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1.4.3单位圆与诱导公式


1.4.3 单位圆与诱导公式
一.教学目标: (一)知识与技能:通过学生的探究,明确三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式 的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想。 (二)过程与方法:通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征,使学生体验和理解从特殊 到一般的数学归纳推理思维方式, 并通过基础训练题组和能力训练题组的练习, 提高学生分 析问题和解决问题的实践能力。 (三) 情感态度与价值观: 通过诱导公式的推导, 培养学生主动探索、 勇于发现的科学精神, 培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯,渗透从特殊到一般、把未知转 化为已知的辩证唯物主义思想,提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、 对称美以及数学式子变化的无穷魅力。 二.教学难点:相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。 三.教学重点:诱导公式的推导及灵活运用,如三角函数式的求值、化简和证明等。 四.学情分析: 五. 教学方法:讲授法与探究法。 六. 教学过程 第 1 课时 (一) 、导入新课 思路 1.(复习引入)我们前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数,周期函数,最 小正周期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢?从周期函数的概念中 我们知道正弦、,余弦函数值每隔 2π 就会重复出现,那么在单位圆中是怎样体现的呢?有什 么内在的联系呢?由此引入新课. 思路 2.在单位圆中,216°角的终边 OP 在第三象限内,将 OP 反向延长,与单位圆交 于 P′点, 则在 0°—90°之间找到一个角 α=216°-180°=36°.由于△OPM≌△OP′M′, 所以 有 MP=M′P′.又因为 sin216°=MP,sin36°=M′P′,而 MP 与 M′P′的长度相同、方向相反,所 以有 sin216°=-sin36°.这样便把求 sin216°的值的问题,转化为可查表的 36°角的三角函 数求值问题.你能把以上几何变换的过程,用三角关系式表示出来吗?由此引入新课. 或者从猜想中引入:比如学生根据上节所求,会得到以下结果: sin sin
5? ? 1 5? ? 1 =sin = ,cos =-cos =- ; 2 2 6 6 6 6
3 3 2? ? 2? ? =sin = ,cos =-cos =,等等. 2 2 3 3 3 3 5? ? ? 5? 教师由此发问:观察角 与 角的关系会得到什么结论?把角 、 放到单位圆中又 6 6 6 6

有什么发现呢?让学生在强烈的探求欲望中展开新课,这也是一种很不错的选择. (二) 、推进新课 新知探究

提出问题 ①让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的? ②观察单位圆,角 α 与 π-α 的正弦、余弦函数值具有怎样的关系? ③观察单位圆,角 α 与-α,2π-α 的正弦、余弦函数值具有怎样的关系? ④观察单位圆,角 α 与 π+α 的正弦、余弦函数值具有怎样的关系? 活动:教师在唤起学生对任意角的正弦、余弦函数定义的回忆后,指导学生画出单位圆,并 在单位圆中画出角

? 2? 、 ,思考分析它们的关系. 3 3

图1 教师与学生一起观察图 1, ∠MOP=

? 2? ,∠MOP′= ,在直角坐标系的单位圆中, 点 P 与点 P′ 3 3
3 3 1 1 , )、(- , ),即它们的纵坐标相等,横坐标 2 2 2 2

关于 y 轴对称,它们的坐标分别为( 的绝对值相等且符号相反.

3 3 2? ? 2? ? = =sin ,cos ==-cos . 2 2 3 3 3 3 这很自然地引起学生的猜想: 对任意的角 α 与 π-α 是否也具有这种关系呢?教师引导学生做 进一步探究.教师出示课件,将 α 的终边绕单位圆一周,让学生在动态中思考 α 与 π-α 的关 系.让学生观察图 2,或由学生在单位圆中,作∠MOP=α,∠MOP′=π-α.不难看出,点 P(a,b) 和点 P′(-a,b)关于 y 轴对称.因此,它们的纵坐标相等,横坐标的绝对值相等且符号相反,即 sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα.

sin

图2 有了上述探究过程的经历,学生会想到用类比的思想方法来进一步探究角 α 与-α,2π-α 的正弦、 余弦函数值的关系.教师演示课件, 让学生在动态中感知 α 与-α 的位置关系(如图 4). 在引导学生观察图 3 时,可让学生自己独立探究、归纳发现公式,体验在自己的发现中成功 的愉悦感,以提高数学学习的自信心和进一步探究的欲望 . 事实上,在单位圆中,作 ∠MOP=α,∠MOP′=-α(或 2π-α),不难看出,点 P(a,b)和 P′(a,-b)关于 x 轴对称.因此,它们的 横坐标相等,纵坐标的绝对值相等且符号相反,即 sin(-α)=-sinα,sin(2π-α)=-sinα, cos(-α)=cosα,cos(2π-α)=cosα.

图3

图4 同样学生可自主探究角 α 与 π+α 的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件,动态的表 示出 α 与 π+α 的位置关系(如图 6).然后引导学生观察图 5, 在单位圆中, 作∠MOP=α,∠MOP′ =π+α,不难看出,点 P(a,b)和 P′(-a,-b)关于原点对称.因此,它们的横坐标绝对值相等且符 号相反,纵坐标绝对值相等且符号相反,即 sin(π+α)=-sinα, cos(π+α)=-cosα.

图5

图6 通过以上探究,我们得到了三组公式,这给我们的三角函数求值、化简、证明带来了极

大便利.教师与学生一起观察分析公式的结构特征,找出记忆的诀窍,强调无论 α 是锐角还 是任意角,公式均成立;可以这样概括说明记忆:-α,π±α,2π-α 的三角函数值等于 α 的同名 函数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号.或者进一步简记为:“函数名不变, 符号看象限”,点拨、引导学生注意公式中 α 的任意性. 讨论结果:略. 应用示例 例 1 求下列各角的三角函数值: (1)sin(7? 2? 31? ); (2)cos ; (3)cos(). 4 3 6

活动:本例是直接运用公式的题目,目的是让学生熟悉公式,初步体会公式的简单应用.通过 练习,加深对公式的理解,逐步达到正确熟练的公式应用.解答时可让学生观察题目中角的范 围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题,可让学生独立解答,对个别有困难的学生教 师对其适时的点拨引导. 解:(1)sin((2)cos

2 7? 7? ? ? ? )=-sin =-sin(2π- )=-(-sin )=sin = 4 4 4 4 4 2

2? ? ? 1 =cos(π- )=-cos =3 2 3 3

3 31? 31? ? ? ? )=cos =cos(4π+π+ )=cos(π+ )=-cos =. 2 6 6 6 6 6 点评:利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数, 一般可按下列步骤进行: 任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0-2π 三角函数→锐角三角函数,这种变化体 现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.教师应提醒学生注意:这仅仅是一种转化 模式或求解思路,不要记诵这个步骤.在实际解题中只要灵活地应用公式求解,明确先用哪 个公式、后用哪个公式是没有什么固定要求的,否则就违背了学习的本质要义,解题就成了 死解题、解死题,可谓题目解了千千万万,一到考试不得分,其学习当然也就成了死学习, 越学越不得要领,结果把自己本来的灵活学成了呆板.如本例(1)完全可以这样来解:

(3)cos(-

sin(-

2 7? ? ? )=sin(-2π+ )=sin = . 4 4 4 2

变式训练 利用公式求下列三角函数值: (1)cos(-510°15′); (2)sin(17? ). 3

解:(1)cos(-510°15′)= cos510°15′=cos(360°+150°15′) =cos150°15′=cos(180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.868 2. (2)sin(3 17? ? ? )=sin( -3×2π)=sin = 2 3 3 3

例 2 化简

cos( 180 ? ? ? ) ? sin(? ? 360 ? ) sin(?? ? 180 ? ) ? cos(?180 ? ? ? )

活动:教师引导学生认真仔细观察题目,题中四个三角函数是对诱导公式进一步的复习和巩 固,重点训练学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度.可适时地提醒学生注意,利用诱导 公式时尽可能将角统一,从而达到化简的目的.本例可由学生自己完成,教师也可在学生解

完此题后让学生变化题目,进行一题多变.如可在 180°及 360°的前面添加偶数 n 或奇数 n 或整数(此时需要分类讨论)n;亦或将角 α 前面的“+、-”进行变化,这样可达到一题多用的目 的,提高学生的兴趣,长此以往学生就能达到解一题会一片,就能融会贯通而灵活多变,达 到我们常说的“越学越省劲,越学越聪明”的境界. 解:sin(-α-180°)=sin[-(180°+α)]=sin(180°+α)=-(-sinα)=sinα, cos(-180°-α)=cos[-(180°+α)]=cos(180°+α)=-cosα, cos(180°+α)=-cosα, sin(360°+α)=sinα. 所以,原式=

? cos? ? sin ? =1. sin ? ? (? cos? )

点评:运用诱导公式时可首先将负角化为正角,这有利于解题的简洁. 变式训练 化简 cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°. 解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480° =cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°) =cos(-45°)=cos45°=
1 -sin45°+cos120° 2

2 1 +cos(180°-60°) 2 2

2 1 2 - -cos60°=-1. 2 2 2 3.已知函数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中 a,b,α,β 都是非零实数, 又知 f(2 003)=-1, 求 f(2 004) 的值. 活动:解决本题的关键是寻求 f(2 003)=-1 与 f(2 004)之间的联系, 这个联系就是我们解答问题 的钥匙.显然通过诱导公式, 我们可以将 f(x)的表达式化为只有 α,β 的代数式.然后逐步转化利 用条件解之,教师可让学生独立探究,适时地给以点拨. 解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β) =asin(2 002π+π+α)+bcos(2 002π+π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-asinα-bcosβ =-(asinα+bcosβ),

∵f(2 003)=-1,∴asinα+bcosβ=1. ∴f(2 004)=asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β) =asinα+bcosβ=1. 点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程, 在这个过程中一定要抓住关键和要害, 注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键就是求得式子 asinα+bcosβ=1,它是联系已 知和未知的纽带. 知能训练 课本练习 1、2. (三) 、课堂小结 由学生回顾本节课的学习过程,归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法 .本 节的重点是公式的推导过程及应用.在突出重点的同时,要抓住公式结构特点,善于记忆公 式.如本节公式:-α,π±α,2π-α 的三角函数值等于它的同名函数值,前面加上一个把 α 看成锐

角时原函数值的符号,也可简单记忆为:“函数名不变,符号看象限”;切实掌握利用单位圆 探究问题的数形结合思想,掌握由未知向已知转化的化归思想,并且在合作探究中学会交流, 提高我们的合作意识和探究能力. (四) 、作业 课本习题 1—4 4、5、6. 第 2 课时 (一) 、导入新课 思路 1.首先让学生回忆上一节课探究诱导公式的过程与方法,是怎样借助单位圆导出 的?利用的是单位圆的哪些几何性质?并让学生默写上节课所学公式.在此基础上,教师提出

? ? +α 或 -α 的关系?由此展开新内容的探究,揭示课题. 2 2 ? 2? ? 5? 思路 2.通过计算猜想引入,让学生计算 , , , 的正弦、余弦值,并引导学 3 3 6 6 生观察结果.
可否借助单位圆找出 α 与
3 3 ? 5? 5? ? ? ? 1 2? 1 2? ? ? = ,cos =,这里 = + ,sin = ,cos = + . ? ? ,这里 2 2 3 3 6 6 2 3 6 2 3 2 2 6 3 3 5? 1 ? 1 5? ? ? 2? ? 2? ? ? sin = ,cos = ,这里 = + ,sin = ,cos = ,这里 = + . 2 2 6 3 6 2 3 2 6 2 3 3 2 6 ? ? 猜想: sin( +α)=cosα,cos( +α)=-sinα.由此在单位圆中进一步去探寻验证, 在学生急欲探究 2 2 的欲望中展开新课,这样引入很符合新课程理念,也是一个不错的选择. (二) 、推进新课 新知探究 提出问题 ? ? 以下按两种思路来探究 α 与 +α 或 -α 的关系. 2 2 ? 思路 1.先得出 α 与 -α 的关系. 2

sin

3 3 1 ? ? ? ? 1 、cos 、sin 、cos 的值( 、 、 , ),你有什么猜想结论? 2 2 2 2 3 6 3 6 ? ②怎样验证探究 α 与 -α 的关系呢?在单位圆中,让学生画出终边与角 α 的终边关于直线 2 y=x 对称的角,观察它们有什么样的位置关系? ? ? ③如何由 α 与 -α 的关系,得到 α 与 +α 的关系? 2 2

①先计算 sin

图7 活动:学生很容易得到如下猜想:cos(

? ? -α)=sinα,sin( -α)=cosα.这时教师适时点拨,以上猜 2 2

测是正确的,但还要小心求证.没有大胆猜测,就没有事物的发展和进步(鼓励猜想),没有经 过严格证明的结论总还是猜想,不一定正确.为了得到进一步的证明,教师引导学生画出单位

? 、-α,探究终边与角 α 的终边关于直线 y=x 对称的角的数量关系.先让学生充分 2 探究,启发学生借助单位圆的几何性质,点拨学生从终边关于直线 y=x 对称的两个角之间 ? 的数量关系, 关于直线 y=x 对称的两个点的坐标之间的关系进行探究(如图 7).设任意角 -α 2 ? ? 的终边与单位圆的交点 P1(x,y), 由于角 α 的终边与角 -α 的终边关于直线 y=x 对称, 角 -α 2 2 的终边与单位圆的交点 P2 与点 P1 关于直线 y=x 对称,因此点 P2 的坐标是(y,x),于是,我们 有
圆及角 α、

? ? -α)=y, sin( -α)=x. 2 2 从而得到我们的猜想,也就是如下公式: ? ? sin( -α)=cosα,cos( -α)=sinα. 2 2 ? ? ? 教师进一步引导学生,因为 +α 可以转化为 π-( -α).所以求 +α 角的正弦、余弦问题就 2 2 2 转化利用上节课所学公式进行变形的问题,由此易得 ? ? sin( +α)=cosα,cos( +α)=-sinα. 2 2 讨论结果:①—③略. ? 思路 2.先得出 α 与 +α 的关系. 2
sinα=y, cosα=x, cos(

图8

? +α 的终边与 2 单位圆交于点 P1.由平面几何知识,可知 Rt△OPM≌Rt△P1OM1, 不难证明, 点 P1 的坐标为(-b, ? ? a),且 a=cosα, b=sinα.所以点 P 的横坐标 cosα 与点 P1 的纵坐标 sin( +α)相等, 即 sin( +α) 2 2 ? =cosα.点 P 的纵坐标 sinα 与点 P1 的横坐标 cos( +α)的绝对值相等且符号相反,由此得到 2 公式 ? ? sin( +α)=cosα,cos( +α)=-sinα. 2 2 ? ? ? 教师进一步引导学生,因为 -α=π-( +α),所以求 -α 角的正弦、余弦问题就转化为 2 2 2 利用上节课所学公式进行变形的问题,由此易得
教师引导学生观察图 8, 设任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(a,b), 则角

? ? -α)=cosα,cos( -α)=sinα. 2 2 至此,我们得到了任意角 α 的三角函数公式 sin(k·2π+α)=sinα,cos(k·2π+α)=cosα. sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα. sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα. sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα. ? ? sin( +α)=cosα,cos( +α)=-sinα 2 2 ? ? sin( -α)=cosα,cos( -α)=sinα. 2 2 以上公式分别叫作正弦函数、 余弦函数的诱导公式.2kπ+α(k∈Z), -α, π±α, 2π-α 的正(余) ? 弦函数值, 等于 α 的相应的正(余)弦函数值, 前面加上把 α 看成锐角时原函数值的符号; ±α 2 的正(余)弦函数值,等于 α 的相应的余(正)弦函数值,前面加上把 α 看成锐角时这些角所在 象限的正(余)弦函数值的符号. ? 教师与学生共同进一步归纳总结:以上诱导公式又可以概括为: k ? ±α(k∈Z)的三角 2 函数值,当 k 为偶数时,得角 α 的同名函数值;当 k 为奇数时,得 α 相应的余弦函数值.然 后前面加上把 α 看成锐角时原函数值的符号,记忆口诀为:“奇变偶不变,符号看象限”.这 里特别要弄清“把 α 看成锐角”的含义,不管 α 是字母还是数值,不管其多大,仅是“看成” 而已.以上公式就这样记忆非常方便,这个规律可以扩展,用在选择题、填空题上也很方便. 应用示例 1.求下列函数值: 5? ? 55? 5? ? 11? 5? (1)sin( + );(2)sin();(3)sin cos(- )+sin cos . 6 2 4 6 4 6 4 活动:本例是让学生熟悉刚刚学过的诱导公式,让学生自己探究.由于考虑问题的视角不同会 有不同的切入方式,这对学生灵活理解公式很有好处.
sin(
2 5? ? ? ? ? + )=sin( + )=cos = . 2 2 4 2 4 4 55? 55? 7? 7? (2)sin()=-sin =-sin(8π+ )=-sin 6 6 6 6

解:(1)sin(

? ? 1 )=sin = 6 6 2 5? ? 11? 5? ? ? ? ? (3)sin cos(- )+sin cos =sin(π ? )cos +sin(2π- )cos(π+ ) 6 4 6 4 6 4 6 4 ? ? ? ? =sin cos +(-sin )(-cos ) 6 4 6 4
=-sin(π+
2 1 2 2 1 × + × = . 2 2 2 2 2 点评:解完本例后教师引导学生反思总结,对于学生不同的转化方式,教师都应给予鼓励.比

=

如(2)第一步也可这样转化:sin(-

55? 5? )=sin(-10π+ ).以此活化学生的思路. 6 6

3? sin(2? ? ? ) ? cos(3? ? ? ) ? cos( ? ? ) 2 例 2 化简: sin(?? ? ? ) ? sin(3? ? ? ) ? cos(?? ? ? )
活动:本例属于化简求值一类,这种题目要求学生正确灵活地运用诱导公式,教师提醒学生 特别注意各式符号的确定.教学时要让学生充分探究,合作交流,通过不同的切入方式获得 问题的解决,要充分利用本例的训练价值,达到活跃学生思维的目的. 解:原式=

(? sin) ? cos( ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?? sin a(? ? ? )? ? sin(? ? ? ) ? cos?? (? ? ? )?

? ? ? (? sin ? ) ? (? cos? ) ? ?? cos( ? ? )? 2 ? ? = (? sin ? )1 ? sin ? ? (? cos? )
=

sin ? =1. sin ?

点评:化简求值题需充分利用公式变形,而公式变形中可以充分体现数学公式的转化和简化 功能,充分体现数学思想和方法,因而备受高考命题人的青睐,成为出题频率较多的题型. 解完本例后,教师要引导学生对其探究过程进行反思与总结. 变式训练 1.求 sin(-870°)的值. 解 法 一:sin(-870°)=-sin870°=-sin(2· 360°+150°)=-sin150°=-sin(180°-30°)=-sin30°=解法二:sin(-870°)=sin(-10· 90°+30°)=-sin30°=1 2 1 . 2

点评:以上两种解法中,解法一是按我们常规思路来解的,解法二是按本节介绍的记忆口诀 来解的.这样做的目的不是提倡学生寻求奇妙解法,而是想说明对诱导公式的深刻理解及灵 活运用,不要死板记忆公式的形式,孤立地记忆这么多诱导公式,要记忆公式的特征、规律 等共同的本质的东西.如本例解法二,这里 k=-10 是偶数,所以得到同名函数,得到右边的 符号是正弦在第三象限(-870°)的符号,为负值.当然,这个方法要求学生的口算能力很好, 能很快算出角在第几象限;当然,根据规律,也可以这样: sin(-870°)=sin(-9· 90°-60°)=-cos(-60°)=-cos60°=2.已知 cos(
1 2

? 2? -α)=m(|m|≤1),求 sin( -α)的值. 3 6 2? ? ? 2? ? ? 解:∵α-( -α)= ,∴ -α= +( -α). 3 3 6 2 2 6 2? ? ? ? ∴sin( -α)=sin[ +( -α)]=cos( -α)=m. 3 6 6 6 点评:(1)当两个角的和或差是的整数倍时,它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来;(2) 化简已知与所求,然后探求联系,这是解决问题的重要思想方法. 3.(1)已知 f(cosx)=cos17x,,求证:f(sinx)=sin17x; (2)对于怎样的整数 n,才能由 f(sinx)=sinnx 推出 f(cosx)=cosnx?

(1)证明:f(sinx)=f[cos( 即 f(sinx)=sin17x. (2)解:f(cosx)=f[sin(

? ? ? ? -x)]=cos[17( -x)]=cos(8π+ -17x)=cos( -17x)=sin17x, 2 2 2 2

n? ? ? -x)]=sin[n( -x)]=sin( -nx) 2 2 2

?? sin nx, n ? 4k , k ? Z , ?cos nx, n ? 4k ? 1, k ? Z , ? =? ?sin nx, n ? 4k ? 2, k ? Z , ? ?? cos nx, n ? 4k ? 3, k ? Z ).
故所求的整数 n=4k+1(k∈Z). 点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.对诱导公式的应用需要较多的思维空间, 要善于观察题目特点,灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似 ,差别在于一个含余弦 ,

? ? -x)或 cosx=sin( -x).要善于观察条件 2 2 和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数 名称之间的转移. 知能训练 课本练习 2 1—4. (三) 、课堂小结 先由学生回顾本节进程,然后教师与学生一起归纳总结:本节与上节一样,都是利用单 位圆推导诱导公式,并应用这些公式进行三角函数的求值、化简及证明的.这里诱导公式比 较多,不可死记硬背,要通过练习来记忆它,再结合公式特征,利用歌诀记忆法记忆诱导公 式:“奇变偶不变,符号看象限”,角的运算总原则是:“负化正,大化小、化到锐角再查表”. (四) 、作业 1.课本习题 1—4 A 组 7、8.
一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助 sinx=cos( 2.B 组 1、2、3. 七、 板书设计:

八、 关键词: 九、教学反思:


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