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不等式选讲习题(含答案)


不等式选讲习题
1.(2014 全国新课标 I 卷)若 a ? 0, b ? 0, 且 (I)求 a ? b 的最小值;
3 3

1 1 ? ? ab . a b

(II)是否存在 a, b, 使得 2a ? 3b ? 6? 并说明理由.

2.(2014 全国新课标 II 卷)设函数 f ( x

) ? x ? (I)证明: f ( x) ? 2; (II)若 f (3) ? 5, 求 a 的取值范围.

1 ? x ? a (a ? 0). a

3.(2013 全国新课标 I 卷)已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? a , g ( x) ? x ? 3.
1

(I)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (II)设 a ? ?1, 且当 x ? ? ?

? a 1? , ? 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围. ? 2 2?

4.(2013 全国新课标 II 卷)设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1, 证明: (I) ab ? bc ? ac ?

1 ; 3

(II)

a 2 b2 c 2 ? ? ? 1. . b c a

5.(2012 全国新课标卷)已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 .

2

(I)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (II)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 ?1, 2? ,求 a 的取值范围.

6.(2011 全国新课标卷)设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 . (I)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (II)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1}, ,求 a 的值.

7. (2015 第一次省统测) 已知 a 是常数, 对任意实数 x , 不等式 | x ? 1 | ? | 2 ? x |? a ?| x ? 1 | ? | 2 ? x | 都

3

成立. (I)求 a 的值; (II)设 m ? n ? 0, 求证: 2m ?

1 ? 2n ? a. m ? 2mn ? n 2
2

8.设函数 f ( x) ? 2x ? 4 ? 1. (I)画出函数 y ? f ( x) 的图象; (II)若不等式 f ( x) ? ax 的解集非空,求 a 的取值范围.

y

1

o1

x

4

不等式选讲习题参考答案
1.(2014 全国新课标 I 卷) 解: (I)由 ab ?

1 1 2 得 ab ? 2 ,当且仅当 a ? b ? 2 时等号成立 ? ? a b ab

所以 a3 ? b3 ? 2 a3b3 ? 2 8 ? 4 2, 当且仅当 a ? b ? 2 时等号成立 所以 a ? b 的最小值为 4 2 .………5 分
3 3

(II)由(I)知 2a ? 3b ? 2 2a ? 3b ? 2 6 ab ? 4 3 由于 4 3 ? 6 ,从而不存在 a, b, 使得 2a ? 3b ? 6. ………10 分 2.(2014 全国新课标 II 卷) 解: (I)由 a ? 0 ,有 f ( x) ? x ? 所以, f ( x) ? 2. ………4 分 (II) f (3) ? 3 ?

1 1 1 1 1 ? x ? a ? x ? ? a ? x ? ? a ? ? a ? 2 ? a ? 2. a a a a a

1 ? 3? a . a
1 1 1? 5 ? a ? 3. ,由 f (3) ? 5, 得 6 ? a ? ? 5 ,解得 a a 2

当 0 ? a ? 3 时, f (3) ? 6 ? a ?

当 a ? 3 时, f (3) ? a ?

1 1 5 ? 21 . 由 f (3) ? 5, 得 a ? ? 5 ,解得 3 ? a ? a a 2

综上所述, a 的取值范围是 ( 3.(2013 全国新课标 I 卷)

1? 5 5 ? 21 ?a? ). ………10 分 2 2

y

解: (I)当 a ? ?2 时, f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? 2 . 由 f ( x) ? g ( x) ,得 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 ? 0

1 2 1
O

2

设 f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3, 则

x

5

1 ? ??5 x, x ? 2 , ? 1 ? f ( x) ? ?? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?
其图象如图所示,由图象可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? 0. 所以,不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集为 (0, 2) .………5 分 (II)当 x ? ? ?

? a 1? , ? 时, f ( x) ? 1 ? a. 不等式 f ( x) ? g ( x) 可化为 1 ? a ? x ? 3. ? 2 2?
a 4 ? a 1? , ? 都成立.故 ? ? a ? 2,即a ? . 2 3 ? 2 2? 4 3

所以, x ? a ? 2 对 x ? ? ?

所以, a 的取值范围是 (?1, ]. .………10 分 4.(2013 全国新课标 II 卷). 证明: (I)

a 2 ? b2 ? 2ab , b2 ? c2 ? 2bc, a2 ? c2 ? 2ac ? a2 ? b2 ? b2 ? c2 ? a2 ? c2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ,即 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ac



(a ? b ? c) ? 1 ,即

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 a b? 2 bc ? 2

ac ? 1

?1 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ? ab ? bc ? ac ,即 3(ab ? bc ? ac) ? 1

? ab ? bc ? ac ?
(II)

1 ………5 分 3

a2 b2 c2 ? b ? 2a, ? c ? 2b, ? a ? 2c b c a a 2 b2 c 2 a 2 b2 c 2 ? ? ? (a ? b ? c) ? 2(a ? b ? c) ,即 ? ? ? a ? b ? c ? 1. b c a b c a a2 b 2 c 2 ? ? ? 1. ………10 分 b c a

?

?

6

5.(2012 全国新课标卷) 解: (I)不等式 f ( x) ? 3 的解集为 (??,1] [4, ??) (II)

f ( x) ? x ? 4

? x ? a ? x ? 2 ? x ? 4 ,即 x ? 4 ? x ? 2 ? x ? a
当 x ??1, 2? 时,由 x ? 4 ? x ? 2 ? x ? a ,得 4 ? x ? x ? 2 ? x ? a ,即 x ? a ? 2 解得 ?2 ? a ? x ? 2 ? a 又因为 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 ?1, 2? 所以, ?2 ? a ? 1 且 2 ? a ? 2 ,即 ?3 ? a ? 0. 所以, a 的取值范围是 [?3, 0]. 6.(2011 全国新课标卷) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 x ? 1 ? 2 ,由此可得 x ? ?1或x ? 3 故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? ?1或x ? 3} . (Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 3x ? 0 此不等式化为不等式组

?x ? a ?x ? a ?x ? a ?x ? a ? ? 或? 即? a 或? a ? x? ?a ? x ? 3 x ? 0 ? x ? a ? 3 x ? 0 ? x ? ? ? ? 2 ? 4
又因为 a ? 0 ,所以不等式 x ? a ? 3x ? 0 的解集为 ? x | x ? ? ? 由题意知 ?

? ?

a? 2?

a ? ?1 ,解得 a ? 2. 2

7.(2015 第一次省统测)

| x ? 1 | ? | 2 ? x |?| x ? 1 ? 2 ? x |? 3 (I)解:?
对任意实数 x ,不等式 | x ? 1 | ? | 2 ? x |? a 都成立.

? a ? 3.

?| x ? 1 | ? | 2 ? x |?| x ? 1 ? 2 ? x |? 3
对任意实数 x ,不等式 a ?| x ? 1 | ? | 2 ? x | 都成立.

? a ? 3. ? a ? 3.
7

(II)证明:由(I)知 a ? 3.

? 2m ?

1 1 ? 2n ? (m ? n) ? (m ? n) ? 2 m ? 2m n ? n (m ? n) 2
2

又? m ? n ? 0,

? ( m ? n) ? ( m ? n) ?
? 2m ?

1 1 ? 33 (m ? n)(m ? n) ?3 2 ( m ? n) ( m ? n) 2

1 ? 2n ? a. m ? 2mn ? n 2
2

8.设函数 f ( x) ? 2x ? 4 ? 1. (I)画出函数 y ? f ( x) 的图象; (II)若不等式 f ( x) ? ax 的解集非空,求 a 的取值范围.

(Ⅰ)由于 f ( x) ? ?

??2 x ? 5, x ? ? 则函数 y ? f ( x) 的图像如图所示: ? 2 x ? 3, x ? 2
y
8 7

6

5

4

3

2

1
1 8 6 4 2

o
1 2

1

2

4

6

x

(Ⅱ)由函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图像可知,当且仅当 a ?

1 或 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x) 与函数 2 1 y ? ax 的图像有交点,故不等式 f ( x) ? ax 的解集非空时, a 的取值范围为 ? ??, ?2 ? [ , ??) . 2

8


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