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高三一轮知识点及练习 1.2常用逻辑用语


1.2 常用逻辑用语 【考纲要求】 1、常用逻辑用语 (1)了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. (2)全称量词与存在量词:① 理解全称量词与存在量词的意义; ② 能正确地对含有一个量词的命题进 行否定。 【基础知识】 一、逻辑联结词 逻辑联结词: “或” “且” “非” 简单命题:不含逻辑联结词的命题 复合命题:由简单命题和逻辑联结词构成的命题。有三种形式: p ? q (读作“ p 且 q ” 、 p ? q (读作 ) “ p 或 q ”、 ? p (读作“非 p ” ) ) 二、复合命题的真假 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 口诀:真“非”假,假“非”真,一真“或”为真,两真“且”才真。 三、全称命题与特称命题 1、全称量词:类似“所有”这样的量词,并用符号“ ? ”表示。 2、全称命题:含有全称量词的命题。其结构一般为: ? x ? M , p ( x ) 3、存在量词:类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词,并用符号“ ? ”表示。 4、特称命题:含有存在量词的命题。其结构一般为: ? x ? M , p ( x ) 四、全称命题与特称命题的否定 1、命题的否定和命题的否命题的区别 命题 p 的否定 :即 ? p ,指对命题 p 的结论的否定。 命题 p 的否命题:指的是对命题 p 的条件和结论的同时否定。 2、全称命题的否定 全称命题 p : ? x ? M , p ( x ) 特称命题 p : ? x ? M , p ( x ) 全称命题 p 的否定( ? p ) ? x ? M , ? p ( x ) : 特称命题的否定 ? p : ? x ? M , ? p ( x )

所以全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题。 五、常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有 n 个 至多有( n ? 1 )个 小于 不小于 至多有 n 个 至少有( n ? 1 )个 对所有 x , 存在某 x , 成立 不成立 p 或q ?p 且?q 对任何 x , 不成立 存在某 x , 成立
p 且q ?p 或?q

六、温馨提示 1、对逻辑联接词“或”的理解:数学中的联接词“或”与生活用语中的“或”的含义不尽相同,生活用语 中的“或”带有“不可同时兼有”的意思,而数学中的联接词“或”含有“可同时兼有”的含义,它与并集概 念中的“或”含义相同。 2、含有一个量词的全称命题的否定是特称命题,含有一个量词的特称命题的否定是全称命题。 3、命题与集合的关系:命题的“或” “且” “非”对应集合的“并” “交” “补” 。 【例题精讲】 例 1 写出下列命题的否定,并判断真假. (1)?x∈R,x +x+1>0; (2)?x∈Q, 1 2 1 x + x+1 是有理数; 3 2
2

(3)?α 、β ∈R,使 sin(α +β )=sinα +sinβ ; (4)?x,y∈Z,使 3x-2y≠10. 【解析】(1)的否定是“?x∈R,x +x+1≤0”.假命题. 1 2 1 (2)的否定是“?x∈Q, x + x+1 不是有理数”.假命题. 3 2 (3)的否定是“?α ,β ∈R,使 sin(α +β )≠sinα +sinβ ”.假命题. (4)的否定是“?x,y∈Z,使 3x-2y=10”.假命题. 例 2 设有两个命题:p:x -2x+2≥m 的解集为 R;q:函数 f(x)=-(7-3m) 是减函数,若这两个命题中 有且只有一个是真命题,求实数 m 的取值范围. 【解析】若命题 p 为真命题,可知 m≤1; 若命题 q 为真命题,则 7-3m>1,即 m<2. 所以命题 p 和 q 中有且只有一个是真命题时,有 p 真 q 假或 p 假 q 真,即 ? 例3
2 2 x 2

?m ? 1

? m>1 或 ? ?m ? 2 ? m<2

?1 ? m ? 2

已知 m∈R, P:1 和 x2 是方程 x -ax-2=0 的两个根, 设 x 不等式|m-5|≤|x1-x2|对任意实数 a∈[1,2] 4 2 恒成立;Q:函数 f(x)=3x +2mx+m+ 有两个不同的零点.求使“P 且 Q”为真命题的实数 m 的取值范 3 围.

【解析】由题设 x1+x2=a,x1x2=-2, ∴|x1-x2|= (x1+x2) -4x1x2= a +8. 当 a∈[1,2]时, a +8的最小值为 3. 要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数 a∈[1,2]恒成立,只须|m-5|≤3,即 2≤m≤8. 4 2 由已知,得 f(x)=3x +2mx+m+ =0 的判别式 3 4 2 2 Δ =4m -12(m+ )=4m -12m-16>0, 3 得 m<-1 或 m>4. 综上,要使“P∧Q”为真命题,只需 P 真 Q 真,即
?2 ≤ m ≤ 8 ?2 ≤ m ≤ 8 , ? , ? ? m ? ? 1或 m ? 4 ? m ? ? 1或 m ? 4
2 2 2

解得实数 m 的取值范围是(4,8].

1.2 常用逻辑用语强化训练 【基础精练】 1、下列命题不是全称命题的是 A.在三角形中,三内角之和为 180° C.对于实数 a、b,|a-1|+|b-1|>0
? 2、已知命题 p:x∈A∪B,则 ? p 是

(

)

B.对任意非正数 c,若 a≤b+c,则 a≤b D.存在实数 x,使 x -3x+2=0 成立 ( ) D.x∈A∩B
f (x)
2

A.x?A∩B 3、命题
? ? p :若 a ? b ? 0
f (x)

B.x?A 或 x?B
? 与b

C.x?A 且 x?B

? ,则 a

的夹角为钝角。命题 q :定义域为 R 的函数 )

在 (? ? , 0 ) 及 (0, ? ? ) 上

都是增函数,则

在 ( ? ? , ? ? ) 上是增函数。下列说法正确的是(

A. p 或 q ”是真命题 “ B. p 且 q ”是假命题 “ ? p ”为假命题 C. “ D. ? q ”为假命题 “ 4、命题“?两个向量 p、q,使得|p·q|=|p|·|q|”的否定是 5、写出下列命题的否定,并判断真假. (1)?x∈R,x +x+1>0; (2)?x∈Q, 1 2 1 x + x+1 是有理数; 3 2
2

(3)?α 、β ∈R,使 sin(α +β )=sinα +sinβ ; (4)?x,y∈Z,使 3x-2y≠10.

6、 设有两个命题:p:x -2x+2≥m 的解集为 R;q:函数 f(x)=-(7-3m) 是减函数,若这两个命题中 有且只有一个是真命题,求实数 m 的取值范围.

2

x

【拓展提高】 2 1 已知 m∈R,设 P:x1 和 x2 是方程 x -ax-2=0 的两个根,不等式|m-5|≤|x1-x2| 4 2 对任意实数 a∈ [1,2]恒成立;Q:函数 f(x)=3x +2mx+m+ 有两个不同的零点.求使“P 且 Q”为真命题的实 3 数 m 的取值范围.

2 已知函数 f ( x ) ? | 2 x ? 1 | ? | x ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小值;

2 | ?2 x

(x?R ) ,

(Ⅱ) 已知 m ? R , 命题 p: 关于 x 的不等式

f (x) ? m

2

? 2m ? 2

对任意 x ? R 恒成立; 命题 q: 指数函数 y

? (m

2

? 1)

x

是增函数.若“p 或 q”为真, 且 q”为假,求实数 m 的取值范围. “p

【基础精练参考答案】 1.D【解析】有全称命题的定义知选 D,D 是特称命题。 2.C【解析】由 x∈A∪B 知 x∈A 或 x∈B.所以选 C 3.B【解析】由题得命题 题 q 是假命题,如函数 y ? ?
p

是假命题,因为当向量 a ?b ? ? 1 ? 0 时,两个向量的夹角为 1 8 0 0 , 不是钝角。命 。所以选 B.

?

?

1 x

4.?两个向量 p、q,均有|p·q|≠|p|·|q|【解析】因为特称命题 p : ? x ? M , p ( x ) ,特称命题的否定
? p : ? x ? M , ? p ( x ) 所以填?两个向量 p、q,均有|p·q|≠|p|·|q|。

5. 【解析】(1)的否定是“?x∈R,x +x+1≤0”.假命题. 1 2 1 (2)的否定是“?x∈Q, x + x+1 不是有理数”.假命题. 3 2 (3)的否定是“?α ,β ∈R,使 sin(α +β )≠sinα +sinβ ”.假命题. (4)的否定是“?x,y∈Z,使 3x-2y=10”.假命题. 6. 【解析】若命题 p 为真命题,可知 m≤1;若命题 q 为真命题,则 7-3m>1,即 m<2. 所以命题 p 和 q 中有且只有一个是真命题时,有 p 真 q 假或 p 假 q 真,即 ? 【拓展提高参考答案】
?m ? 1 ? m>1 或 ? ?m ? 2 ? m<2 ?1 ? m ? 2

2

2.【解析】 (Ⅰ)由

f ( x ) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 | ? 2 x




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