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SXB5105《应用举例2》(教师版)


清新一中数学学科导学稿(教师版)
编 号 SXB5105

编写人:陈晓菊

审稿人:温少光

编写时间:2015.4.10

一、课题: 《应用举例—②测量高度》 (人教 A 版数学新课标教材必修 5,P15- P17) 二、课型:应用题(1 课时) 三、学习目标: 1. 能够运用正弦定理

、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题; 2. 测量中的有关名称. 3、结合实际测量工具,解决生活中的测量高 度问题 4、能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件 教学目标说明:目标 1,3 是本节课的重点,目标 4 是难点。 四、学习内容及程序 (一)课前自主学习内容与要求 请同学们在本课上课前一天自找时间,进行下列的数学实验,并自学教材 P15-17 的内容,并按要求完成以 下任务,整个自学时间要求不超过 20 分钟。 新知:坡度、仰角、俯角、方位角 方位角---从指北方向顺 时针转到 目标方向线的水平转角 ; 坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角; 仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角. 探究:AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度 AB 的方法. 分析:选择基线 HG,使 H、G、B 三点共线, 要求 AB,先求 AE 在 ?ACE 中 , 可 测 得 角 源:www.shulihua.net] 在 ?ACD 中,可测得角 ,线段 故可求得 AC

, 关 键 求 AC[ 来 ,又有 ?

例 1. 如图 , 在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 ?40? , 在塔底 C 处测得 A 处的俯角 ? =50 ?1? . 已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精 确到 1 m)

1

[来源:www.shulihua.net] 例 2. 如图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶, 到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15 ? 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处, 测得此山顶在东偏南 25 ? 的方向上,仰角为 8 ? ,求此山的高度 CD. 问题 1: 欲求出 CD,思考在哪个三角形中研究比较适合呢?

问题 2: 在 ? BCD 中,已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易 计算出哪条边的长?

(二)课内学习内容及程序 1.进行堂上检测(不超过 6 分钟) 1、某人在山顶观察到地面上有相距 2500 米的 A、B 两个目标,测得目标 A 在南偏西 57°,俯角是 60°, 测得目标 B 在南偏东 78°,俯角是 45°,试求山高. 解:画出示意图(如图所示) 设 山 高 PQ=h , 则 △ APQ 、 △ BPQ 均 为 直 角 三 角 形 , 在 图 ( 1 ) 中 , ∠ PAQ=30 °, ∠ PBQ=45 °.

AQ ?

PQ PQ ? 3h, BQ ? ?h 0 tan 30 tan 45 0

在 图 ( 2) 中 , ∠ AQB=57 ° +78 ° =135 °, AB=2500 , 所以由余弦定理得: AB 2 =AQ 2 +BQ 2 -2AQ ? BQcos ∠ AQB ,
2 即 2500 ?

? 3h? ? h
2

2

? 2 3h ? h ? cos 135 0 ? 4 ? 6 h 2

?

?

?h ?

2500 4? 6

≈ 984.4 ( m ) .

答 : 山 高 约 984.4m . hulihua.net] 2、补充例题(不超过 8 分钟) 1. 在 ? ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为( B ). 3 2 3 3 3 A. B. C. D. 3 3 2 2 2 2. D、C、B 在地面同一直线上,DC=100 米,从 D、C 两地测得 A 的仰角分别为 30 和 45 ,则 A 点离地面 的高 AB 等于( D )米. A.100 C.50 ( 3 ? 1) 【学习反 思】 B. 50 3 D.50 ( 3 ? 1)

2

※ 学习小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进 行加工、抽取主要因素,进行适当的简化. 3、巩固练习(不超过 10 分钟) 1. 在地面上 C 点 ,测得一塔塔顶 A 和塔基 B 的仰角分别是 60 ? 和 30 ? ,已知塔基 B 高出地面 20m ,则塔身 AB 的高为多少 m? 解 : 在 地 面 上 D 点 测 塔 顶 A 和 塔 基 B , 仰 角 分 别 为 60 0 和 30 0 , 已 知 塔 基 高 出 地 平 面 20m , 所 以 BO=20m . 在 Rt △ ADO 中 , AO=DOtan60 ° = Rt △ BDO 中 有 DO= AO= 3 DO=60

3 DO 米 .

BO ? 3BO ? 20 3 米 . tan30 0

米.

∴ AB=AO-BO=60-20=40 米 . 故 答 案 为 : 40m .

4、课堂总结(不超过 2 分钟) 最后请同学们在 2 分钟内将今天所学的内容迅速回顾一遍。 5、课外作业 1. 为测某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°,测得塔基 B 的俯角为 45°,则塔 AB 的高度为多少 m? 解 : 如 图 所 示 : 设 观 测 点 为 C , CP=20 为 点 C 与 塔 AB 的 距 离 , ∠ ACP=30 °, ∠ BCP=45 °. 则 AB=AP+CP=PC ? tan30 ° +CP ? tan45 ° =20 ×

3 3 +20 × 1=20 ( 1+ ), 3 3

故 塔 AB 的 高 度 是 20 ( 1+

3 ) m, 3

3

2. 在平地上有 A、B 两点,A 在山的正东,B 在山的东南,且在 A 的南 25°西 300 米的地方,在 A 侧山顶 的仰角是 30°,求山高. 解 : 设 山 高 MN=h , ∠ ABN=180 ° - ( 65 ° +45 °) =70 °, 由 正 弦 定 理 得 AN ?

AB sin 700 ? 300? 0.94? 2 sin 450
0

在 直 角 △ ANM 中 , h ? AN tan30 ? 300? 0.94? 2 ? ≈ 94 × 2.4495 ≈ 230 ( 米 ) 故 山 高 约 为 230 米 .

3 ? 94 6 3

4


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