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数乘向量教学设计(1)


数乘向量教学设计
【教学目标】 1. 通过实例掌握数乘向量的运算,并理解其几何意义,掌握数乘向量运算的运算律. 2. 理解并掌握平行向量基本定理. 3. 通过教学,养成学生规范的作图习惯,培养学生数形结合的能力. 【教学重点】 数乘向量运算及运算律与平行向量基本定理. 【教学难点】 对数乘向量定义与平行向量基本定理的理解. . 【教学过程】 环节 教学内容 1.已知非零向量 a,求作: (1) a+a+a; (2) (-a)+(-a)+(-a). a a a a -a -a -a 学生观察解答. 师生互动 教师提出问题, 引 入课题. 设计意图 在向量加法的 基础上引入数乘向 量的定义,符合学生 认知规律,有利于概 念的同化.

导 入

请观察 3a 与-3a 是否还是一个向量,它的长 度与方向有何变化. → 2.已知 AB ,把线段 AB → 三等分,分点为 P,Q,则 AP , → → → AQ , BP 与 AB 的关系如何? A Q P B

新 课

1.数乘向量的定义 实数 λ 和向量 a 的乘积是一个向量, 记作 λa. 教师由具体例子引 向量 λa ( a≠0,λ≠0)的长度与方向规定为: 导学生得到数乘向量的 (1) | λa |=| λ | | a |; (2) 当 λ>0 时,λa 与 a 的方向相同;当 λ< 定义. 0 时,λa 与 a 的方向相反. 当 λ=0 时,0a=0;当 a=0 时,λ0=0. 2.数乘向量的几何意义 把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向,长 度放大或缩小. 如 2a 的几何意义就是沿着向量 a 的方向, 长度放大到原来的 2 倍. 练习一

培养学生由特 殊到一般的归纳总 结能力. 紧扣向量的两 要素分析定义,便于 理解数乘向量的几 何意义.

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下册

1 1 任作向量 a,再作出向量-3a, a,- a,并 2 3 说出它们的几何意义. 3.数乘向量运算的运算律 设 λ,μ?R,有: (1) (λ+μ)a=λa+μa; (2) λ(μa)=(λμ)a; (3) λ(a+b)=λa+λb. 请观察, 数乘向量运算律与实数乘法运算律有 什么相似之处? 例 1 计算下列各式: 1 (1)(-2)? a; 2 (2)2(a+b)-3(a-b); (3)(?+?)(a-b)-(?-?)(a+b) . 新 课 解 (1)(-2)? 1 1 a=(-2? ) a=-a; 2 2 师生合作完成. 类比学习. 师生合作完成.

教师提出问题. 学生观察解答.

(2)2 (a+b)-3 (a-b) =2 a-3 a+2 b+3 b =(2-3) a+(2+3) b =-a+5 b. (3)(?+?)(a-b)-(?-?)(a+b) =(?+?)a-(?+?)b-(?-?)a-(?-?)b =(?+?-?+?)a-(?+?+?-?)b =2?a-2?b. 练习二 化简: (1)2(a-b)+3(a+b); 1 1 (2) (a+b)+ (a-b). 2 2 例2 设x是未知向量,解方程 5 (x+a)+3 (x-b)=0. 解 原式可变形为 5x+5a+3x-3b=0, 8 x=-5a+3b, 5 3 x=- a+ b. 8 8

学生练习巩固. 教师引导学生完 成.

有实数运算法 则做基础,学生解 决这部分题目很容 易,提醒学生向量 上加箭头.

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练习三 解关于x的方程: (1) 3(a+x)=x; (2) x+2(a+x)=0. 学生练习巩固.

→ → → → 例3 已知OA?=3 OA ,A?B?=3 AB ,说明向量 → → OB 与OB?的关系. 解 因为 教师给出问题并 引导学生解答. 学生根据向量加 法的三角形法则及数 乘向量定义完成解答. 新 课 → → → =3( OA + AB )=3 OB . → → → 所以OB?与 OB 共线且同方向,长度是 OB 的 3 倍. 由本例引入平 行向量定理,由特 殊到一般,便于学 生接受.

→ → → → → OB?=OA?+A?B?=3 OA +3 AB

4.平行向量基本定理 如果 a=λb,则 a//b;反之如果 a//b,且 b≠0, 教师由上例引导学 则一定存在一个实数 λ,使 a=λb. 例如,如果 a=2b,则 a//b;如果 c=-2b, 生推广到一般的平行向 则 c//b;如果 d//b,且 d 的长度是 b 的一半,并 量. 1 且方向相反,则 d=- b. 2 a 1 - b 2 b 2b c -2b

5.非零向量 a 的单位向量 与 a 同方向且长度为 1 的向量,称为非零向 量 a 的单位向量.易知,a 的单位向量为 a . |a|

例4

若MN是△ABC 的中位线,求证: 1 MN= BC,且MN∥BC. 2 教师引导学生分 析. 本题是首次应 用向量知识来解决 平面几何问题,对 学生来说有些难

证明 因为M,N是AB,AC边上的中点,所以

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下册

→ 1→ → 1→ AM= AB , AN = AC , 2 2 新 课 → → → 1→ 1→ MN= AN -AM= AC - AB 2 2 1 → → 1→ = ( AC - AB )= BC . 2 2 1 所以MN= BC,且MN ∥BC. 2

度,教师须根据向 量的运算法则详细 讲解.

练习四 已知点 D 是线段 BC 的中点, 求证: → 1→ → AD = ( AB + AC ). 2 1.数乘向量的定义及其几何意义. 2.数乘向量运算律. 3.平行向量基本定理. 4.单位向量. 学生练习巩固. 师生合作. 梳理总结也可 针对学生薄弱或易 错处进行强调和总 结.

小 结

作 业

教材 P13,练习 第 1、2 题.

巩固.

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