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3.1.5空间向量运算的坐标表示


3. 1.5 空 间向量运算的坐标表示
教学目标 1.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算。 2.会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。 重、难点 1.空间向量的坐标表示及坐标运算法则。 2.坐标判断两个空间向量平行。 教学过程: (一)复习上一节内容 (二)新课讲解: 设 a= (a1 , a 2 , a 3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) (1)

a±b= = . ? ( 4) a∥b 。 ;a ? b ? (2) ? a= . .(3) a·b

? ? ? ? 2 2 2 (5)模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , 则 | a |? a ? a ? a1 ? a2 ? a3 . ? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? ? (6)夹角公式: cos a ? b ? ? . 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3

B( x2 , y2 , z2 ) , (7) 两点间的距离公式: 若 A( x1 , y1 , z1 ) , 则| A B | ?A B
(8) 设 A ? ( x1 , y1 , z1 ), B ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则 AB = AB 的中点 M 的坐标为 例题分析: A. a :| a |= b :| b | C.a1b1+a2b2+a3b3=0 , AB ? . .

?? ??

2

2 ?x( x ? ? ( 2 y?2 ) 1z? (z ?2 ) 1 2 ) 1y

2

例 1、 (1) 已知两个非零向量 a = (a1, a2, a3) ,b = (b1, b2, b3) , 它们平行的充要条件是 ( B.a1·b1=a2·b2=a3·b3 D.存在非零实数 k,使 a =k b



(2)已知向量 a =(2,4,x) ,b =(2,y,2) ,若| a |=6,a ⊥ b ,则 x+y 的值是( A. -3 或 1 B.3 或-1 C. -3 D.1 (3)下列各组向量共面的是( ) A. a =(1,2,3), b =(3,0,2), c =(4,2,5) B. a =(1,0,0), b =(0,1,0), c =(0,0,1) C. a =(1,1,0), b =(1,0,1), c =(0,1,1) D. a =(1,1,1), b =(1,1,0), c =(1,0,1) 解析: (1)D;点拨:由共线向量定线易知; ?4 ? 16 ? x 2 ? 36 ? ? x ? 4, ? x ? ? 4, ? ? ?4 ? 4 y ? 2 x ? 0 ? ? y ? ? 3 ? (2)A 点拨:由题知 ? 或 ? y ? 1. ; (3)A 点拨:由共面向量基本定理可得。 点评:空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。



例 2、已知空间三点 A(-2,0,2) ,B(-1,1,2) ,C(-3,0,4) 。设 a = AB , b = AC ,
1

(1 )求 a 和 b 的夹角 ? ; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值. 思维入门指导:本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要求的结 果. 解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2) ,C(-3,0,4), a = AB , b = AC , ∴ a =(1,1,0), b =(-1,0,2). (1)cos ? =
?1 ? 0 ? 0 10 10 10 10 ,∴ a 和 b 的夹角为- 。 ?-

a ?b | a ||b |

=

2? 5

(2)∵k a + b =k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2) , k a -2 b =(k+2,k,-4) ,且(k a + b )⊥(k a -2 b ) , 2 2 ∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k -8=2k +k-10=0。 5 则 k=- 2 或 k=2。 点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做。 ( a + b )(k a -2 b )=k a -k a · b - 5 2 2 2 b =2k +k-10=0,解得 k=- 2 ,或 k=2。 巩固练习 1. 已知 a ? (cos ? ,1,sin ?), b ? (sin ?,1,cos ?) ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角是(
2 2

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( A) 90 ( B ) 60 (C ) 30 ? ? ? ? 2.已知 a ? (1 ? t ,1 ? t , t ), b ? (2, t , t ) ,则 | a ? b | 的最小值是 ( A)

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( D) 0

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11 5 55 3 5 ( B) (C ) ( D) 5 5 5 5 3. 已知 ABCD 为平行四边形, 且 A(4,1,3), B(2, ?5,1), C (3,7, ?5) , 则点 D 的坐标为_____. ? ? ? ? ? ? 4.设向量 a ? (?1,3, 2), b ? (4, ?6, 2), c ? (?3,12, t ) ,若 c ? ma ? nb , 则t ? , m? n ? 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5. 已知向量 b 与向量 a ? (2, ?1,2) 共线, 且满足 a ? b ? 18 ,(ka ? b) ? (ka ? b) , 则b ? ,
教学反思(1) 共线与共面问题 ;(2) 平行与垂直问题;(3) 夹角问题;(4) 距离问题;运 用向量来解决它们有时会体现出一定的优势. 用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某 个合适的基底表示,本节主要是用单位正交基底表示,就是适当地建立起空间直角坐标系, 把向量用坐标表示, 然后进行向量与向量的坐标运算, 最后通过向量在数量上的关系反映出 向量的空间位置关系,从而使问题得到解决.在寻求向量间的数量关系时,一个基本的思路 是列方程,解方程. 作业布置:见学案

2

3.1.5 空间向量运算的坐标表示
课前预习学案 预习目标: 1、理解空间向量坐标的概念; 2、掌握空间向量的坐标表示方法 预习内容: 设 a= (a1 , a 2 , a 3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) (1) a±b= = . ? (4) a∥b (5)模长公式: (6)夹角公式: 。 ;a ? b ? (2) ? a= . .(3) a·b

(7)两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 (8) 设 A ? ( x1 , y1 , z1 ), B ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则 AB = , AB ? .

AB 的中点 M 的坐标为 . 提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 学习目标:1、理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系; 2、掌握空间向量的坐标表示方法 重点难点:空间向量的坐标表示方法 学习过程: 例 1、(1)、已知两个非零向量 a =(a1,a2,a3) , b =(b1,b2,b3) ,它们平行的充要条件是 ( ) A. a :| a |= b :| b | C.a1b1+a2b2+a3b3=0 B.a1·b1=a2·b2=a3·b3 D.存在非零实数 k,使 a =k b )

(2)、已知向量 a =(2,4,x) , b =(2,y,2) ,若| a |=6, a ⊥ b ,则 x+y 的值是( A. -3 或 1 B.3 或-1 C. -3 D.1 (3)、下列各组向量共面的是( ) A. a =(1,2,3), b =(3,0, 2), c =(4,2,5) B. a =(1,0,0), b =(0,1,0), c =(0,0,1) C. a =(1,1 ,0), b =(1,0,1), c =(0,1,1) D. a =(1,1,1), b =(1,1,0), c = (1,0,1)

例 2、已知空间三点 A(-2,0,2) ,B(-1,1,2) ,C(-3,0,4) 。设 a = AB , b = AC , (1)求 a 和 b 的夹角 ? ; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值. 当堂检测:
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1. 已知 a ? (cos ? ,1,sin ?), b ? (sin ?,1,cos ?) ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角是(

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( A) 90 ( B ) 60 (C ) 30 ? ? ? ? 2.已知 a ? (1 ? t ,1 ? t , t ), b ? (2, t , t ) ,则 | a ? b | 的最小值是 ( A)

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( D) 0

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5 5

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3.已知 ABCD 为平行四边形,且 A(4,1,3), B(2, ?5,1), C (3,7, ?5) ,则点 D

的坐标为_____.
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4.设向量 a ? (?1,3, 2), b ? (4, ?6, 2), c ? (?3,12, t ) ,若 c ? ma ? nb , 则t ? , m? n ? 。

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5. 已知向量 b 与向量 a ? (2, ?1,2) 共线, 且满足 a ? b ? 18 ,(ka ? b) ? (ka ? b) , 则b ?

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k?
课后练习与提高:



1、已知 O 为原点,向量 OA ? ? 3,0,1? , OB ? ? ?1,1, 2 ? , OC ? OA, BC ∥ OA ,求 AC . 2.若 a ? ( x, 2,0), b ? (3, 2 ? x, x2 ) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是 (

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( A ) x ? ?4 ( B ) ?4 ? x ? 0 (C ) 0 ? x ? 4 ? ? 3.设 a ? (2,6, ?3) ,则与 a 平行的单位向量的坐标为 ? ? ? 同时垂直于 a ? (2,2,1), b ? (4,5,3) 的单位向量 e ?
4.已知 A(3, ?2,1), B(1,1,1) , O 为坐标原点, (1)写出一个非零向量 c ,使得 c ? 平面 AOB ; (2)求线段 AB 中点 M 及 ?AOB 的重心 G 的坐标; (3)求 ?AOB 的面积。

( D) x ? 4

.

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4


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