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2011数学二轮复习专题1


第3讲

函数与方程及函数的应用 感悟高考 明确考向
( B.[-2,0] D.[2,4] )

(2010· 浙江)设函数 f(x)=4sin(2x+1)-x, 则在下列区间中 函数 f(x)不存在零点的是 A.[-4,-2] C.[0,2]

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/>
解析 由数形结合的思想,画出函数 y=4sin(2x+1)与 y =x 的图象,观察可知答案选 A.

答案

A

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考题分析 方法.

函数的零点是函数的一个重要知识

点.本题考查了函数零点的概念、零点存在的判定

易错提醒 许多考生验证 f(-4)>0,f(-2)>0 即确定 f(x)在[-4,-2]上没有零点,这是非常危险的.因 为 f(x)在区间(a,b)上连续,f(a)· f(b)<0 是 f(x)在[a, b]上存在零点的充分条件,但并不必要.也就是说, f(-4)>0,f(-2)>0 并不能保证 f(x)在[-4,-2]上没 有零点.

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主干知识梳理
1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数 f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函 数 f(x)的零点. (2)函数的零点与方程根的关系 函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x) 的根,即函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的图 象交点的横坐标.

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(3)零点存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的 一条曲线,且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区 间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b)使得 f(c)=0, 这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 注意以下两点: ①满足条件的零点可能不唯一; ②不满足条件时,也可能有零点. (4)二分法求函数零点的近似值,二分法求方程的近 似解.

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2.函数的应用 函数应用的基本过程为

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热点分类突破
题型一 函数零点的判定 例 1 若函数 f(x)=|4x-x2|-a 的零点个数为 3, a 则 =________. 思维启迪 y=a 的图象的交点的个数,所以用数形结合的思想
方法求解.
解析 y=|x2-4x|的图象如图

f(x)的零点的个数即为函数 y=|4x-x2|与

∵函数 y=|x2-4x|的图象与函 数 y=4 的图象恰有 3 个公共点, ∴a=4.

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探究提高

(1)函数零点(即方程的根)的确定问题,

常见的有①函数零点值或大致存在区间的确定;② 零点个数的确定;③两函数图象交点的横坐标或有 几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方 程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是 方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合 求解. (2)函数零点(即方程的根)的应用问题, 即已知函数零 点的存在情况求参数的值或取值范围问题,解决该 类问题关键是用函数方程思想或数形结合思想,构 建关于参数的方程或不等式求解.
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变式训练 1 (2010· 浙江)已知 x0 是函数 f(x)=2x+ 1 的一个零点,若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞), 1-x 则 ( B ) A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0
x

B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0

1 解析 ∵f(x)=2 + , 1-x 1 x ∴f′(x)=2 ln 2+ 2 >0. (1-x) ∴f(x)在区间(-∞,1),(1,+∞)上分别是增函数. 又∵x0 是 f(x)的一个零点, x1∈(1, 0), 2∈(x0, 且 x x +∞), ∴f(x1)<0,f(x2)>0.故选 B.
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题型二 函数与方程的综合应用 例 2 已知函数 f(x)=ln x+2x-6. (1)证明:f(x)在其定义域上是增函数; (2)证明:f(x)有且只有一个零点; (3)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长 1 度不超过 . 4 思维启迪 (1)利用导数法证明函数的单调性.(2)利

用函数在某一区间内存在零点的条件证明其存在 性,利用函数的单调性说明其唯一性.(3)运用“二 分法”求其区间.

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(1)证明 函数的定义域为(0,+∞). 1 ∵f′(x)= +2>0, x ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2) 证明 ∵f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0, ∴f(2)· f(3)<0. ∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点. 由(1)知 f(x)在(0,+∞)上至多有一个零点. 从而 f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.

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(3)解 由 f(2)<0,f(3)>0. ∴f(x)的零点 x0∈(2,3). 5 5 5 5 取 x1= ,∵f( )=ln -1=ln -ln e<0, 2 2 2 2 5 5 ∴f( )· f(3)<0,∴x0∈( ,3). 2 2 11 取 x2= . 4 1 11 11 1 11 ∵f( )=ln - =ln -ln e 2 >0, 4 4 2 4 11 5 ∴f( )· )<0. f( 4 2 5 11 11 5 1 1 ∴x0∈( , ).而| - |= ≤ , 2 4 4 2 4 4 5 11 ∴( , )即为符合条件的区间. 2 4
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探究提高

(1)f(x)在[a, b]上连续, f(b)<0 是 f(x) f(a)·

在(a,b)上存在零点的充分条件.存在并不能说明唯 一.所以本题第(2)问还应注意,证明零点的唯一性. (2)应用二分法确定零点所在区间长度不超过 q,可 有如下思考过程: ①f(a)· f(b)<0,区间使|a-b|≤q,则零点 x0∈(a,b), 区间(a,b)为所求. a+b ②若 f(a)· f(b)<0, 区间使|a-b|>q, 则取中点 =x0, 2 进一步检验 f(a)· 0)<0(或 f(x0)· f(x f(b)<0)及|a-x0|与 q 的关系(或|b-x0|与 q 的关系),直至符合要求为止.

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变式训练 2 已知 a、b 是不全为 0 的实数,求证:方程 3ax2+2bx-(a+b)=0 在(0,1)内至少有一个根.
证明 若 a=0 时,则 b≠0, 1 此时方程的根为 x= ,满足题意. 2 当 a≠0 时,令 f(x)=3ax2+2bx-(a+b). (1)若 a(a+b)<0, ?1? ? 1 ? 1 ?- 则 f(0)· ?2?=-(a+b)· 4a?= a(a+b)<0, f ? ? ? ? 4 ? 1? 所以 f(x)在区间?0,2?内有一实根. ? ? (2)若 a(a+b)≥0, ?1? ? 1 ? 1 1 则 f ?2?· f(1)=?-4a?(2a+b)=- a2- a(a+b)<0, 4 4 ? ? ? ? ?1 ? 所以 f(x)在区间?2,1?内有一实根. ? ? 综上,方程 3ax2+2bx-(a+b)=0 在(0,1)内至少有一个根.
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题型三 函数模型及其应用 例 3 某地有三家工厂,分别位于矩 形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20 km,CB=10 km, 为了处理三家工厂的污水,现要在矩 形 ABCD 的区域上(含边界),且与 A,B 等距离的 一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长为 y km. (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ(rad), y 表示成 θ 的函数关系式; 将 ②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式. (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水 处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短.
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思维启迪

本题可以根据图形,利用解三角形的知

识求得 y 关于 θ 及 x 的函数关系式,而后根据解析 式特点选择恰当方法求函数的最小值.
解 (1)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= θ(rad), AQ 10 则 OA= = , cos θ cos∠BAO 10 故 OB= . cos θ 又 OP=10-10tan θ, 10 10 所以 y=OA+OB+OP= + +10-10tan θ, cos θ cos θ ? 20-10sin θ π? ? 故所求函数关系式为 y= +10 ?0≤θ≤4?. ? cos θ ? ?
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②若 OP=x (km),则 OQ=(10-x) (km), 所以 OA=OB= (10-x)2+102= x2-20x+200. 故所求函数关系式为 y=x+2 x2-20x+200 (0≤x≤10). (2)选择函数模型①, -10cos θ· θ-(20-10sin θ)(-sin θ) cos y′= = cos2θ 10(2sin θ-1) , cos2θ 1 π π 令 y′=0,得 sin θ= ,因为 0≤θ≤ ,所以 θ= . 2 4 6 ? π? ? 当 θ∈?0,6?时,y′<0,y 是 θ 的减函数; ? ? ?

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是 θ 的增函数, 1 20-10× 2 π 所以当 θ= 时,ymin= +10 6 3 2 =(10 3+10) (km). 这时点 O 位于线段 AB 的中垂线上, 10 3 且距离 AB 边 km 处. 3 当

?π π? θ∈?6,4?时,y′>0,y ? ? ? ?

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探究提高

函数实际应用题的关键有两点:一是认

真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实 际背景;然后进行科学地抽象概括,将实际问题归 纳为相应的数学问题;二是要合理选取参变量,设 定变量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用 恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数 模型,最终求解数学模型使实际问题获解.

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变式训练 3 某工厂生产某种儿童玩具,每件玩具的 成本为 30 元, 并且每件玩具的加工费为 t 元(其中 t 为常数,且 2≤t≤5),设该工厂每件玩具的出厂 价为 x 元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量 与 ex(e 为自然对数的底数)成反比例,当每件玩具 的出厂价为 40 元时,日销售量为 10 件. (1)求该工厂的日利润 y(元)与每件玩具的出厂价 x 元的函数关系式; (2)当每件玩具的日售价为多少元时,该工厂的利 润 y 最大,并求 y 的最大值.

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k k 解 (1)设日销售量为 x,则 40=10,∴k=10 e40. e e 10e40 则日销售量为 x , e 10e40 ∴日利润 y=(x-30-t)· x . e 10e40(x-30-t) ∴y= ,其中 35≤x≤41. ex 10e40(31+t-x) (2)y′= ,令 y′=0 得 x=31+t. ex ①当 2≤t≤4 时,33≤31+t≤35. ∴当 35≤x≤41 时,y′≤0. ∴当 x=35 时,y 取最大值,最大值为 10(5-t)e5.

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②当 4<t≤5 时,35<t+31≤36 ,函数 y 在[35,t +31]上单调递增,在[t+31,41]上单调递减. ∴当 x=t+31 时,y 取最大值 10e9-t. ∴当 2≤t≤4 时,x=35 时,日利润最大值为 10(5-t)e5 元. 当 4<t≤5 时,x=31+t 时,日利润最大值为 10e9-t 元.

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规律方法总结 1.函数与方程 (1)函数 f(x)有零点?方程 f(x)=0 有根?函数 f(x) 的图象与 x 轴有交点. (2)函数 f(x)的零点存在性定理 如果函数 f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的 曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数 f(x)在区间 (a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使 f(c)=0. ①如果函数 f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断 的曲线, 并且函数 f(x)在区间[a, b]上是一个单调 函数,那么当 f(a)· f(b)<0 时,函数 f(x)在区间(a, b)内有唯一的零点,即存在唯一的 c∈(a,b),使
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f(c)=0.

②如果函数 f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断 的曲线,并且有 f(a)· f(b)>0,那么,函数 f(x)在区 间(a,b)内不一定没有零点. ③如果函数 f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断 的曲线, 那么当函数 f(x)在区间(a, b)内有零点时 不一定有 f(a)· f(b)<0, 也可能有 f(a)· f(b)>0.例如函 数 f(x)=x3-5x2+6x 在区间[1,4]上有零点 2 和 3, 却有 f(1)· f(4)>0. 2.函数综合题的求解往往应用多种知识和技能.因 此,必须全面掌握有关的函数知识,并且严谨审 题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的 隐含条件.要认真分析,处理好各种关系,把握 问题的主线,运用相关的知识和方法逐步化归为 基本问题来解决.
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3.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题 建模 求解 ? ? ? (文字语言) (数学语言) (数学应用) 反馈 (检验作答) 与函数有关的应用题,经常涉及到物价、路程、 产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面积、 体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键 是确切的建立相关函数解析式,然后应用函数、 方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.

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知能提升演练
一、选择题 1.已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且在(0,+∞) 内的零点有 1 003 个,则 f(x)的零点的个数为 ( D ) A.1 003 B.1 004 C.2 006 D.2 007
解析 因为 f(x)是奇函数, f(0)=0, 则 且在(0, +∞) 内的零点有 1 003 个,所以 f(x)在(-∞,0)内的零点 有 1 003 个.因此 f(x)的零点共有 1 003+1 003+1 =2 007 个.

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2.若函数 f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点 3,那么函 数 g(x)=bx2+3ax 的零点是 A.0 B.-1 C.0,-1 ( C ) D.0,1

解析 ∵f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点为 3, ∴3a-b=0,即 3a=b. 令 g(x)=0 得 bx2+3ax=0, 即 bx2+bx=0,bx(x+1)=0, ∴x=0 或 x=-1. ∴g(x)的零点为 0 或-1.

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1 x-2 3. 设函数 y=x 与 y=( ) 的图象的交点为(x0, 0), y 2
3

则 x0 所在的区间是 A.(0,1) C.(2,3)
1 x-2 解析 设 f(x)=x -( ) ,则 2
3

( B ) B.(1,2) D.(3,4)

f(1)=-1,f(2)=7, ∴f(1)· f(2)<0, ∴x0∈(1,2),故选 B.

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? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0, 4.(2010· 福建)函数 f ( x) ? ? ?? 2 ? ln x, x ? 0 的零点个数为 ( C )

A.0

B.1

C.2

D.3

解析 当 x≤0 时,由 f(x)=x2+2x-3=0,得 x1= 1(舍去), 2=-3; x>0 时, f(x)=-2+ln x=0, x 当 由 得 x=e2,所以函数 f(x)的零点个数为 2,故选 C.

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5.食用油的零售价今年比去年只上涨 25%,政府欲 使明年比去年上涨 10%,则明年比今年降价 ( C ) A.15% C.12% B.10% D.50%

解析 设明年比今年降价 x%,依题意得 (1+25%)(1-x%)=1+10%, 解之得 x=12,故选 C.

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二、填空题 6.已知函数 f(x)=3x+x-5 的零点 x0∈[a,b],且 b -a=1,a,b∈N*,则 a+b=________. 3
解析 ∵f(1)=31+1-5=-1,f(2)=32+2-5=6,

∴f(1)· f(2)<0, ∴x0∈[1,2],a=1,b=2 符合要求. ∴a+b=3.

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7.定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时

?log1 ( x ? 1). x ?[0,1) ? f ( x) ? ? 2 ?1? | x ? 3 |, x ?[1,??) ?

则关于 x 的方程 f(x)=a(-1<a<1)的所有根之和 S= (用 a 表示).
?log2 (1 ? x), x ? (?1,0) , ?| x ? 3 | ?1, x ? (??,?1]

解析 当 x<0 时函数的解析式是 f ( x) ? ?

函数图象如图所示,当-1<a<0 时,方程 f(x)=a 有 五个根,最左边的两根之和为-6,最右边的两根之 和为 6,中间的一个根是满足log1 (x+1)=a 的 x,
1 故 x ? ( )a ?1 2
2

;同理,当 0<a<1 时方程 f(x)=a 的所有
? 1 a ?( ) ? 1 ? 2 ?1 ? 2 a ? (?1 ? a ? 0) . (0 ? a ? 1)

根之和是满足 log2(1-x)=a 的 x,即 x=1-2a;当 a =0 时所有根之和为 0,故所有根之和为
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? 1 a ?( ) ? 1 答案 ? 2 ?1 ? 2 a ?

(?1 ? a ? 0) . (0 ? a ? 1)

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8.(2009· 山东)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1) 有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. a>1
解析 函数 y=ax(a>0,且 a≠1)和函数 y=x+a,则函数 f(x)=ax-x-a(a>0, 且 a≠1)有两个零点,就是函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)与函数 y=x+a 有两个交点,由图象可知当 0<a<1 时两函数只有一个交点,不符合;如图所示, 当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)的图象过点(0,1),而 直线 y=x+a 所过的点一定在点(0,1)的上方, 所以一 定有两个交点,所以实数 a 的取值范围是 a>1.

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三、解答题 9.经市场调查, 某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元)均为时间 t(天)的函 数,且销售量近似满足 g(t)=80-2t(件),价格近 1 似满足 f(t)=20- |t-10|(元). 2 (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值.

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?(30 ? t )(40 ? t ), 0 ? t ? 10, (40-t)(40-|t-10|)=? ?(40 ? t )(50 ? t ), 10 ? t ? 20.

1 (1)y=g(t)· f(t)=(80-2t)· (20- |t-10|)= 2

(2)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1 200,1 225], 在 t=5 时,y 取得最大值为 1 225; 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1 200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600.

答 总之, 5 天日销售额 y 取得最大值为 1 225 元; 第 第 20 天日销售额 y 取得最小值为 600 元.

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10.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销售商订 购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购 一件,订购的全部服装的出场单价就降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件. (1)设一次订购 x 件, 服装的实际出厂单价为 p 元, 写出函数 p=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时, 该厂获得的 利润最大?其最大利润是多少?

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解 (1)当 0<x≤100 时,p=60; 当 100<x≤600 时, p=60-(x-100)×0.02=62-0.02x.
0 ? x ? 100, ?60, ?p?? ?62 ? 0.02x, 100 ? x ? 600.

(2)设利润为 y 元,则 当 0<x≤100 时,y=60x-40x=20x; 当 100<x≤600 时, y=(62-0.02x)x-40x=22x-0.02x2.
0 ? x ? 100, ?20x, ?y ? ? 2 ?22x ? 0.02x , 100 ? x ? 600.
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当 0<x≤100 时,y=20x 是单调增函数,当 x=100 时,y 最大,此时 y=20×100=2 000; 当 100<x≤600 时, y=22x-0.02x2=-0.02(x-550)2+6 050, ∴当 x=550 时,y 最大,此时 y=6 050. 显然 6 050>2 000. 所以当一次订购 550 件时,利润最大,最大利润为 6 050 元.

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