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§3.2 立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系


§ 3.2 立体几何中的向量方法(一) ——空间向量与平行关系
课时目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量,并能运用它们证明平行问题.2.能 用向量语言表述线线,线面,面面的平行关系.

1.直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线________或______的向量,一条直线的方向向量有 ________个. 2.平面的法向量 直线 l⊥α,取直线 l 的____________a,则向量 a 叫做平面 α 的__________. 3.空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行 设直线 l,m 的方向向量分别为 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),且 a2b2c2≠0,则 l∥ m?______________?__________?________________________. (2)线面平行 设直线 l 的方向向量为 a=(a1,1,1), b c 平面 α 的法向量为 u=(a2,2,2), l∥α?________ b c 则 ?__________?________________________. (3)面面平行 设平面 α,β 的法向量分别为 u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),则 α∥β?__________ ?__________?________________________.

一、选择题 1.若 n=(2,-3,1)是平面 α 的一个法向量,则下列向量能作为平面 α 的一个法向量的 是( ) A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1) 2.若 A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线 l 上,则直线 l 的一个方向向量为( ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 3.已知平面 α 上的两个向量 a=(2,3,1),b=(5,6,4),则平面 α 的一个法向量为( ) A.(1,-1,1) B.(2,-1,1) C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1) 4. 从点 A(2, -1,7)沿向量 a=(8,9, -12)的方向取线段长 AB=34, B 点的坐标为( 则 ) A.(-9,-7,7) B.(18,17,-17) C.(9,7,-7) D.(-14,-19,31) 5.

在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B、AC 的中点,则 MN 与平 面 BB1C1C 的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 6.已知线段 AB 的两端点的坐标为 A(9,-3,4),B(9,2,1),则与线段 AB 平行的坐标平面 是( )

A.xOy C.yOz

B.xOz D.xOy 或 yOz

二、填空题 7 . 已 知 A(1,0,0) , B(0,1,0) , C(0,0,1) , 则 平 面 ABC 的 单 位 法 向 量 坐 标 为 ________________________. 1 8.已知直线 l 的方向向量为(2,m,1),平面 α 的法向量为?1,2,2?,且 l∥α,则 m= ? ? ________. 9.

如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、P、Q 分别为棱 AB、CD、BC 的中点, 若平行六面体的各棱长均相等,则 ①A1M∥D1P; ②A1M∥B1Q; ③A1M∥面 DCC1D1; ④A1M∥面 D1PQB1. 以上结论中正确的是________.(填写正确的序号) 三、解答题 10.已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 α 的一个法向 量.

11.

如图所示,在空间图形 P—ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC=2,在四边形 ABCD 中, CD∥AB,∠ABC=∠BCD=90° ,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,且 PB=4PM,∠PBC =30° ,求证:CM∥平面 PAD.

【能力提升】 12.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥平面 ODC1.

13.

如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD 中,∠ABC=60° ,PA⊥平面 ABCD,PA=AC =a, E 在 PD 上, PE∶ED=2∶1.在棱 PC 上是否存在一点 F, BF∥平面 AEC? 点 且 使 证明你的结论.

平行关系的常用证法

(1)证明线线平行只需要证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系,如证明 AB∥CD → → 只需证AB=λCD.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直, 然后说 明直线在平面外.证面面平行可转化证两面的法向量平行. (2)证明线面平行问题或面面平行问题时也可利用立体几何中的定理转化为线线平行问 题,再利用向量进行证明.

§ 3.2 立体几何中的向量方法(一) ——空间向量与平行关系
知识梳理 1.平行 重合 无数 2.方向向量 法向量 a1 b1 c1 3.(1)a∥b a=λb = = (a b c ≠0) a2 b2 c2 2 2 2 (2)a⊥u a· u=0 a1a2+b1b2+c1c2=0 a1 b1 c1 (3)u∥v u=kv = = (a b c ≠0) a2 b2 c2 2 2 2 作业设计 1.D [只要是与向量 n 共线且非零的向量都可以作为平面 α 的法向量.故选 D.] → → 2.A [∵AB=(2,4,6),而与AB共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量,故选 A.] ?a· ? n=0, 3.C [显然 a 与 b 不平行,设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z),则? ∴ ? n=0, ?b·
? ?2x+3y+z=0, ? ?5x+6y+4z=0. ?

令 z=1,得 x=-2,y=1,∴n=(-2,1,1).] → 4.B [设 B(x,y,z),AB=(x-2,y+1,z-7) =λ(8,9,-12),λ>0. 故 x-2=8λ,y+1=9λ,z-7=-12λ, 又(x-2)2+(y+1)2+(z-7)2=342, 得(17λ)2=342,∵λ>0,∴λ=2. ∴x=18,y=17,z=-17,即 B(18,17,-17).] → → 5.B [可以建立空间直角坐标系,通过平面的法向量AB和MN的关系判断.] → 6.C [AB=(0,5,-3),AB 与平面 yOz 平行.] 3 3 3 3 3 3 7.? , , ?或?- ,- ,- ? 3 3? ? 3 3 3? ?3 8.-8 解析 ∵l∥α,∴l 的方向向量与 α 的法向量垂直. 1 ? 1 ∴(2,m,1)·1,2,2?=2+ m+2=0,∴m=-8. ? ? 2 9.①③④ → → → → → → 解析 ∵A1M=AM-AA1=DP-DD1=D1P, ∴A1M∥D1P. ∵D1P? 面 D1PQB1,∴A1M∥面 D1PQB1. 又 D1P? 面 DCC1D1,∴A1M∥面 DCC1D1. ∵B1Q 为平面 DCC1D1 的斜线, ∴B1Q 与 D1P 不平行,∴A1M 与 B1Q 不平行. 10.解 ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),

→ → ∴AB=(1,-2,-4),AC=(2,-4,-3), 设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z). → → 依题意,应有 n· =0,n· =0. AB AC ? ? ?x-2y-4z=0 ?x=2y 即? ,解得? . ? ? ?2x-4y-3z=0 ?z=0 令 y=1,则 x=2. ∴平面 α 的一个法向量为 n=(2,1,0). 11.证明 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz. 方法一 ∵∠PBC=30° ,PC=2, ∴BC=2 3,PB=4.

于是 D(1,0,0),C(0,0,0),A(4,2 3,0),P(0,0,2). ∵PB=4PM,∴PM=1, 3 3 M?0, , ?. 2 2? ? 3 3 → → → → → → ∴CM=?0, , ?,DP=(-1,0,2),DA=(3,2 3,0).设CM=xDP+yDA,其中 x,y∈R. 2 2? ? 3 3 则?0, , ?=x(-1,0,2)+y(3,2 3,0). 2 2? ?

?2 3y= 3 2 ∴? ?2x=3 2

-x+3y=0 3 1 ,解得 x= ,y= . 4 4

→ 3→ 1→ → → → ∴CM= DP+ DA,∴CM,DP,DA共面. 4 4 ∵CM?平面 PAD,∴CM∥平面 PAD. 3 3 → → → 方法二 由方法一可得CM=?0, , ?,DP=(-1,0,2),DA=(3,2 3,0).设平面 PAD 2 2? ? 的法向量为 n=(x,y,z),

则有

?-x+2z=0 ,即? . ?3x+2 3y=0

1 3 令 x=1,解得 z= ,y=- . 2 2 3 1 故 n=?1,- , ?. 2 2? ? 3 3 ? 3 1 → 又∵CM· ?0, , ?·1,- , ?=0. n= 2 2? ? 2 2? ? → ∴CM⊥n,又 CM?平面 PAD. ∴CM∥平面 PAD. → → 12.证明 方法一 ∵B1C=A1D,B1?A1D, ∴B1C∥A1D,又 A1D? 平面 ODC1,

∴B1C∥平面 ODC1. → → → 方法二 ∵B1C=B1C 1+B1B → → → → → → =B1O+OC1+D1O+OD=OC1+OD. → → → ∴B1C,OC1,OD共面. 又 B1C?平面 ODC1,∴B1C∥平面 ODC1. 方法三

建系如图,设正方体的棱长为 1,则可得 B1(1,1,1),C(0,1,0), 1 1 O?2,2,1?,C1(0,1,1), ? ? → B1C=(-1,0,-1), 1 → ? 1 OD=?-2,-2,-1?, ? 1 1 ? → OC1=?-2,2,0?. ? 设平面 ODC1 的法向量为 n=(x0,y0,z0),



?-2x -2y -z =0, 得? 1 1 ?-2x +2y =0, ②
1 1
0 0 0 0 0



令 x0=1,得 y0=1,z0=-1,∴n=(1,1,-1). → 又B1C· n=-1× 1+0× 1+(-1)× (-1)=0, → ∴B1C⊥n,且 B1C?平面 ODC1, ∴B1C∥平面 ODC1. 13.解 方法一 当 F 是棱 PC 的中点时,BF∥平面 AEC. → → 1→ → 1 → → ∵BF=BC+ CP=AD+ (CD+DP) 2 2 → 1→ → 3→ → =AD+ (AD-AC)+ (AE-AD) 2 2 3→ 1→ = AE- AC. 2 2 → → → ∴BF、AE、AC共面. 又 BF?平面 AEC, ∴BF∥平面 AEC. 方法二

如图,以 A 为坐标原点,直线 AD、AP 分别为 y 轴、z 轴,过 A 点垂直于平面 PAD 的直 线为 x 轴,建立空间直角坐标系. 由题意,知相关各点的坐标分别为 A(0,0,0), 3 1 3 1 B? a,- a,0?,C? a, a,0?, 2 2 2 2 ? ? ? ? ?0,2a,1a?. D(0,a,0),P(0,0,a),E? 3 3 ? 2 1 3 1 → → 所以AE=?0,3a,3a?,AC=? a, a,0?, ? ? 2 ?2 ? → → ? 3 1 ?, AP=(0,0,a),PC= ? 2 a,2a,-a? 3 1 ? a, a,a . 2 2 ? 设点 F 是棱 PC 上的点, 1 → → ? 3 ?,其中 0<λ<1, PF=λPC= ? 2 aλ,2aλ,-aλ? → → → 则BF=BP+PF 3 1 =? a?λ-1?, a?1+λ?,a?1-λ??, 2 ?2 ? → → → 令BF=λ1AC+λ2AE →

BP=?-

?

? ?1+λ=λ +4λ , 3 即? ?1-λ=1λ . ? 3
1 2 2

λ-1=λ1,

1 1 3 解得 λ= ,λ1=- ,λ2= , 2 2 2 1 1→ 3→ → 即 λ= 时,BF=- AC+ AE, 2 2 2 → → → 即 F 是 PC 的中点时,BF、AC、AE共面. 又 BF?平面 AEC,所以当 F 是棱 PC 的中点时,

BF∥平面 AEC.


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