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2015年成人高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)及答案


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2015 年成人高等学校招生全国统一考试


号的信息点 上。 .....

学(文史财经类)

一、选择题:本大题共 17 小题,每小题 5 分,共 85 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的,将所选项前的字母填涂在答题卡相应题 ...... (1)设集合 M ? {2,5,8} , N ? {6,8} ,则 M ? N ? ( (A) {8} (A) ?3,??? ? (3)若 ? ? ? ? 2 (A)?
15 4

) (D) {2,5,6}

(B) {6}

(C) {2,5,6,8} )

(2)函数 y ? x 2 ? 9 的值域为 (

(B) ?0,??? (C) ?9,??? 1 , sin ? ? ,则 cos ? ? ( ) 4 (B)?
15 16

(D)R

(C)

15 16

(D) ) (D) 4

15 4

(4)已知平面向量 a ? (?2,1) 与 b ? (? ,2) 垂直,则 ? ? ( (A) ? 4 (B) ? 1 (C) 1 )

(5)下列函数在各自定义域中为增函数的是 ( (A) y ? 1 ? x (B) y ? 1 ? x2

(C) y ? 1 ? 2? x

(D) y ? 1 ? 2x ( )

(6)设甲:函数 y ? kx ? b 的图像过点 (1,1) ,乙: k ? b ? 1 ,则 (A)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件 (B)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件 (C)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 (D)甲是乙的充分必要条件 (7)设函数 y ? (A) 4
k 的图像经过点 (2,?2) ,则 k ? x



) (D) ? 4 ) (D) 27

(B) 1

(C) ? 1

(8)若等比数列 ?an ?的公比为 3 , a4 ? 9 ,则 a1 ? ( (A)
1 9

(B) (

1 3

(C) 3

(9) log5 10 ? log5 2 ?



(A) 0

(B) 1

(C) 5 ) (C) ?
1 2

(D) 8

? ?? ) ? ( (10)设 tan ? ? 2 ,则 tan(
(A) 2 (B)
1 2

(D) ? 2

(11)已知点 A(1,1) , B(2,1) , C (?2,3) ,则过点 A 及线段 BC 中点的直线方程为 ( ) (A)x ? y ? 2 ? 0 (B)x ? y ? 2 ? 0 (C)x ? y ? 0 (D)x ? y ? 2 ? 0

(12)设二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像过点 (?1,2) 和 (3,2) ,则其对称轴的方程 为( ) (B) x ? 2 (C) x ? 1 (D) x ? ?1 )

(A) x ? 3

(13)以点 (0,1) 为圆心且与直线 3x ? y ? 3 ? 0 相切的圆的方程为 ( (A) x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 (C) x 2 ? ( y ?1)2 ? 16 (B) x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 (D) ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ) (D) 6

(14)设 f ( x) 为偶函数,若 f (?2) ? 3 ,则 f (2) ? ( (A) ? 3 (B) 0 ) (B) 5
? 1 2

(C) 3

(15)下列不等式成立的是 (
1 1 (A) ( )5 ? ( ) 3 2 2

?3

?

1 2

(C) log1 5 ? log1 3
2 2

(D) log2 5 ? log2 3

(16)某学校为新生开设了 4 门选修课程,规定每位新生至少选其中 3 门,则一 位新生不同的选课方案共有 (A) 4 种 (B) 5 种 ( ) (C) 6 种 (D) 7 种

(17)甲、乙两人独立地破译一个密码,设两人能破译的概率分别为 p1 , p2 , 则恰有一人能破译的概率为 (A) p1 p2 (C) (1 ? p1 ) p2 ? (1 ? p2 ) p1 ( ) (B) (1 ? p1 ) p2 (D) 1 ? (1 ? p1 )(1 ? p2 )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案写在答题卡相应 ..... 题号后 。 ... (18)不等式 x ?1 ? 1 的解集为 (19)抛物线 y 2 ? 2 px 的准线过双曲线 .
x2 ? y 2 ? 1 的左焦点,则 p ? 3

. .

(20)曲线 y ? x 2 ? 3x ? 4 在点 (?1,2) 处的切线方程为

(21)从某公司生产的安全带中随机抽取 10 条进行断力测试,测试结果(单位:
kg )如下:

3722

3872

4004

4012

3972

3778

4022

4006

3986

4026

则该样本的样本方差为

kg 2 (精确到 0.1)

三、解答题:本大题共四小题,共 49 分。解答题应写出推理、演算步骤。并将 其写在答 。 . 题卡相应题号后 ....... (22) (12 分)已知 ?ABC 中, A ? 30? , AC ? BC ? 1 , 求(Ⅰ) AB ; (Ⅱ) ?ABC 的面积. (23) (12 分)已知等差数列 ?an ?的公差 d ? 0 , a1 ? 列, (Ⅰ)求 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)若 ?an ?的前 n 项和 Sn ? 50 ,求 n 。 (24) (12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b 在 x ? 1 处取得极值 ? 1 , 求(Ⅰ) a , b ; (Ⅱ) f ( x) 的单调区间,并指出 f ( x) 在各个单调区间的单调性。 (25) (13 分)设椭圆 E : 线 l 过 F1 且斜率为
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 和 F2 ,直 a 2 b2
1 ,且 a1 , a2 , a5 成等比数 2

3 , A( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) 为 l 和 E 的交点, AF2 ⊥ F1F2 , 4

(Ⅰ)求 E 的离心率。 (Ⅱ)若 E 的焦距为 2 ,求其方程。

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2015 年成人高等学校招生全国统一考试

数学(文史财经类)试题答案及评分参考
说明: 1.本解答给出了每题的一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不 同,可根据试题的主要考察内容比照评分参考指定相应的评分细则。 2.对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分 正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题 (1)C (7)D (13)B 二、填空题 (18){x | 0 ? x ? 1} 三、解答题 (22)解: (Ⅰ)因为 A ? 30? , AC ? BC ,则 A ? B ? 30? 又因为 A ? B ? C ? 180? 所以 C ? 120?
C

(2)A (8)B (14)C

(3)A (9)B C (15)D

(4)C (10)A (16)B

(5)D B (11)A (17)C

(6)D (12)C

(19)4

(20) x ? y ? 3 ? 0

(21)10928.8

cosC ? cos120? ? ?
根据余弦定理
cos C ?

1 2
A B

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 2 AC ? BC



?

1 12 ? 12 ? AB 2 ? 2 2 ? 1? 1

解得: AB ? 3
1 3 S?ABC ? AB ? BC ? sinC ? (Ⅱ)由面积公式得: 2 4

(23)解: 因为等差数列 ?an ?的公差 d ? 0 , 则设 a2 ? a1 ? d , a5 ? a1 ? 4d 且 a1 , a2 , a5 成等比数列, a2 为等比中项。
2 1 所以 a2 ? a1 ? a5 , a1 ? 2

(a1 ? d )2 ? a1 ? (a1 ? 4d )

解得 d ? 1
1 3

所以 ?an ?的通项公式为 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? (n ? 1) ? 2
n(n ? 1) n n(n ? 1) n 2 d? ? ? 2 2 2 2 2 n 若 ?an ?的前 n 项和 Sn ? 50 , 则有 2 ? 50

(Ⅱ)前前 n 项和 Sn ? a1n ?

n ? 10

(24)解: (Ⅰ) f ?( x) ? ( x3 ? ax2 ? b)? ? 3x2 ? 2ax 因为 x ? 1 处取得极值 ? 1 , x ? 1 , f (1) ? 1 ? a ? b ? ?1 且 f ?(1) ? 0 , 3 ? 2a ? 0 ,

解得:

a??

1 3 b?? 2 2,
f ?( x) ? 3x2 ? 3x

3 1 f ( x) ? x3 ? x 2 ? (Ⅱ) 2 2,
令f ?(x) ? 0
则x?0 ,x

?1

当 (??, 0) 时, f ?( x) ? 0 ,所以, (??, 0) 为单调增加区间。 当 (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ,所以, (0,1) 为单调减少区间。 当 (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,所以, (1, ??) 为单调增加区间。

(25) 解: 设椭圆 E :
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 和 F2 ,直线 l 过 F1 且斜率 a 2 b2

3 为 , A( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) 为 l 和 E 的交点, AF2 ⊥ F1F2 , 4

(Ⅰ)求 E 的离心率。 (Ⅱ)若 E 的焦距为 2 ,求其方程。 设:由题意和, F1 的坐标为 (? c, 0) ,过 A( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) 做垂线交于
MF1 ? c ? x0
MF2 ? c ? x0 ,

x 轴为 M,

AM ? y0
y02 ? (c? x0 )(c? x0 ) ? c2 ? x02

AF2 ⊥ F1F2 , AM 2 ? MF1 ? MF2 ,
又因为直线 AF1 的斜率为
AF1 =50c

y0 ? 0 3 c ? x0 9 7c 24c 3 ? ? ? , x0 ? ,则有 , y0 ? x ? c 4 c ? x 16 25 25 4 0 0

, AF2 =30c

,

A( x0 , y0 ) 在 E :

x2 y 2 ? ? 1 ,上,则有 AF1 + AF2 =2a a 2 b2
1 40
a ? 4,b ? 2 3

所以: 80c ? 2a , e ?

(Ⅱ)若 E 的焦距为 2 ,则有 c ? 2
x2 y 2 ?1 其方程为 E : ? 16 12


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