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简单的三角恒等变换


简单的三角恒等变换

请注意! 1. 灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等 变换,进而考查三角函数的图象和性质是高考的热点内 容. 2.以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能 力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状,求三角形 的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题.

高考考点预览

■ ?考点

梳理? ■ 1. 半角公式 (1)用cosα 表示sin
2α 2α

2

,cos ,tan .(降幂公式) 2 2





1-cosα 1-cosα sin = ; 2 2

1+cosα cos = ; 2 2
1-cosα tan = . 2 1+cosα




α α α (2)用cosα 表示sin ,cos ,tan .(半角公式不要 2 2 2 求记忆) α ± sin =± 2 α cos =± 2 ± α tan =± 2

1-cosα ; 2
1+cosα ; 2 1-cosα . 1+cosα

α (3)用sinα ,cosα 表示tan .(半角化单角) 2 α sinα 1-cosα tan = = . 2 1+cosα sinα 2. 公式的常见变式 (1)tanα +tanβ =tan(α+β)(1-tanα tanβ ), tanα -tanβ =tan(α-β)(1+tanα tanβ ).

1-cos2α (2)sin α = , 2
2

1+cos2α cos α = . 2
2

(3)1+sin2α =(sinα +cosα )2,1-sin2α =(sinα - cosα )2, 1+cos2α =2cos2α , 1-cos2α =2sin2α .

(4)asinα +bcosα =

a2+b2 sin(α+φ)(其中cosφ =

a b b 2 2,sinφ = 2 2即tanφ =a). a +b a +b 3.简单的三角恒等变换 在三角函数的化简、求值、证明中,常常要对条件 和结论进行合理的变换,“式”的变换和“角”的变换 是难点,其次名称的转化,切化弦,常数的代换是常用

的技巧.对于三角函数的图象与性质问题,很大程度上可 通过三角恒等变换,将函数式转化为y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,进而解决函数的最值、周期、奇偶性、单调性以 及作函数图象等问题.

三角函数式的求值

例 1 [教材改编题]求值: (1)sin210°+cos240°+sin10° cos40°; (2)sin10°?sin50°?sin70°. [思路点拨] 通过三角变换最终归结为特殊角的

三角函数值或造成同式相消, 同式约分以及其他的定值 形式.

[解] (1)解法一:因为40° =30° +10° ,于是 原式=sin210°+cos2(30° +10° )+sin10°cos(30° + 10° )=sin
? ·? ? ?
2

? 10°+? ? ?

? 3 1 ?2 cos10°- sin10°? +sin10° 2 2 ?

? 3 3 3 1 ? 2 2 cos10°- sin10°=4(sin 10°+cos 10°)=4. ? 2 2 ?

解法二:设x=sin210°+cos240°+sin10°cos40°, y=cos210° +sin240°+cos10°sin40°.则 x+y=1+1+sin10°cos40°+cos10°sin40°=2+ sin50°=2+cos40°, 1 1 x-y=cos80°-cos20°- =-sin50°- 2 2 1 3 3 =-cos40°- ,因此,2x= ,x= . 2 2 4

(2)原式=cos20°cos40°cos80° 2sin20°cos20°cos40°cos80° = 2sin20° 2sin40°cos40°cos80° 2sin80°cos80° = = 4sin20° 8sin20° sin160° sin20° 1 = = = . 8sin20° 8sin20° 8

[规律总结] 对于给角求值问题,一般所给出的角都 是非特殊角,从表面来看是很难的,应仔细观察非特殊角 与特殊角的关系,利用观察得到的关系,结合三角公式转 化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.有时还 可逆用、变形运用公式.

[变式探究1] (1)sin6°sin42°sin66°sin78°; (2)(tan10°- 3)sin40°.
解:(1)原式=sin6°cos48°cos24°cos12° 24sin6°cos6°cos12°cos24°cos48° = 24cos6° 23sin12°cos12°cos24°cos48° = 4 2 cos6° 22sin24°cos24°cos48° = 24cos6°

2sin48°cos48° = 4 2 cos6° cos6° sin96° 1 = 4 = 4 = . 2 cos6° 2 cos6° 16 sin10° (2)原式=( - 3)sin40° cos10° sin10°- 3cos10° = sin40° cos10°

2sin(10° -60° ) = cos50° cos10° sin50°cos50° =-2 cos10° sin100° =- =-1. cos10°

三角函数式的化简
1+cosx-sinx 1-cosx-sinx 例 2[ 原 创 ] 已 知 f(x) = + 且 1-sinx-cosx 1-sinx+cosx π x≠2kπ+ ,k∈Z.且 x≠kπ+π,k∈Z. 2 (1)化简 f(x); 1+tan 2 x (2)是否存在 x,使得 tan ?f(x)与 相等?若存在,求 2 sinx x 的值;若不存在,请说明理由.
2x

[思路点拨] 分式的化简,关键是将分子、分母分解 因式,然后约分,运用二倍角的变形公式,可将一些多项 式化为完全平方式便于分解因式.

1+cosx-sinx [解] (1)∵ 1-sinx-cosx x x 2cos -2sin cos 2 2 2 = x x 2x 2sin -2sin cos 2 2 2
2x

x x x x 2cos (cos -sin ) cos 2 2 2 2 = =- , x x x x -2sin (cos -sin ) sin 2 2 2 2 x sin 1-cosx-sinx 2 同理得 =- x 1-sinx+cosx cos 2

x x cos sin 2 2 ∴f(x)=- - x x sin cos 2 2 cos +sin 2 2 2 =- =- , x x sinx sin ·cos 2 2 且x≠2kπ+
2x 2x

π
2

,k∈Z.

1+tan 2 x (2)若tan ·f(x)= , 2 sinx x 2x 2tan 1+tan 2 2 则- = , sinx sinx x 2tan 2

2x



=-1,即sinx=-1. 2x 1+tan 2

3π ∴x=2kπ+ (k∈Z),即存在的x值. 2

[规律总结] 1.

三角函数式的化简原则:一是统一

角,二是统一函数名.能求值的求值,必要时切化弦, 更易通分、约分. 2.

3.

三角函数化简的方法主要是弦切互化,异名化同

名,异角化同角,降幂或升幂.

π [变式探究2] [2010?上海]已知0<x< ,化简: 2 π lg(cosx?tanx+1-2sin )+lg[ 2cos(x- )]-lg(1+ 2 4
2x

sin2x).

π sinx 2x 解:lg(cosx· +1-2sin )+lg[ 2 cos(x- )]- cosx 2 4
lg(1+sin2x)

=lg(sinx+cosx)+lg( 2cosx·cos + 2sinx·sin ) 4 4 -lg(sin2x+cos2x+2sinxcosx) =lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2 =2lg(sinx+cosx)-lg(sinx+cosx)2 =lg(sinx+cosx)2-lg(sinx+cosx)2 =0.

π

π

三角函数式的证明

例3

[2012·武邑中学月考]已知sin(2α+β)=2sin

β , 求证:tan(α+β)=3tanα . [思路点拨] 2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α.

[证明] ∵sin(2α+β)=2sinβ, ∴sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α], ∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα =2sin(α+β)cosα-2cos(α+β)sinα, ∴3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα, ∴tan(α+β)=3tanα.

[规律总结] 1. 证明恒等式的方法: ①从左到右;②从右到左;③从两边化到同一式子. 原则上是化繁为简,必要时也可用分析法. 2. 三角恒等式的证明主要从两方面入手: (1)看角:分析角的差异,消除差异,向结果中的角 转化; (2)看函数:统一函数,向结果中的函数转化.

[变式探究3] 若tan α =2tan β +1.
2 2

求证:sin2β =2sin2α -1.
sin α sin β 证明:由已知得 2 =2· 2 +1, cos α cos β
2 2 2 sin2α sin β 即 =2· +1, 2 2 1-sin α 1-sin β

sin2α sin2β+1 即 = , 2 2 1-sin α 1-sin β 即sin2α-sin2αsin2β=sin2β+1-sin2α-sin2α sin2β. ∴sin β=2sin α-1,即等式成立.
2 2

课堂小结

1.三角函数式的化简 (1)三角函数式的化简原则一是统一角,二是统一函 数名.能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约 分. (2)三角函数式化简的要求 ①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最 少;③尽量使项数最少;④尽量使分母不含三角函数; ⑤尽量使被开方数不含三角函数.

(3)三角函数化简的方法主要是弦切互化,异名化同 名,异角化同角,降幂或升幂. 2.三角函数式的求值 已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一 般思路为: (1)先化简所求式子; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数 名及角入手);

(3)将已知条件代入所求式子,化简求值. 3. 三角函数式的证明 (1)着眼于“统一”:角的形式、函数名称、次数 等. (2)着眼于“转化”:化繁为简.

■ ?考点自测? ■ α 1 1. 已知cosα = ,α ∈(π,2π ),则cos 等于( 3 2 6 A. 3 3 C. 3
答案:B

)

6 B. - 3 3 D. - 3

α π 1 解析:∵cosα= ,α∈(π,2π),∴ ∈( , 3 2 2 α
1+cosα =- 2 1 1+ 3 6 =- . 2 3

π),∴cos 2 =-

5 2. 已知θ是第三象限的角,且sin θ +cos θ = ,那 9
4 4

么sin2θ 的值为( 2 2 A. 3 2 C. 3
答案:A

) 2 2 B. - 3 2 D. - 3

解析:∵sin4θ+cos4θ 5 =(sin θ+cos θ) -2sin θcos θ= , 9
2 2 2 2 2

8 8 2 ∴4sin θcos θ= ,即sin 2θ= . 9 9
2 2

3 ∵π+2kπ<θ< π+2kπ(k∈Z), 2 ∴2π+4kπ<2θ<3π+4kπ(k∈Z),∴sin2θ= 2 2 . 3

sinα cosα 2 3. 已知 =1,tan(α-β)=- ,则tan(β- 3 1-cos2α 2α)=________.
1 答案: 8

sinαcosα sinαcosα 解析:由已知 =1,得 1-cos2α 1-(1-2sin2α) cosα = =1, 2sinα 1 2 ∴tanα= ,又tan(α-β)=- , 2 3

∴tan(β-2α)=-tan[(α-β)+α] tan(α-β)+tanα =- 1-tan(α-β)tanα 2 1 - + 3 2 1 =- = . 2 1 8 1-(- )? 3 2

α 3 4 4. 已知sinα = ,cosα =- ,则tan 的值为 5 5 2 ________.
答案:3
1-cosα 解析:tan = = = = 2 α α α sinα cos 2sin ·cos 2 2 2 2 2 4 1+ 5 =3. 3 5

α

sin

α

2sin

2

α

5.

1+tanα 若 1-tanα

1 =2013,则 cos2α

+tan2α =

________.
答案:2013
1+sin2α (cosα+sinα)2 1 解析: +tan2α= = cos2α cos2α cos2α-sin2α cosα+sinα 1+tanα = = =2013. cosα-sinα 1-tanα

创新演练·当堂冲关

4 1. [2010·新课标全国卷]若cosα =- ,α 是第三象 5 α 1+tan 2 限的角,则 =( α 1-tan 2 1 A. - 2 C. 2
答案:A

)

1 B. 2 D. -2

4 3 解析:∵cosα=- 且α为第三象限角,∴sinα=- . 5 5 sin

α
2

1+ α α α α cos 1+tan 2 cos 2 +sin 2 2 而 = = α α α α 1-tan sin cos -sin 2 2 2 2 1- α cos 2

(cos +sin ) 1+sinα 2 2 1 = = = =- . 4 2 α α cosα 2 2 - cos -sin 5 2 2

α

α

2

2 5

2. ( )

2 [2010·全国Ⅱ]已知sinα = ,则cos(π-2α)= 3

5 A. - 3 1 C. 9
答案:B

1 B. - 9 5 D. 3

解析:由cos(π-2α)=-cos2α=2sin2α-1 22 1 =2?( ) -1=- . 3 9

1 3. tan15°+ =( tan15° A. 2 C. 4
答案:C

)

B. 2+ 3 4 3 D. 3

sin15° 1 解析:方法一:tan15°+ = + tan15° cos15° cos15° sin15° 1 2 = = =4. cos15°sin15° sin30°

方法二:tan15°+ 1 sin30° 1+cos30°

1 tan15°



1-cos30° sin30°



1-cos30° 1+cos30° 2 = + = =4. sin30° sin30° sin30°

θ θ 4. 已知 是第四象限角,且cos = 2 2 等于( ) 2 1+x B. x 2 -1-x D. x

1+x ,则sinθ x

2 1+x A. - x 2 1-x C. - x
答案:D

解析: 是第四象限角,sin =- 2 2 ∴sinθ=2sin cos =-2 2 2 =-2 -1-x -1-x =2 . 2 x x

θ

θ

1 - (x<0), x 1+x x

θ

θ

1 - · x

3 5. [2012·长沙模拟]已知α为第二象限角,sinα = , 5 则tan2α =________.
24 答案:- 7

3 解析:由α为第二象限角,sinα= , 5 4 3 ∴cosα=- ,∴tanα=- , 5 4 3 - 2tanα 2 24 ∴tan2α= = =- . 9 7 1-tan2α 1- 16


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