当前位置:首页 >> 数学 >>

7-5第五节 直线、平面垂直的判定及其性质(2015年高考总复习)


?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

第七章 立体几何

考源教学资源网 www.kysybook.com

第1页

返回导航

第七章

立体几何

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学



第五节 ??直线、平面垂直的判定及其性质

读教材· 抓基础

研考点· 知规律

拓思维· 培能力

考源教学资源网 www.kysybook.com

第2页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

高考这样考 1.多以选择题、填空题的形式考查线面垂直、面面垂直的判定 及线面角的概念及求法. 2.围绕线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理设计解答 题,且多作为解答题中的某一问.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第3页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

备考这样做 1.熟记、理解线面垂直关系的判定与性质定理. 2.解题中规范使用数学语言,严格证题过程. 3.重视转化思想的应用,解题中要以寻找线线垂直作为突破.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第4页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

D 读教材· 抓基础
回扣教材 扫除盲点

考源教学资源网 www.kysybook.com

第5页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

课 本 导 读 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义
任意一条 直线都垂直,就说直线l与平 直线l与平面α内的___________

面α互相垂直.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第6页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

(2)直线与平面垂直的判定定理及推论

考源教学资源网 www.kysybook.com

第7页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

(3)直线与平面垂直的性质定理

考源教学资源网 www.kysybook.com

第8页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定定理

考源教学资源网 www.kysybook.com

第9页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

(2)平面与平面垂直的性质定理

考源教学资源网 www.kysybook.com

第10页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

疑 点 清 源 1.垂直关系的转化

考源教学资源网 www.kysybook.com

第11页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.如有 平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线, 使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握 “线线垂直”、“面面垂直”间的转化关系是解决这类问题的关 键.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第12页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

2.两个平面垂直的性质定理 两个平面垂直的性质定理,即如果两个平面垂直,那么在一 个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面 距离的依据,要过平面外一点P作平面的垂线,通常是先作(找)一 个过点P并且和α垂直的平面β,设β∩α=l,在β内作直线a⊥l,则 a⊥α.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第13页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

基 础 自 评 1.直线l不垂直于平面α,则α内与l垂直的直线有( A.0条 C.无数条 B.1条 D.α内所有直线 )

解析 可以有无数条.

答案 C

考源教学资源网 www.kysybook.com

第14页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

2.在下列关于直线l,m与平面α,β的命题中,真命题是 ( ) A.若l?β且α⊥β,则l⊥α B.若l⊥β且α∥β,则l⊥α C.若l⊥β且α⊥β,则l∥α D.若α∩β=m且l∥m,则l∥α
解析 A显然不对,C,D中的直线有可能在平面α内.故选 B.
答案 B
考源教学资源网 www.kysybook.com

第15页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

3.PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB,PC,PD, AC,BD,则下列垂直关系正确的是( )

①平面PAB⊥平面PBC;②平面PAB⊥平面PAD;③平面PAB ⊥平面PCD;④平面PAB⊥平面PAC. A.①② C.②③ B.①③ D.②④

考源教学资源网 www.kysybook.com

第16页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

解析

易证BC⊥平面PAB,则平面PAB⊥平面PBC,又AD∥

BC,故AD⊥平面PAB,则平面PAD⊥平面PAB,因此选A.

答案 A

考源教学资源网 www.kysybook.com

第17页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

4.已知直线l,m,n,平面α,m?α,n?α,则“l⊥α”是 “l⊥m且l⊥n”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充 分”“充要”“既不充分也不必要”之一)
解析 若l⊥α,则l垂直于平面α内的任意直线,故l⊥m且l⊥ n,但若l⊥m且l⊥n,不能得出l⊥α.

答案 充分不必要

考源教学资源网 www.kysybook.com

第18页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

5.已知P是△ABC所在平面外一点PA,PB,PC两两垂直, 且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内,则H一定是△ABC 的________心.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第19页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

解析

如右图所示,PA⊥PB,PA⊥PC,所以PA⊥平面

PBC,所以PA⊥BC,又PH⊥平面ABC,所以AE⊥BC.即H是△ ABC高的交点,所以H一定是△ABC的垂心.

答案 垂

考源教学资源网 www.kysybook.com

第20页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法

考源教学资源网 www.kysybook.com

第21页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

题型一 【例1】

直线与平面垂直的判定与性质

(2013· 重庆卷)如右图,四棱锥P—ABCD中,PA⊥

π 底面ABCD,PA=2 3,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=3.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第22页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

(1)求证:BD⊥平面PAC; (2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P—BDF的体 积. 【思维启迪】 (1)易证BD⊥AC,而PA⊥BD,从而得结论;

(2)分别求出VP—BCD和VF—BCD,即可求VP—BDF.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第23页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

听 课 记 录

(1)证明:∵BC=CD,即△BCD为等腰三角

形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相 交直线PA,AC都垂直,∴BD⊥平面PAC. 1 (2)三棱锥P—BCD的底面BCD的面积S△BCD= 2 BC· CD· sin∠ 1 2π BCD= · 2· 2· sin = 3. 2 3

考源教学资源网 www.kysybook.com

第24页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

由PA⊥底面ABCD,得 1 1 VP—BCD=3· S△BCD· PA=3· 3· 2 3=2. 1 由PF=7FC,得三棱锥F—BCD的高为8PA, 1 1 1 1 1 故VF—BCD= · S ·PA= · 3·· 2 3= . 3 △BCD 8 3 8 4 1 7 ∴VP—BDF=VP—BCD-VF—BCD=2- = . 4 4

考源教学资源网 www.kysybook.com

第25页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

【规律方法】

(1)解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂

直关系的判定与性质,注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵 活利用,这是证明空间垂直关系的基础. (2)由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相 互转化,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开,这 是化解空间垂直关系难点的技巧所在.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第26页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

变式思考 1

1 如图,已知BD⊥平面ABC,MC綊 BD,AC=BC,N是棱AB 2 的中点. 求证:CN⊥AD.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第27页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

证明

∵BD⊥平面ABC,CN?平面ABC,∴BD⊥CN.

又∵AC=BC,N是AB的中点,∴CN⊥AB. 又∵BD∩AB=B,∴CN⊥平面ABD. 而AD?平面ABD,∴CN⊥AD.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第28页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

题型二 【例2】

平面与平面垂直的判定与性质

(2013· 山东卷)如右图,四棱锥P—ABCD中,AB⊥

AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为 PB,AB,BC,PD,PC的中点.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第29页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

(1)求证:CE∥平面PAD; (2)求证:平面EFG⊥平面EMN. 【思维启迪】 (1)连接CF,由AF綊CD证得CF∥AD,进而

证得CF∥平面PAD,再由EF∥PA证得EF∥平面PAD,至此易证 结论;(2)先证明AB⊥EF,AB⊥FG,从而证明出AB⊥平面 EFG,再由AB∥MN,证明MN⊥平面EFG,则问题易证.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第30页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

听 课 记 录 (1)连接CF.

1 ∵F为AB的中点,∴AF= AB. 2 1 又CD= AB,∴AF=CD. 2 又AF∥CD,∴四边形AFCD为平行四边形. 因此CF∥AD.
考源教学资源网 www.kysybook.com
第31页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

又CF?平面PAD,∴CF∥平面PAD. ∵E,F分别为PB,AB的中点,∴EF∥PA. 又EF?平面PAD,∴EF∥平面PAD. ∵CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD. 又CE?平面CEF,∴CE∥平面PAD. (2)∵E,F分别为PB,AB的中点,∴EF∥PA. 又AB⊥PA,∴AB⊥EF. 同理可证AB⊥FG.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第32页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

又EF∩FG=F,EF?平面EFG,FG?平面EFG, 因此AB⊥平面EFG. 又M,N分别为PD,PC的中点,∴MN∥CD. 又AB∥CD,∴MN∥AB. 因此MN⊥平面EFG. 又MN?平面EMN,∴平面EFG⊥平面EMN.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第33页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

【规律方法】

证明面面垂直的方法有:一是定义法,即证

明两个平面的二面角为直二面角;二是用判定定理,即证明一个 平面经过另一个平面的一条垂线,也就是把“面面垂直”问题转 化为“线面垂直”问题,又将“线面垂直”问题进一步转化为 “线线垂直”问题.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第34页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

变式思考

2

(2013· 无锡模拟)如右图所示,在四棱锥

P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60° , E,F分别是AP,AD的中点.

求证:(1)直线EF∥平面PCD; (2)平面BEF⊥平面PAD.
考源教学资源网 www.kysybook.com
第35页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

证明

(1)如右图,在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的

中点,所以EF∥PD. 又因为EF?平面PCD,PD?平面PCD, 所以直线EF∥平面PCD.
考源教学资源网 www.kysybook.com

第36页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60° ,所以△ABD为正三 角形. 因为F是AD的中点,所以BF⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD,平面PAD∩平 面ABCD=AD, 所以BF⊥平面PAD. 又因为BF?平面BEF, 所以平面BEF⊥平面PAD.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第37页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

题型三 【例3】

线面、面面垂直的综合问题

如图所示,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥平

面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8, AB=2DC=4 5.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第38页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

(1)设M是PC上的一点,求证:平面MBD⊥平面PAD; (2)求四棱锥P—ABCD的体积. 【思维启迪】 (1)因为两平面垂直与M点位臵无关,所以在

平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD,考虑证明BD⊥平面 PAD.(2)四棱锥底面为一梯形,高为P到面ABCD的距离.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第39页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

听课记录

(1)证明:在△ABD中,

∵AD=4,BD=8,AB=4 5, ∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD. 又∵面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD, BD?面ABCD,∴BD⊥面PAD. 又BD?面BDM,∴面MBD⊥面PAD.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第40页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

(2)过P作PO⊥AD, ∵面PAD⊥面ABCD, ∴PO⊥面ABCD, 即PO为四棱锥P—ABCD的高. 又△PAD是边长为4的等边三角形,
考源教学资源网 www.kysybook.com
第41页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

∴PO=2 3. 在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC, ∴四边形ABCD为梯形. 4×8 8 5 在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为 = 5 , 4 5 此即为梯形的高. 2 5+4 5 8 5 ∴S四边形ABCD= × 5 =24. 2 1 ∴VP—ABCD=3×24×2 3=16 3.
考源教学资源网 www.kysybook.com
第42页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

【规律方法】

当两个平面垂直时,常作的辅助线是在其中

一个面内作交线的垂线,把面面垂直转化为线面垂直,进而可以 证明线线垂直.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第43页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

变式思考

3

如图所示,已知长方体ABCD—A1B1C1D1的底

面ABCD为正方形,E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点,

(1)求证:EF∥平面ABCD; D1D (2)设M为线段C1C的中点,当 的比值为多少时,DF⊥平 AD 面D1MB?并说明理由.
考源教学资源网 www.kysybook.com
第44页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

解 (1)证明:∵E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点, ∴EF∥AB. ∵EF?平面ABCD,AB?平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD. D1D (2)当 AD = 2时,DF⊥平面D1MB. ∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD. ∵D1D⊥平面ABC,∴D1D⊥AC. ∴AC⊥平面BB1D1D,∴AC⊥DF.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第45页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

∵F,M分别是BD1,CC1的中点, ∴FM∥AC.∴DF⊥FM. ∵D1D= 2AD,∴D1D=BD.∴矩形D1DBB1为正方形. ∵F为BD1的中点,∴DF⊥BD1. ∵FM∩BD1=F,∴DF⊥平面D1MB.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第46页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

名 师 微 博 ●三种转化 线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化:

考源教学资源网 www.kysybook.com

第47页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

●三类证法 (1)证明线线垂直的方法.①定义:两条直线所成的角为 90° ;②平面几何中证明线线垂直的方法;③线面垂直的性质:a ⊥α,b?α?a⊥b;④线面垂直的性质:a⊥α,b∥α?a⊥b.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第48页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

(2)证明线面垂直的方法.①线面垂直的定义:a与α内任何直 m,n?α,m∩n=A? ? ? ?l⊥α; 线都垂直?a⊥α;②判定定理1: ? l⊥m,l⊥n ? ③判定定理2:a∥b,a⊥α?b⊥α;④面面平行的性质:α∥β,a ⊥α?a⊥β;⑤面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a ⊥β. (3)证明面面垂直的方法.①利用定义:两个平面相交,所成 的二面角是直二面角;②判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第49页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力

考源教学资源网 www.kysybook.com

第50页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

易混易错系列 运用线面垂直的判定定 理时,忽略条件致错

考源教学资源网 www.kysybook.com

第51页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

【典例】

如右图所示,长方体ABCD—A1B1C1D1中,底面

ABCD是正方形,试判断平面ACB1与平面ABCD是否垂直? 【错解】 如图,设AC∩BD=O,连接OB1.∵AB1=B1C,

∴OB1⊥AC.又AC?平面ABCD,∴OB1⊥平面ABCD.又OB1? 平面ACB1,∴平面ACB1⊥平面ABCD. 【错因分析】 错解在运用线面垂直的判定定理时,忽略了

该定理的使用条件从而致错.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第52页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

【正解】

如图,设AC∩BD=O,连接OB1.∵AB1=B1C,

∴OB1⊥AC.又AC⊥BD,∴∠B1OB是二面角B1—AC—B的平面 角.又∠B1OB是直角三角形B1BO的一个锐角,∴二面角 B1—AC—B不是直二面角,∴平面ACB1与平面ABCD不垂直.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第53页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

【心得体会】

利用线面垂直的判定定理解决问题时,要注

意定理的三个条件:与两条直线垂直、这两条直线相交、这两条 直线在一个平面内,这三个条件缺一不可.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第54页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

自主体验

如右图,三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∠ACB 1 =90° ,AC=BC= AA1,D是棱AA1的中点. 2 证明:平面BDC1⊥平面BDC.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第55页

返回导航

第七章

第五节

?高考总复习模块新课标

新课标A版数学

证明

由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以

BC⊥平面ACC1A1. 又DC1?平面ACC1A1,所以DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45° ,所以∠CDC1=90° ,即 DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1?平面 BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.

考源教学资源网 www.kysybook.com

第56页

返回导航

第七章

第五节


相关文章:
2015高考复习7-5 直线、平面垂直的判定及其性质
2015高考复习7-5 直线平面垂直的判定及其性质_高考_高中教育_教育专区。2015高考复习带答案(已排版好)!7-5 直线平面垂直的判定及其性质 一、选择题 [A 组...
2015高考数学(理)一轮复习配套限时规范特训:7-5直线、平面垂直的判定及性质
2015高考数学(理)一轮复习配套限时规范特训:7-5直线平面垂直的判定性质_高中教育_教育专区。2015高考数学(理)一轮复习配套限时规范特训:7-5直线、平面垂直的...
【名师一号】2015高考数学(人教版A版)一轮配套题库:7-5直线、平面垂直的判定及其性质]
【名师一号】2015高考数学(人教版A版)一轮配套题库:7-5直线平面垂直的判定及其性质]第五节 直线平面垂直的判定及其性质时间:45 分钟 分值:75 分 一、选择...
第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
第七第五节 直线平面垂直的判定及其性质_数学...§8.5 2015 高考会这样考 直线、平面垂直的判定与...复习备考要这样做 1.熟记、 理解线面垂直关系的...
文科数学一轮复习:第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
文科数学一轮复习:第五节 直线平面垂直的判定及其性质_数学_高中教育_教育...2015 年 11 月 25 日 第 4 页 (B 类)1.(2014· 北京高考)如图,在三...
【创新设计】2015高考数学(人教,理)一轮题组训练:7-5直线、平面垂直的判定与性质]
【创新设计】2015高考数学(人教,理)一轮题组训练:7-5直线平面垂直的判定性质]_数学_高中教育_教育专区。【创新设计】2015高考数学(人教,理)一轮题组训练:...
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质]
【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第7第5节 直线平面垂直的判定及其性质]_数学_高中教育_教育专区。【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测...
2016高考数学(理)一轮突破热点题型:第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质
2016高考数学(理)一轮突破热点题型:第7第5节 直线平面垂直的判定及其性质_数学_高中教育_教育专区。第五节 直线平面垂直的判定及其性质 高频考点 考点一...
第五节、直线、平面垂直的判定及其性质
第五节直线平面垂直的判定及其性质 隐藏>> 一、选择题 1. 给定空间中的...平行的平面可能与平面 α 垂直.故 A,C,D 错误. 【答案】 B 5.设 a,b,...
【创新方案】2015届高考数学一轮复习第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质教案 文
【创新方案】2015高考数学一轮复习第七第五节 直线平面垂直的判定及其性质教案 文_数学_高中教育_教育专区。第五节 直线平面垂直的判定及其性质 【考纲...
更多相关标签: