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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题七 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想


第1讲
一、选择题
2

函数与方程思想、数形结合思想
2

1.直线 3x-y+m=0 与圆 x +y -2x-2=0 相切,则实数 m 等于( A. 3或- 3 C.-3 3或 3
2 2

)

B.- 3或 3 3 D.-3 3或 3 3 | 3+ m| 3+ 1 = 3? | 3

解析 圆的方程(x-1) +y =3, 圆心(1, 0)到直线的距离等于半径? +m|=2 3? m= 3或 m=-3 3. 答案 C

2.已知函数 f(x)满足下面关系:①f(x+1)=f(x-1);②当 x∈[-1,1]时,f(x)=x ,则 方程 f(x)=lg x 解的个数是( A.5 B.7 ) C.9 D.10

2

解析 由题意可知,f(x)是以 2 为周期,值域为[0, 1]的函数.又 f(x)=lg x,则 x∈(0,10],画出两函 数图象, 则交点个数即为解的个数.由图象可知共 9 个 交点. 答案 C 3.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集 为( ) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)

A.(-1,1)

解析 f′(x)>2 转化为 f′(x)-2>0,构造函数 F(x)=f(x)-2x, 得 F(x)在 R 上是增函数.又 F(-1)=f(-1)-2×(-1)=4,f(x)>2x+4, 即 F(x)>4=F(-1),所以 x>-1. 答案 B 4.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)·(b-c)=0,则|c| 的最大值是( A. 2 ) B.2 2 C. 3 D.2

→ → → → → → 解析 如图,设OA=a,OB=b,OC=c,则CA=a-c,CB=b-c.由题意知CA

1

→ ⊥CB,∴O,A,C,B 四点共圆. → ∴当 OC 为圆的直径时,|c|最大,此时,|OC|= 2. 答案 A 二、填空题 5.(2014·江苏卷)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是 ________. 解析 因为 a8=a2q , a6=a2q , a4=a2q , 所以由 a8=a6+2a4 得 a2q =a2q +2a2q , 消去 a2q , 得到关于 q 的一元二次方程(q ) -q -2=0,解得 q =2,a6=a2q =1×2 =4. 答案 4 1 6.若不等式|x-2a|≥ x+a-1 对 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是________. 2 1 解析 作出 y=|x-2a|和 y= x+a-1 的简图, 依题意知应有 2a≤2 2 1 -2a,故 a≤ . 2 1? ? 答案 ?-∞, ? 2
2 2 2 2 2 4 2 6 4 2 6 4 2 2

?

?

7.经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直 线 l 的斜率 k 和倾斜角 α 的取值范围分别为________,________. 解析 如图所示,结合图形:为使 l 与线段 AB 总有公共点,则

kPA≤k≤kPB,而 kPB>0,kPA<0,
-2-(-1) 又 kPA= =-1, 1-0

kPB=

-1-1 =1,∴-1≤k≤1. 0-2

π 又当 0≤k≤1 时,0≤α ≤ ; 4 3π 当-1≤k<0 时, ≤α <π . 4 故倾斜角 α 的取值范围为

? π ? ?3π ,π ?. α ∈?0, ?∪? ? 4? ? 4 ? ? ? π ? ?3π ,π ? 答案 [-1,1] ?0, ?∪? ? 4 4 ? ? ? ?
8.满足条件 AB=2,AC= 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是________. 解析 可设 BC=x,则 AC= 2x,根据面积公式得 S△ABC=x 1-cos B,
2
2

由余弦定理计算得 cos B=

4-x , 4x

2

代入上式得 S△ABC=x 由?

1-?

?4-x ? = ? ? 4x ?

2

2

128-(x -12) . 16

2

2

? 2x+x>2, ?x+2> 2x,

得 2 2-2<x<2 2+2.

故当 x=2 3时,S△ABC 的最大值为 2 2. 答案 2 2 三、解答题 9.已知数列{an}是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5. (1)求{an}的通项 an; (2)求{an}前 n 项和 Sn 的最大值. 解 (1)设{an}的公差为 d,由已知条件,

? ?a1+d=1, ? 解出 a1=3,d=-2. ?a1+4d=-5, ?

所以 an=a1+(n-1)d=-2n+5. (2)Sn=na1+

n(n-1) d=-n2+4n=4-(n-2)2.
2

所以 n=2 时,Sn 取到最大值 4. 10.椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,短轴长为 2,离心率为 → → 交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A,B,且AP=3PB. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 m 的取值范围. 解 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 设 c>0, c =a -b , 由题意, 知 2b= 2, 2 ,直线 l 与 y 轴 2

y2 x2 a b

2

2

2

c 2 2 = ,所以 a=1,b=c= . a 2 2
故椭圆 C 的方程为 y + =1.即 y +2x =1. 1 2 1 (2)当直线 l 的斜率不存在时,由题意求得 m=± ; 2 当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0),l 与椭圆 C 的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),由
2

x2

2

2

3

? ?y=kx+m, 2 2 2 ? 2 得(k +2)x +2kmx+m -1=0, 2 ? ?2x +y =1,

Δ =(2km) -4(k +2)(m -1) =4(k -2m +2)>0,(*) -2km m -1 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k +2 k +2 → → 因为AP=3 PB,所以-x1=3x2. 所以?
? ?x1+x2=-2x2, ?x1x2=-3x . ?
2 2 2 2 2

2

2

2

所以 3(x1+x2) +4x1x2=0.
2

2

?-2km? +4·m -1=0. 所以 3·? 2 ? k2+2 ? k +2 ?
整理得 4k m +2m -k -2=0, 即 k (4m -1)+(2m -2)=0. 1 1 2-2m 2 2 当 m = 时,上式不成立;当 m ≠ 时,k = 2 , 4 4 4m -1
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

由(*)式,得 k >2m -2, 2-2m 又 k≠0,所以 k = 2 >0. 4m -1
2 2

2

2

1 1 解得-1<m<- 或 <m<1. 2 2 1? ?1 ? ? 综上,所求 m 的取值范围为?-1,- ?∪? ,1?. 2? ?2 ? ? 11.设函数 f(x)=ax -3ax,g(x)=bx -ln x(a,b∈R),已知它们在 x=1 处的切线互相平 行. (1)求 b 的值; (2)若函数 F(x)=? 围. 解 函数 g(x)=bx -ln x 的定义域为(0,+∞),
2 2 3 2

? ?f(x),x≤0,

且方程 F(x)=a 有且仅有四个解,求实数 a 的取值范 ?g(x),x>0, ?

2

(1)f′(x)=3ax -3a? f′(1)=0,

g′(x)=2bx- ? g′(1)=2b-1, x
1 依题意得 2b-1=0,所以 b= . 2 1 (2)x∈(0,1)时,g′(x)=x- <0,

1

x

4

即 g(x)在(0,1)上单调递减,

x∈(1,+∞)时,g′(x)=x- >0, x
即 g(x)在(1,+∞)上单调递增, 1 所以当 x=1 时,g(x)取得极小值 g(1)= ; 2 当 a=0 时,方程 F(x)=a 不可能有四个解; 当 a<0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,即 f(x)在(-∞,-1)上单调递减,
2

1

x∈(-1,0)时,f′(x)>0,即 f(x)在(-1,0)上单调递增,
所以当 x=-1 时,f(x)取得极小值 f(-1)=2a, 又 f(0)=0,所以 F(x)的图象如图(1)所示, 从图象可以看出 F(x)=a 不可能有四个解. 当 a>0,x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0, 即 f(x)在(-∞,-1)上单调递增,
2

x∈(-1,0)时,f′(x)<0,
即 f(x)在(-1,0)上单调递减, 所以当 x=-1 时,f(x)取得极大值 f(-1)=2a. 又 f(0)=0,所以 F(x)的图象如图(2)所求, 1 2 2 从图(2)看出,若方程 F(x)=a 有四个解,则 <a <2a, 2 所以,实数 a 的取值范围是?

? 2 ? ,2?. ?2 ?

5


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