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高一数学 函数练习题


高一数学 函数练习题
1、与函数 y=x 表示相同函数的是 [ ]

则、值域不同,排除 C.而

评注 判断两个函数是否相同,要看函数的三要素:定义域,值域,对应法则.其中对应法则不能仅仅从解析式 上考虑,要分析其对应法则的本质. 2、求下列函数的定义域

(5)设 f(x)的定义域为[0,2],求函数 f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域.

∴定义域是空集,函数是虚设的函数 (2)由函数式可得

∴函数的定义域是{x|x=-1},定义域是一个孤立的点(-1,0)的横坐标 2 (3)∵x -4≠0 ∴x≠±2 ∴函数定义域为(-∞,-2)∪(-2,+2)∪(2,+∞) (4)从函数式可知,x 应满足的条件为

1

∴函数的定义域为

(5)∵f(x)定义域为[0,2] 所以 f(x+a)+f(x-a)中 x 应满足

又∵a>0,若 2-a≥a,则 a≤1 即 0<a≤1 时,f(x+a)+f(x-a)的定义域为{x|a≤x≤2-a} 当 a>1 时,x∈? 评注 求 f(x)的定义域就是求使函数 f(x)有意义的 x 的取值范围,定义域表示法有:不等式法,集合法,区间表 示法等. 3、求下列函数的值域



(1)由原式可化为

(2)将函数变形,整理可得: 2 2yx -4yx+3y-5=0 当 y=0 时,-5=0 不可能,故 y≠0 ∵x∈R 2 ∴Δ =(-4y) -4?2y?(3y-5)≥0 即 y(y-5)≤0 解得 0≤y≤5 而 y≠0 ∴0<y≤5 故函数值域为(0,5]

2

此二次函数对称轴为 t=-1

评注 求函数值域方法很多,此例仅以三个方面给出例子.学习时要分析函数式的结构特征,从而确定较简单的 求值域的方法. 2 2 4、(1)已知 f(x)=x ,g(x)为一次函数,且 y 随 x 值增大而增大.若 f[g(x)]=4x -20x+25,求 g(x)的解析式

解:(1)∵g(x)为一次函数,且 y 随 x 值增大而增大 故可设 g(x)=ax+b(a>0) 2 ∵f[g(x)]=4x -20x+25 2 2 ∴(ax+b) =4x -20x+25 2 2 2 2 即:a x +2abx+b =4x -20+25 解得 a=2,b=-5 故 g(x)=2x-5

于是有 t 的象是 t -1,即 f(t)=t -1(t≥1) 2 故 f(x)=x -1(x≥1) 2 2 ∴f(x+1)=(x+1) -1=x +2x(x≥0) 2 4 f(x )=x -1(x≤-1 或 x≥1) 评注 对于(1)是用待定系数法求函数的解析式,要根据题意设出函数的形式,再利用恒等式的性质解之.求函 数解析式的常用方法还有拼凑法,代换法(如(2)),解方程组等. 5、如图 1-7,灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽及两边坡总长度为 a,边坡的倾角为 60°. (1)求横断面积 y 与底宽 x 的函数关系式;

2

2

3

评注 本题是有关函数的实际问题,其方法是把实际问题用数学的形式表示出来,建立变量之间的函数关系. 6、设 x≥0 时,f(x)=2,x<0 时,f(x)=1 又

解:当 0<x<1 时,x-1<0,x-2<0

当 1≤x<2 时,x-1≥0,x-2<0

当 x≥2 时, g(x)=2

评注 分段函数关键是在 x 的不同条件下计算方法不同,不要认为是三个不同函数. 7、判断下列各式,哪个能确定 y 是 x 的函数?为什么? (1)x2+y=1 (2)x+y2=1

(3)y=

1? x x ?1



(1)由 x2+y=1 得 y=1-x2,它能确定 y 是 x 的函数.

(2) 由x+y 2 =1得y=± 1 ? x .它不能确定y是x的函数,因为对
于任意的 x∈{x|x≤1},其函数值不是唯一的.

(3)y=

1? x x ?1

的定义域是?,所以它不能确定y是x的函数.

8、下列各组式是否表示同一个函数,为什么?

(1)f(x) =|x| ,?(t) = t 2 (2)f(x) = x 2 ,g(x) =( x) 2 (3)f(x) = x ? 1? x ? 1,g(x) = x 2 ? 1 (4)f(x) = 1 ? x ? 1 ? x ,g(x) = 1 ? x 2
解 (1)中两式的定义域部是 R,对应法则相同,故两式为相同函数. (2)、(3)中两式子的定义域不同,故两式表示的是不同函数. (4)中两式的定义域都是-1≤x≤1,对应法则也相同,故两式子是相同函数. 9、求下列函数的定义域:

4

(1)f(x) = x ? 1+ 4 ? x + 2 (2)f(x) = x?5 3x ? 2

10x ? x 2 ? 21 (3)f(x) = | x|?5
(4)f(x) = 解 8 ? 1+ (4x-5) | x|

?x-1≥ 0 (1) 由 ? 得1≤x≤ 4 .∴定义域是{x|1≤x≤ 4} 4 - x ≥ 0 ? 2 2 (2) 由 3x- 2 > 0,得x> ,∴定义域是{x|x> } 3 3 2 ?10x-x -21≥0 (3) 由 ? 得3≤x≤7 且x≠5, ?|x| -5≠0 ∴定义域是{x|3≤x≤7 ,且x≠5}
?8 ? | x| -1≥ 0 ? 5 5 ? (4) 由 ?|x| ≠ 0 解得-8≤x< 0或 0<x< 或 <x≤8 4 4 ? 4x - 5 ≠ 0 ? ? ? 5 5 ∴定义域是[ -8, 0) ∪ (0, ) ∪ ( ,8) 4 4
10、已知函数 f(x)的定义域是[0,1],求下列函数的定义域:

(1)y=f (

1 ) x2

2 (2)y=f(2x) +f ( x ? ) 3 x (3)y=f ( ) a
解 (1) 由 0< ∴f( 1 ≤1,得x≤-1或x≥1, x2

1 ) 的定义域是{x|x≤-1或x≥1} x2

?0≤ 2x≤1 1 ? (2) 由 ? 得 0≤x≤ 2 3 0≤x+ ≤1 ? 3 ? 2 1 ∴f(2x) +f(x+ ) 的定义域是{x|0≤x≤ } 3 3 x (3)0≤ ≤1 a

5

x 当a> 0时,得 0≤x≤a,f( ) 定义域为[0,a] a x 当a< 0时,得a≤x≤ 0,f( ) 的定义域为[a, 0] a 1 【例5】 若函数y= ax 2 ? ax ? 的定义域是一切实数. a
求实数 a 的取值范围.

1 解 ∵x∈R,ax 2 -ax+ ≥ 0 a ?a> 0 ∴? ? 0<a≤ 2 . 2 ? Δ =a - 4 ≤ 0
为所求 a 的取值范围. 12、求下列函数的值域: (1)y=-5x2+1 (2)y= 3+ x ? 4 (3)y=x2-5x+6,x∈[-1,1) (4)y=x2-5x+6,x∈[-1,3]

2x 5x ? 1 3x 2 ? 1 (6)y= 2 x ?2 (5)y=
(9)y=|x-2|-|x+1| 解

4 x 2 ? 12 x ? 5 x 2 ? 3x ? 2 (8)y= 2x- 3+ 4 x ? 13 (7)y=

(1)∵x∈R,∴-5x2+1≤1,值域 y≤1.

(2) ∵x≥- 4 ,∴ 3+ x ? 4 ≥ 3,∴值域y≥ 3 5 1 (3) ∵y=x 2 -5x+ 6= ( x ? ) 2 - 2 4

5 ?[ -1,1) ,y在区间[ -1,1) 上为减函数,如图 2 . 2 -1. 2 ∴值域y∈ (2 ,12) . ∵ 5 1 (4)y= ( x ? ) 2 - , 2 4 5 5 1 ?[ -1, 3],如图 2.2 - 2 ,当x= 时,y min =- . 2 2 4 当x=-1时,y max =12 . ∵ 1 ∴值域y∈[ - ,12] 4

6

1 1 2 ( x ? ? ) 2 2x 2 5 5 (5)y= = = - 1 5x ? 1 5 5(5x ? 1) 5(x + ) 5 2 2 ∴y≠ .故值域y∈{y|y∈R且y≠ } 5 5
(6)定义域为 R

3x 2 ? 1 ? 1 ? 2y ,解得x 2 = , 2 y?3 x ?2 ? 1 ? 2y 又∵x 2 ≥ 0,∴ ≥0 y?3 1 1 解得- ≤y< 3,值域y∈[ - , 3) 2 2 ∵y≠ 3,∴由y=
(7)解:定义域 x≠1 且 x≠2



4 x 2 ? 12 x ? 5 去分母整理得: x 2 ? 3x ? 2

(y-4)x2-3(y-4)x+(2y-5)=0 ① 当 y-4≠0 时,∵方程①有实根,∴Δ ≥0, 即 9(y-4)2-4(y-4)(2y-5)≥0 化简得 y2-20y+64≥0,得 y<4 或 y≥16 当 y=4 时,①式不成立. 故值域为 y<4 或 y≥16.

(8) 解法( 一) 由4x-13>0,得x≥

13 ,设t= 4 x ? 13,则t≥0. 4

t 2 ? 13 . 4 t 2 ? 13 那么y= 2 ? - 3+t 4 1 = (t+1) 2 + 3 (t≥ 0) 2 ∴x=
函数 y 在 t≥0 时为增函数(见图 2.2-3). 7

1 7 ∴ (t+1) 2 + 3≥ . 2 2 7 故所求函数值域为y≥ . 2 解法 ( 二 ) ∵y= 2x- 3+ 4 x ? 13.
∴ 2y= 4x- 6+ 2 4x ? 13 = ( 4x ? 13+1)2 + 6 1 7 7 ∴y= ( 4x ? 13+1) 2 + 3≥ ,即y≥ 2 2 2
(9)解:去掉绝对值符号,

?- 3 ? f(x) = ?- 2x+1 ? ?3

(x> 2) ( -1≤x≤ 2) (x<-1)

其图像如图 2.2-4 所示. 由图 2.2-4 可得值域 y∈[-3,3]. 求函数值域的方法: 1°观察法:常利用非负数:平方数、算术根、绝对值等. 2°求二次函数在指定区间的值域(最值)问题,常用配方,借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理.假 如求函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),在给定区间[m,n]的值域(或最值),分三种情况考虑:

(i) 当对称轴x=- f(x) min =f(n) . (ii) 当对称轴x=-

b >n时,如图 2 . 2 -5( 甲 ) ,f(x) max =f(m) , 2a b b ∈[m,n]时,如图 2 . 2 -5( 乙 ) ,f(x) min =f( - ) , 2a 2a

f(x) max 是f(m) ,f(n) 两值较大者. (iii) 当对称轴x=- f(x) min =f(m) b <m时,如图 2 . 2 -5( 丙 ) ,f(x) max =f(n) , 2a

3°分离常数法:型如y=
(如例 5)可做公式用.

ax ? b a ( 既约分式,c≠0) 的值域为y≠ , cx ? d c

8

4 °判别式法:型如y= 型如 )y=

a 1 x 2 ? b1 x ? c1 (a 、a 2 不同为零,不能约为 a 2 x ? b2 x ? c2 1

ax ? b .可将函数解析式转化为关于x的二次方程,用判别式 cx ? d

法求 y 的范围(如例 6-7).

5°型如y=ax+b± cx ? d ,可利用换元法或配方法将原函数化
为二次函数求值域.但要注意中间量 t 的范围(如例 6-8). 6°分离有界变量法:从已知函数式中把有界变量解出来.利用有界变量的范围,求函数 y 的值域(如例 6-6). 7°图像法(如例 6-9): 由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻, 它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方 法求解.

【例7】 (1) 已知f(x+1) = 2x 2 - 4x,求f(1- 2 ) ?10 (2) 已知f(x) = ? ?10x (x< 0) (x≥ 0) 求f[f( - 7)].

解 (1) 由x+1=1- 2 得x=- 2 , ∴f(1- 2 ) = 2( - 2 ) 2 - 4( - 2 ) = 4 + 4 2 .
解 (2)∵f(-7)=10,∴f[f(-7)]=f(10)=100. 说明 本例较简单,但主要用意是深刻理解函数符号 f(x)的意义.求分段函数值时,要注意在定义域内进行. 【例 8】根据已知条件,求函数表达式.(1)已知 f(x)=3x2-1,求①f(x-1),②f(x2). (2)已知 f(x)=3x2+1,g(x)=2x-1,求 f[g(x)]. (3) 已知f( x -1) =x-6 x -7 . 求 f(x). (4)已知 f(x)是二次函数且 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求 f(x). (5)设周长为 a(a>0)的等腰三角形,其腰长为 x,底边长为 y,试将 y 表示为 x 的函数,并求它的定义域和值域. (1)分析:本题相当于 x=x-1 时的函数值,用代入法可求得函数表达式. 解 ∵f(x)=3x2-1

∴f(x-1)=3(x-1)2-1=3x2-6x+2 f(x2)=3(x2)2-1=3x4-1 (2)分析:函数 f[g(x)]表示将函数 f(x)中的 x 用 g(x)来代替而得到的解析式,∴仍用代入法求解. 解 由已知得 f[g(x)]=3(2x-1)2+1=12x2-12x+4

(3) 分析:∵已知f( x -1) =x- 6 x - 7 ,可将右端化为关于 x -1 的表达式,然后用x代替 x -1,就可求得f(x) 表达式.这种方法叫凑配
法(或观察法).

解法 ( 一 )

f( x -1) =x-6 x -7 =( x -1) 2 -4( x -1) -12 ∴f(x) =x 2 -4x-12 (x≥-1) ( x -1≥-1)

解法 ( 二 )

令t= x -1,则t≥-1,
9

∴x=(t+1)2 代入原式有 f(t)=(t+1)2-6(t+1)-7 =t2-4t-12 (t≥-1) 即 f(x)=x2-4x-12 (x≥-1)

说明 解法二是用的换元法.注意两种方法都涉及到中间量的问题,必须要确定中间量的范围,要熟练掌握换元 法. (4)分析:本题已给出函数的基本特征,即二次函数,可采用待定系数法求解. 解 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 由 f(0)=2,得 c=2.由 f(x+1)-f(x)=x-1,得恒等式 2ax+

1 3 (a+b) =x-1,比较等式两边x的同次幂的系数得a= ,b=- ,故所 2 2 1 3 求函数f(x) = x 2 - x+ 2 2 2
说明 待定系数是重要的数学方法,应熟练掌握. (5)解:∵2x+y=a,∴y=a-2x 为所求函数式. ∵三角形任意两边之和大于第三边, ∴得 2x+2x>a,又∵y>0,

?4x>a a a ∴a- 2x> 0,由 ? ? <x< 4 2 ?a- 2x> 0 a a 得函数的定义域为x∈ ( , ) 4 2

a a a 由 <x< ,得 0<a- 2x< , 4 2 2 a 即得函数的值域为y∈ (0, ) . 2
说明 求实际问题函数表达式,重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式,其定义域与值域,要考虑实 际问题的意义.

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