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浙江省东阳中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题


东阳中学 2015 年下学期期中考试卷 (高二数学)
命题:金迅婴
参考公式: 球的表面积公式 S=4πR
2

审题:黄雅玲
棱柱的体积公式 V=Sh 其中 S 表示棱柱的底面积,h

球的体积公式 表示棱柱的高. V=

4 3 πR 3

棱台的体积公式<

br />
其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式 底面积,h 表示棱 V=

V=

1 h(S1+ S1S2 +S2) 3

其中 S1、 S2 表示棱台的上、 下

1 Sh 3

台的高.

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高.

第 Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 设 u=(?2,2,5), v=(6,?4,4)分别是平面?, ? 的法向量, 则平面?, ? 的位置关系是 ( ) A.平行 2. 如 果 直 线 B.垂直 ax+2y+2=0 与 直 线 3x C.相交但不垂直 ? y ? 2=0 D.不能确定 平 行 , 则 系 数 a=




A.? 3 B. ?

3 2

C.? 6

D.

2 3
( )

3. l1,l2 表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2 是异面直线,q:l1,l2 不相交,则 A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件
2 2

4. 圆 (x+2) +y =5 关于直线 x﹣y+1=0 对称的圆的方程为 ( ) 2 2 2 2 A. (x﹣2) +y =5 B.x +(y﹣2) =5 2 2 2 2 C. (x﹣1) +(y﹣1) =5 D. (x+1) +(y+1) =5 5. 已知两点 M(0,2),N(?3,6)到直线 l 的距离分别为 1 和 3,则满足条件的直线 l 的条数是 ( ) A.1 B.2 C. 3 D.4 6. 在空间中, 三条不重合的直线 m, n, l, 两个不重合的平面?, ?, 下列命题正确的是 ( A.若 m ∥ n, n ? ? , 则 m ∥? B.若 l ? ? , m ∥ ? , 且 l ? m 则 ? ? ? )

C.若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? , 则 ? ∥ ? D.若 ? ? ? ,? ? ? ? m, n ? ? , n ? m ,则 n ? ? 7.已知点 A(﹣1.0) ,B(1,0) ,若圆 (x﹣2) +y =r 上存在点 P.使得∠APB=90°,则实 数 r 的取值范围为 ( ) A. (1,3) B.[1,3] C. (1,2] D.[2,3] 8.如图,直线 l⊥平面 α,垂足为 O,已知边长为 2 的等边三角形 ABC 在空间做符合以下条 件的自由运动:①A∈l,②C∈α,则 B,O 两点间的最大距离为 ( )
2 2 2

A.

B.

C.

D.

第 Ⅱ卷
二、填空题:本大题有 7 小题,9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分.把答案填在答 题卷的相应位置. 9. 为 已知圆 C:x2+y2 ? 2x ? 2y+1=0,其半径 r= , 圆 C 上的点到直线 x ? y=2 距离的最小值为 . ,圆心 C 到直线 x ? y=2 的距离

10. 由三条直线 x=0,x+y ? 2=0,x ? y ? 2=0 围成一个封闭的平面图形,则该平面图形的面积 是 , . cm ,表面积
3

若将此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的表面积是

11.某空间几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积 V= 2 S= cm .

12.已知 MN 为长宽高分别为 3,4,5 的长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的外接球的一条直径,P 为该长 ???? ? ???? 方体表面上任一点,则|MN|= , PM ? PN 的最小值为 .

13.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π,则其母线与轴的夹角的大小为



14. 已知点 A? ?5,0? ,B ? ?1, ?3? , 若圆 x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0? 上恰有两点 M ,N , 使得 ?MAB 和
?NAB 的面积均为 5 ,则 r 的取值范围是



15.在侧棱长为 a 的正三棱锥 S ? ABC 中, ?BSA ?

? , P 为 ?ABC 内一动点,且 P 到三个 2

侧 面 SAB , SBC , SCA 的距离为 d1 , d2 , d3 . 若 d1 ? d2 ? d3 , 则点 P 形成曲线的长度 为 .

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 15 分) 设命题 p:“直线 x+y﹣m=0 与圆(x﹣1) +y =1 没有公共点”,命题 q:“mx ﹣x﹣4=0 有一正 根和一负根.”如果 p 与 q 有且仅有一个命题为真,求 m 的取值范围.
2 2 2

17. (本题满分 15 分) 如图,侧棱与底面垂直的三棱柱 ABC ? A1B1C1 各侧棱和底面边长均为 2, D、P 分别是 CC1、 AB 的中点,连结 A1B,BD,A1D. (Ⅰ)求证:直线 CP∥平面 A1 BD; (Ⅱ)求直线 A1B 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值.
A1 B1 D C1

A P B (第 17 题图)

C

18. (本题满分 15 分) 已知圆 C 过点 A(1,3) , B(2,2) ,并且直线 m : 3x ? 2 y ? 0 平分圆的面积. (1)求圆 C 的方程; (2)若过点 D(0,1) ,且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的公共点 M , N . ①求实数 k 的取值范围; ②若 OM ? ON ? 12 ,求 k 的值.

19. (本题满分 15 分) 已知四棱锥 S?ABCD 的底面 ABCD 为菱形,且?ABC=60 ?, AB=SC=2,SA=SB= 2 . (Ⅰ)求证:平面 SAB⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 A?SC?D 的余弦值.
S

A B

20. (本题满分 14 分) 如图,圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 与坐标轴交于点 A, B, C .

D

C

⑴求与直线 AC 垂直的圆的切线方程; ⑵设点 M 是圆上任意一点(不在坐标轴上) ,直线 CM 交 x 轴于点 D ,直线 BM 交直线 AC 于点 N , ①若 D 点坐标为 (2 3,0) ,求弦 CM 的长;②求证: 2k ND ? kMB 为定值.

y

5

4

3

N M

C
2 1

A
8 6 4 2

O
1

2

B

x
4 D 6 8 10

2

3

4

5

高二数学期中答案
一、BCADD DAC 二、 9. 1 ,
2



2 ?1

10. 4 , 12.

8 2? 5 2

.

11.





?

41 4

.

13.



14.

(1,5)

15.

2a 2

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 15 分) 2 2 2 设命题 p:“直线 x+y﹣m=0 与圆(x﹣1) +y =1 没有公共点”,命题 q:“mx ﹣x﹣4=0 有一正 根和一负根.”如果 p 与 q 有且仅有一个命题为真,求 m 的取值范围. 解:对命题 P:直线 x+y﹣m=0 与圆(x﹣1) +y =1 不相交,∴ 或 m<1﹣ . . <0,解得 m>0.
2 2

≥1,解得

p 为真命题时 m 的取值范围是:A= 对命题 q:则由题意得 m≠0,△ =1+16m>0, q 为真命题时 m 的取值范围是:B={m|m>0}. ∵p∨q 为真且 p∧q 为假, 可知 P 与 q 有且只有一个命题为真命题. 若 P 假 q 真时,?RA∩B={m|m 若 P 真 q 假时,A∩?RB={m| 综述:m 的取值范围是:{m|m 17. (本题满分 15 分) }; }, 或

}.

如图,侧棱与底面垂直的三棱柱 ABC ? A1B1C1 各侧棱和底面边长均为 2, D、P 分别是 CC1、 AB 的中点,连结 A1B,BD,A1D. (Ⅰ)求证:直线 CP∥平面 A1 BD; (Ⅱ)求直线 A1B 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值.
A1 B1 D C1

A P B (第 17 题图)

C

17. 解法一:(Ⅰ)取 A1B 的中点 E,连接 PE,DE, ∵点 D,P 分别是 CC1,AB 的中点, ∴四边形 PEDC 为平行四边形,即 DE ∥PC. 又 PC ? 平面 A1 BD,DE ? 平面 A1 BD, ∴CP∥平面 A1 BD. ……………………… 6 分 (Ⅱ)取 AC 的中点 F,连 A1 F ,BF,则 BF ? AC ,
F A1 B1

C1

E

D

因为侧面 ACC1A1⊥底面 ABC,所以 BF⊥平面 ACC1A1.

A P

C

即 ?BA1 F 就是 A1B 与平面 ACC1A1 所成角. ………………………………………B 10 分 ∵直三棱柱 ABC?A1B1C1 各侧棱和底面边长均为 2, ∴A1B ? 2 2 , BF ? 3 ,∴ sin ?BA1 F ?
3 2 2 ? 6 4

即直线 A1B 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值

6 .………………………………… 15 分 4

解法二:以 P 为原点,CP,PB 所在直线分别为 x,y 轴建立空间空间直角坐标系.… 则 A(0,?1,0),B(0,1,0),C(? 3,0,0) D (? 3,0,1) , A1 (0, ?1, 2) ,
A1

2分

z

C1

B1 D

???? ??? ? (Ⅰ) ∵ A1B ? (0,2, ?2) , BD ? (? 3, ?1,1) ,
∴平面 A1 BD 的法向量为 m=(0,1,1) .………
??? ? 又 CP ?

5分
A C P B

?

3, 0, 0 ,

?

x

y

??? ? 所以 m ? CP ? 3 ? 0 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 .…………………………………………… 7 分

因为 CP ? 平面 A1 BD ,∴CP∥平面 A1 BD.……………………………………… 9 分

???? ???? (Ⅱ)因为 AC ? (? 3,1,0) , AA1 ? (0,0,2) ,
所以平面 A1C1CA 的法向量为 n= 1, 3, 0 .

?

?

……………………………………… 11 分

???? ???? n ? A1 B 2 3 6 ∴ cos n, A1 B ? ???? ? . ? 4 n A1 B 2 ? 2 2
即直线 A1B 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值为
6 . 4

…………………………… 15 分

18. (本题满分 15 分) 已知圆 C 过点 A(1,3) , B(2,2) ,并且直线 m : 3x ? 2 y ? 0 平分圆的面积. (1)求圆 C 的方程;

(2)若过点 D(0,1) ,且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的公共点 M , N . ①求实数 k 的取值范围; ②若 OM ? ON ? 12 ,求 k 的值.

18. (1)( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 ; (2)①:实数 k 的取值范围是 (

4? 7 4? 7 , ) ,②:k ? 1 . 3 3

19. (本题满分 14 分) 已知四棱锥 S?ABCD 的底面 ABCD 为菱形,且?ABC=60 ?, AB=SC=2,SA=SB= 2 . (Ⅰ)求证:平面 SAB⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 A?SC?D 的余弦值.
S

A B D C

19. 解: (Ⅰ)作 SH⊥AB 于 H,连 CH, ∵SA=SB= 2 ,AB=2,∴SA⊥SB,∴AH=BH=SH=1, 又由 ABCD 为菱形,∠ABC=60?,∴CH= 3 , 又 SC=2,∴SC2=CH2+SH2,∴SH⊥CH. …………………………………… 又 SH⊥AB,CH、AB 是面 ABCD 内两条相交直线, z ∴SH⊥面 ABCD,…………………………………………………………… S 又 SH ? 面 SAB,∴面 SAB⊥面 ABCD. ……………………………… (Ⅱ)以 H 点为坐标原点,HC、HB、HS 所在直线分别 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,则 C( 3 ,0,0),
A H B C x y

3分 5分 7分

A(0,?1,0),S(0,0,1),D( 3 ,?2,0). …………9 分

??? ? ???? ∴ AS ? (0,1,1) , AC ? ( 3,1,0) ,

D

∴平面 ASC 的法向量 n1= 1, ? 3, 3 , ………………………………………… 12 分

?

?

??? ? ??? ? 又 SC ? ( 3,0, ?1) , CD ? (0, ?2,0) , ∴平面 SCD 的法向量 n2= 1, 0, 3 ,… 14 分

?

?

∴ cos n1 , n2 ?

1? 3 1? 3 ? 3 ? 1? 3

?

2 7, 7

即二面角 A?SC?D 的余弦值为

2 7 . …………………………………………… 15 分 7

20.如图,圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 与坐标轴交于点 A, B, C . ⑴求与直线 AC 垂直的圆的切线方程; ⑵设点 M 是圆上任意一点(不在坐标轴上) ,直线 CM 交 x 轴于点 D ,直线 BM 交直线 AC 于点 N , ①若 D 点坐标为 (2 3,0) ,求弦 CM 的长;②求证: 2k ND ? kMB 为定值.

y

5

4

3

N M

C
2 1

A
8 6 4 2

O
1

2

B

x
4 D 6 8 10

2

3

20. (1) x ? y ? 2 2 ? 0 , (2)①:2,②:证明略.
4 5

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