底面 ABC ,所以 SA ? BC ,又 BC ? AE , 所以 BC ? 底面 SAE ,则 BC ? AF . 又 SE ? BC ? E ,所以 AF ? 平面 SBC . --------------6 分 (向量法请酌情给分) (2)假设满足 条件的点 G 存在,并设 DG ? t ( (0 ? t ? 1) .
[

z
S

以 A 为坐标原点,分别以 AC , AB ,

AS 为 x , y , z 轴建立空间直线坐标 D ? xyz ,则

A(0, 0, 0) , S (0, 0, 2) , E (1,1, 0) , G(1, t , 0) .
A D
F

B E

y

G

C

由 SF ? 2 FE 得 F ( , , ) . F 所以 AE ? (1,1,0) , AF ? ( , . --------------7 分

2 2 2 3 3 3

2 2 2 , ) , AG ? (1, t ,0) 3 3 3

设平面 AFG 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则



? ?m ? AF ? 0 ? ? ?m ? AG ? 0





2 2 ?2 ? x1 ? y1 ? z1 ? 0 3 3 ?3 ? ? x1 ? ty1 ? 0





y ?1



m ? (?t,1, t ? 1) .--------------9 分
设平面 AFE 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则



? ?n ? AF ? 0 ? ? ?n ? AE ? 0





2 2 ?2 ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 0 3 3 ?3 ? ? x2 ? y 2 ? 0





y ?1





n ? (?1,1,0) .--------------11 分
? 由二面角 G ? AF ? E 的大小为 30 ,得 cos 30 ?

0

| m?n | | m || n |

?

3 , 2

2 化简得 2t ? 5t ? 2 ? 0 ,又 0 ? t ? 1 ,求得 t ?

1 . 2
--------------13 分

于是满足条件的点 G 存在,且 DG ?

1 . 2

18.解: (1)∵焦距为 4,∴ c=2??????????????????2 分

又以双曲线

y2 ? x 2 ? 1 的实轴为短轴 4

∴b=2?????????? 4 分
2 y2 ? 1 ???????????????5 分 ∴标准方程为 x ? 8 4

(2)设直线 l 方程:y=kx+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

? y ? kx ? 1 ? 由 ? 2 y2 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 6 ? 0 x ? ? 1 ?8 4 ?
∴x1+x2= ?4k 2 ,x1x2= ?6 2 1 ? 2k 1 ? 2k ????????7 分

由(1)知右焦点 F 坐标为(2,0) , ∵右焦点 F 在圆内部,∴ AF ? BF <0????????????9 分 ∴(x1 -2) (x2-2)+ y1y2<0 即 x1x2-2(x1+x2)+4+k2 x1x2+k(x1+x2)+1<0???????? 10 分 ∴ (1 ? k 2 ) ?
?6 ? (k ? 2) ? ?4k ? 5 ? 8k ? 1 <0????? 12 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

∴k< 1 ??????????????? 13 分 8 19.解: (1) a2 n ?1 ? 2a2 n ? (?1) 2 n ? 2[2a2 n ?1 ? ( ?1) 2 n ?1 ] ? 1 ? 4a2 n ?1 ? 1,

1 4 a2 n?1 ? 4a2 n?1 ? bn?1 3? 3 ? 4, ??????????3 分 ? 1 1 bn a2 n?1 ? a2 n?1 ? 3 3 1 2 2 2 b1 ? a1 ? ? . 所以 ?bn ? 是首项为 ,公比为 4 的等比数列, bn ? ? 4n?1. ………5 分 3 3 3 3
(2)由(Ⅰ)可知 a2 n?1 ? bn ?

1 2 n?1 1 1 2 n?1 ? ? 4 ? ? (2 ? 1) ,……………………7 分 3 3 3 3 2 1 a2 n ? 2a2 n?1 ? (?1) 2 n?1 ? (22 n?1 ? 1) ? 1 ? (22 n ? 1). ………………8 分 3 3

?1 n (2 ? 1);(n ? 2k ) ? 1 n ?3 n ?1 所以 an ? (2 ? (?1) ) ,或 an ? ? ………………9 分 3 ? 1 (2n ? 1).(n ? 2k ? 1) ? ?3
(3) ∴ a2 n ?

1 2n 1 2 1 ? 2 ? , a2 n?1 ? ? 22 n?1 ? . 3 3 3 3

1 a2 n ?1 ?

?

1 3 3 ? 2 n ?1 ? 2n a2 n 2 ?1 2 ?1

3 ? (22 n ? 22 n ?1 ) 22 n ?1 ? 22 n ? 22 n ? 22 n ?1 ? 1 3 ? (22 n ? 22 n ?1 ) 3 ? (22 n ? 22 n ?1 ) ? 2 n ?1 2 n ? 2 ? 2 ? 22 n ?1 ? 1 22 n ?1 ? 22 n
1 ? ? 1 ? 3 ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2 ? ?2
当 n=2k 时, ? …………………………………11 分

? 1 ?1 1? ?1 1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? a1 a2 ? ? a3 a4 ? ? a2 k ?1 a2 k ?
1 1 (1 ? 2 k ) 3 ? 2 2 ? 3 ? 2k ? 3 ? ? 3? 1 2 ? 1? 2

1 ?1 1 1 ? 3? ? 2 ? 3 ? ? ? 2k 2 ?2 2 2

当 n=2k-1 时, ?

? 1 ?1 1? ?1 1? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? a1 a2 ? ? a3 a4 ? ? a2 k ?3 a2 k ?2 ? a2 k ?1 ? ? <3 ?

<?

? 1 ?1 1? ?1 1? 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? a1 a2 ? ? a3 a4 ? ? a2 k ?1 a2 k

1 1 1 ∴ a + a +?+ a <3.…………14 分 1 2 n 20. (1) h ( x ) ? ?2a ?
'

1 x h ' ( x) ? ?2 ? 1 x

a ? 1 时 h( x) ? ?2 x ? ln x

h(2) ? ?4 ? ln 2

h ' (2) ? ?

3 2

h( x) 在 (2 , g (2)) 处的切线方程为 3x ? 2 y ? 2 ln 2 ? 14 ? 0 …3 分
2 (2) f ?( x ) ? ax ? 2a ? 1 ? ax ? 2ax ? 1 ( x ? 0) x x

f ?( x) ? 0 ? ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 ,
? ? ? ? 4a 2 ? 4a ? 0 ? 所以 ? x 1 ? x 2 ? 2 ,所以 1 ? a ? 2 . ? 1 1 ? x1 x 2 ? ? a 2 ?

…6 分

2 2 (3)由 ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 ,解得 x1 ? a ? a ? a , x2 ? a ? a ? a , a a

∵ 1 ? a ? 2 ,∴ x 2 ? 1 ? 1 ?

1 2 ? 1? . a 2

而 f ( x ) 在 ( x 2 ,??) 上单调递增,∴ f ( x ) 在 [1 ? 2 ,2] 上单调递增. …7 分 2 ∴在 [1 ? 2 ,2] 上, f ( x ) max ? f (2) ? ?2a ? ln 2 . 2 所以, “存在 x 0 ? [1 ? …8 分

2 , 2] , 使不等式 f ( x 0 ) ? ln(a ? 1) ? m(a 2 ? 1) ? (a ? 1) ? 2 ln 2 恒成立” 2

等价于“不等式 ? 2a ? ln 2 ? ln(a ? 1) ? m(a 2 ? 1) ? (a ? 1) ? 2 ln 2 恒成立”, 即,不等式 ln(a ? 1) ? ma 2 ? a ? m ? ln 2 ? 1 ? 0 对任意的 a ( 1 ? a ? 2 )恒成立. …9 分 令 g(a) ? ln(a ? 1) ? ma 2 ? a ? m ? ln 2 ? 1 ,则 g(1) ? 0 .

1 ? 2ma 2 ? 2ma ? a . g?(a ) ? ? 2ma ? 1 ? a ?1 a ?1

…10 分

2 ①当 m ? 0 时, g?(a ) ? ? 2ma ? 2ma ? a ? 0 , g ( a ) 在 (1,2) 上递减. a ?1

g(a ) ? g(1) ? 0 ,不合题意.

? 2ma (a ? 1 ? 1 ) 2m . ②当 m ? 0 时, g?(a ) ? a ?1
若 1 ? ? (1 ?
1 1 ) ,记 t ? min(2,?1 ? ) ,则 g ( a ) 在 (1, t ) 上递减. 2m 2m

在此区间上有 g(a ) ? g(1) ? 0 ,不合题意.
?m ? 0 ? 因此有 ? ,解得 m ? ? 1 , 1 4 ?1? ?1 ? 2m ?

所以,实数 m 的取值范围为 ( ??,? 1 ] . 4

…14 分

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