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1.3.2-2数学必修一函数的奇偶性


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第2课时 函数奇偶性的应用

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目标要求 1.能利用函数的奇偶性与单调性分析解决较简单的问题.

2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

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热点提示 学习时,应

充分利用特殊函数图象,借助图形的形象直观,整 体把握奇偶性的本质特征,从而准确理解其概念.在分析解决与奇偶 性有关问题时,应充分利用奇偶性这一本质特征(关于原点对称区间

上图象的对称这一性质)来解决问题.

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1.奇函数f(x)的图象关于原点对称,当f(x)的定义域为R时,必 有f(0)=0.

2.如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函
数. 3.若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则f(x)在 [-b,-a]上是增函数,且有最小值-M. 4.若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)上是

增函数.

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●想一想:如果f(x)是R上的奇函数,且在[3,6]上有最大值4, 最小值2,那么函数f(x)在[-6,-3]上的最大值和最小值各是多少? 提示:奇函数的图象关于原点对称,联想图象可知函数f(x)在 [-6,-3]上的最大值为-2,最小值为-4.

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1.下列函数,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上是减函数的是 ( ) 1 A.f(x)= 3 x C.f(x)=x 3 1 B.f(x)= 2 x D.f(x)=x2

解析:对A、C,函数是奇函数,对D,函数虽是偶函数,但是 在(0,+∞)上是增函数. 答案:B

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2.若函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,且f(1)<f(2),则必有( A.f(-1)<f(-2) C.f(-1)=f(1) B.f(-1)>f(-2) D.f(-2)=f(1) )

解析:∵f(1)<f(2),∴-f(1)>-f(2).

又已知f(x)是奇函数,∴f(-1)>f(-2).
答案:B

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3.奇函数 y=f(x)(x∈R)的图象必过点( A.(a,f(-a)) C.(-a,-f(a))

)

B.(-a,f(a)) 1 D.(a,f( )) a

解析:f(-a)=-f(a),
∴函数必过(-a,-f(a)). 答案:C

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4.设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(- 2),f(-π),f(3)的大小顺序是________. 解析:∵f(x)是R上的偶函数, ∴f(-2)=f(2),

f(-π)=f(π),
又f(x)在[0,+∞)上递增,而2<3<π, ∴f(π)>f(3)>f(2), 即f(-π)>f(3)>f(-2). 答案:f(-π)>f(3)>f(-2)

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5.已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x+2. (1)求f(x)的解析式; (2)画出f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间.
解:(1)设 x<0,则-x>0,所以 f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2, 又∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=x2+2x-2,

?x2+2x-2 ?x<0? ? ?x=0?. 又 f(0)=0,∴f(x)=?0 ?-x2+2x+2?x>0? ?

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(2)先画出y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应 y=f(x)(x<0)的图象,其图象如下图所示.

由图可知,其增区间为[-1,0)及(0,1],

减区间为(-∞,-1]及[1,+∞).

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类型一 【例1】

利用函数的奇偶性求解析式 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x3

+x+1,求f(x)的解析式. 思路分析:本题已知x>0时f(x)的解析式,只需再求出x=0及x<0

的表达式即可.已知f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),利用这一条件
将x>0的解析式进行转化,可求得x<0的解析式.

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解:设 x<0,则-x>0,用-x 替换 f(x)=x3+x+1 中的 x. 得 f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1, 又∵-x3-x+1=-f(x),即 f(x)=x3+x-1. ∴x<0 时,f(x)=x3+x-1.又 f(x)是定义域为 R 的奇函数,故 f(0) =0.

?x3+x+1, x>0, ? ∴f(x)=?0, x=0, ?x3+x-1, x<0. ?

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此类问题的一般解法是: (1)“求谁则设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区 间内. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).

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1 已知f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=x3 +2x-3,求f(x)在

x<0时的解析式. 解:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x), ∵x<0,∴-x>0,

∴f(-x)=(-x)3+2(-x)-3=-x3-2x-3.
∴f(x)=-x3-2x-3(x<0).

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类型二 【例2】 利用函数的奇偶性判断函数的单调性 已知f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数.求

证:f(x)在(-∞,0)上是减函数. 思路分析:本题即证明f(x1)>f(x2),其中x1<x2<0,利用f(x)是奇

函数及在(0,+∞)上是减函数来证明.

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证明:设x1<x2<0,则-x1>-x2>0. ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴f(-x1)<f(-x2). 又∵f(x)是奇函数,∴-f(x1)<-f(x2),即f(x1)>f(x2),

∴f(x)在(-∞,0)上是减函数.
温馨提示:在解决利用函数的奇偶性判断单调性的问题时,借 助于函数的奇偶性完成对f(x1)-f(x2)符号的判断是关键.

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由奇函数和偶函数的性质,可得单调性与奇偶性的联系:奇函 数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致,偶函数在关于原点对 称的两个区间上的单调性相反.

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2 已知函数 y=f(x)是奇函数,在区间(0,+∞)上是减函数且

1 f(x)<0.求证:F(x)= 在区间(-∞,0)上是增函数. f?x?

证明:设任意的 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2,则-x1>-x2>0, 而函数 f(x)为奇函数,则 f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),又 f(x)在 (0,+∞)上为减函数,从而 f(-x1)<f(-x2),即-f(x1)<-f(x2),于是 f(x1)-f(x2)>0. 由已知 f(x)在区间(0,+∞)上有 f(x)<0,得 f(-x1)<0,f(-x2)<0,所 1 1 以 f(x1)· 2)=[-f(-x1)]· f(x [-f(-x2)]>0.于是 F(x1)-F(x2)= - f?x1? f?x2? f?x2?-f?x1? f?x1?-f?x2? 1 = =- <0,所以函数 F(x)= 在区间(-∞,0) f?x1?· 2? f?x f?x1?· 2? f?x f?x? 上是增函数.

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类型三 【例3】 利用函数的奇偶性比较大小 已知函数f(x)在区间[-5,5]上是奇函数,在区间[0,5] ) B.f(0)>f(-1)

上是单调函数,且f(3)<f(1),则( A.f(-1)<f(-3)

C.f(-1)<f(1)

D.f(-3)>f(-5)

思路分析:要比较各函数值的大小,需判断函数在区间[-5,5] 上的单调性,根据题意,应首先判断函数在区间[0,5]上的单调性.

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解析:函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数,又3>1,且f(3)<f(1), 故此函数在区间[0,5]上是减函数. 由已知条件及奇函数性质,知函数f(x)在区间[-5,5]上是减函 数.

选项A中,-3<-1,故f(-3)>f(-1).
选项B中,0>-1,故f(0)<f(-1). 同理选项C中f(-1)>f(1),选项D中f(-3)<f(-5). 答案:A

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温馨提示:本题求解的切入点是:由f(3)<f(1)及已知条件推出函 数f(x)在[-5,5]上是减函数,这样可以应用函数的单调性比较大小.

奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对

应的函数值比较大小中作用很大.对于偶函数,如果两个自变量在关
于原点对称的两个不同的单调区间上,即自变量的正负不统一,应利 用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间,然后再根据单调性

判断.

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3 已知函数f(x)在区间[-5,5]上是偶函数,f(x)在区间[0,5]上是 )

单调函数,且f(-3)<f(-1),则下列不等式一定成立的是( A.f(-1)<f(3) C.f(-3)<f(5) B.f(2)<f(3) D.f(0)>f(1)

解析:函数f(x)在区间[-5,5]上是偶函数,因此f(x)=f(-x),于
是f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),又f(-3)<f(-1),所以f(3)<f(1).因为 f(x)在区间[0,5]上是单调函数,从而函数f(x)在[0,5]上是减函数.

观察四个选项,并注意到f(x)=f(-x),易得只有D正确.
答案:D

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类型四 【例 4】

函数奇偶性与单调性的综合应用 函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是

1 增函数,若 f(1)=0,求不等式 f(x- )<0 的解集. 2

思路分析:由f(x)的奇偶性及函数在(0,+∞)上的单调性,不难 得出f(x)在(-∞,0)上的单调性.再将不等式两边化为函数值的形 式,利用单调性便可脱去函数记号“f”,于是问题转化为解不等式.

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1 解:∵f(1)=0,∴不等式可转化为 f(x- )<f(1). 2 又 f(x)在(0,+∞)上递增,不难得出: 1 1 3 0<x- <1,得 <x< . 2 2 2 又 f(x)是奇函数,∴它在对称区间上的单调性相同,且 f(-1)=-f(1) 1 1 1 =0,于是又得 f(x- )<f(-1),即 x- <-1,得 x<- ,∴原不等式 2 2 2 1 3 1 的解集是{x| <x< 或 x<- }. 2 2 2

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解决有关函数的奇偶性、单调性以及求字母取值范围的综合问 题时,一般先利用奇偶性得出区间上的单调性,再利用单调性脱去函

数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题.需要注意的是:在转化
时,自变量必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时, 需转化为含符号“f”的形式.

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4 已知函数f(x)是定义域为实数集R的偶函数,且在区间[0,+

∞)上是增函数,若f(m)≥f(-2),求实数m的取值范围. 解:函数f(x)是实数集R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函 数,所以f(x)在(-∞,0)上是减函数.

当m<0时,由f(m)≥f(-2),知m≤-2;
当m≥0时,由f(m)≥f(-2),f(-2)=f(2), 可得f(m)≥f(2),知m≥2. 故所求的m的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).

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1.对于奇函数f(x)有 (1)函数图象关于原点对称; (2)在关于原点对称的区间上单调性相同;

如,若奇函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则函数f(x)在区间
[-b,-a]上也是增函数. (3)若在x=0处有定义,则有f(0)=0.

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2.对于偶函数f(x)有 (1)函数图象关于y轴对称; (2)在关于原点对称的区间上单调性相反; 如,若偶函数f(x)在区间[a,b]上为减函数,则函数f(x)在区间

[-b,-a]上应为增函数.
(3)f(-x)=f(x)=f(|x|). 3.对于同一定义域上的两个奇(偶)函数有 (1)两个奇函数的和或差仍为奇函数; (2)两个偶函数的和或差仍为偶函数;

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(3)两个奇函数的积是偶函数; (4)两个偶函数的积是偶函数; (5)一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数. 4.利用函数的单调性与奇偶性可以求解一些抽象不等式、比

较大小及单调性的证明等综合性较强的问题.


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