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3.1.1两角差的余弦公式


3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式

两角差的余弦公式 【问题导思】 1.cos 60° -cos 30° =cos(60° -30° )成立吗?

2.cos α-cos β=cos(α-β)成立吗?

→ → 3.单位圆中(如图),∠AOx=α,∠BOx=β,那么 A,B 的坐标是什么?OA与OB的夹角 是多少?

→ → 4.你能用哪几种方法计算OA· OB的数量积?

5.根据上面的计算可以得出什么结论?

利用两角差的余弦公式求值

求值:(1)sin 460° · sin(-160° )+cos 560° · cos(-280° ); (2)sin 285° .

1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是:

1

(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值. (2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用 公式求值. 2.两角差的余弦公式的结构特点: (1)同名函数相乘:即两角余弦乘余弦,正弦乘正弦. (2)把所得的积相加.

求下列各式的值: (1)cos(-165° ); (2)sin 15° sin 105° +cos 15° cos 105° .

给值(式)求值 π 4 π 3π 已知 sin(α+ )= ,且 <α< ,求 cos α 的值. 4 5 4 4

π 1.本题求解的关键在于把角 α 分解成两角 α+ 与 α 之差,变角是进行三角变换的常用 4 方法技巧,如 α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α+β)-(α+β)等. 2.利用差角的余弦公式求值时,不能机械地从表面去套公式,而要变通地从本质上使 用公式.即把所求的角分解成某两个角的差,并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可 求的,再代入公式计算.

5 7 在本例中,若把 α 的范围改为:“ π<α< π”,其他条件不变,又如何求 cos α 的值? 4 4

2

已知三角函数值求角

2 5 10 已知 α、β 均为锐角,且 cos α= ,cos β= ,求 α-β 的值. 5 10

1.这类问题的求解,关键环节有两点: (1)求出所求角的某种三角函数值;(2)确定角的范围,一旦做好这两个环节,结合三角 函数的性质与图象,角可求解. 2.确定应用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目,结合所给角的范围确定.

1 13 π 已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,求 β 的值. 7 14 2

不考虑角的范围致误 已知 α,β,γ 是锐角,sin α+sin β=sin γ,cos α+cos β=cos γ,求 α -γ 的值.

3

1.cos 17° 等于(

)

A.cos 20° cos 3° -sin 20° sin 3° B.cos 20° cos 3° +sin 20° sin 3° C.sin 20° sin 3° -cos 20° cos 3° D.cos 20° sin 20° +sin 3° cos 3° 2.下列关系中一定成立的是 A.cos(α-β)=cos α-cos β B.cos(α-β)<cos α+cos β π C.cos( -α)=sin α 2 π D.cos( +α)=sin α 2 3.cos(-40° )cos 20° -sin(-40° )sin(-20° )=________. π 4 π 4.设 α∈(0, ),若 sin α= ,求 2cos(α- )的值. 2 5 4 ( )

一、选择题 1. cos 80° · cos 35° +sin 80° · cos 55° 的值是( A. 2 2 B.- 2 2 1 C. 2 1 D.- 2 ) )

2.下面利用两角差的余弦公式化简,其中错误的是( A.cos 80° cos 20° +sin 80° sin 20° =cos 60° B.cos 75° =cos 45° cos(-30° )+sin 45° sin(-30° ) C.sin(α+45° )sin α+cos(α+45° )cos α=cos 45°

4

π 1 3 D.cos(α- )= cos α+ sin α 6 2 2 3.cos 15° 的值为( A. 6+ 2 6- 2 B. 4 4 ) C. 6+ 2 2 D. 6- 2 2 )

3 5 4.已知钝角 α、β 满足 cos α=- ,cos(α+β)=- ,则 cos β 等于( 5 13 33 A. 65 33 B.- 65 54 C. 75 54 D.- 75 )

4 3 5.已知 sin α+sin β= ,cos α+cos β= ,则 cos(α-β)的值为( 5 5 9 A. 25 16 B. 25 C. 1 2 1 D.- 2

二、填空题 6.已知 cos α= 3 π ,α 是锐角,则 cos(α- )=________. 2 4

1 3 4 π 7.已知 sin α=- ,α∈(π, π),cos β=- ,β∈( ,π),则 cos(α-β)=________. 3 2 5 2 12 8.已知 cos(α+30° )= ,30° <α<90° ,则 cos α=________. 13 三、解答题 1 1 9.已知 cos α-cos β= ,sin α-sin β=- ,求 cos(α-β). 2 3

10.已知 tan α=4

11 3,cos(α+β)=- ,α、β 均为锐角,求 cos β 的值. 14

4 3 π 3π 11.已知 cos(α-β)=- ,sin(α+β)=- , <α-β<π, <α+β<2π,求 β 的值. 5 5 2 2

5

B 1 1 B 12. 已知向量 m=(cos , )与向量 n=( ,cos )共线,其中 A,B,C 是△ABC 的内角. 2 2 2 2 (1)求角 B 的大小; 3 (2)若 cos C= ,求 cos A 的值. 5

π 13.已知向量 a=(sin θ,-2)与 b=(1,cos θ)互相垂直,其中 θ∈(0, ). 2 (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; π (2)若 5cos(θ-φ)=3 5cos φ,0<φ< ,求角 φ 的值. 2

6


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