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吉林省东北师范大学附属中学高中数学 2.4.3.3空间向量求解角度与距离教案 新人教A版必修2


课题:2.4.3.3 空间向量求角度与距离
教材分析: 角和距离是几何中的基本度量, 几何问题和一些实际问题经常设计角和距离, 空间坐标 系中可以用代数方法解决角度与距离,比找证求的方法更加适用。 课 型: 新授课 教学要求:使学生熟练掌握空间角度与距离的求法. 教学重点:公式的应用. 教学难点:公式的应用. 教学过程: 一.复习提问: 1.空间向量坐标,两点间的距离公式. 2. (1)用法向量求异面直线间的距离 如右图所示,a、b 是两异面直线, n 是 a 和 b 的法向量,点 E∈a,F∈b,则异面直线

a 与 b 之间的距离是 d ?

EF ? n n


(2)用法向量求点到平面的距离 A 如右图所示,已知 AB 是平面α 的 一条斜线, n 为平

n
C α B

面α 的法向量,则 A 到平面α 的距离为 d ?

AB ? n


n

(3)用法向量求直线到平面间的距离 首先必须确定直线与平面平行, 然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面 的距离问题. (4)用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行, 这时可以在一个平面上任取一点, 将两平面间的距离 问题转化成点到平面的距离问题。 z (5)用法向量求二面角 二.例题讲解: 例题 1. 如图 6, 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的 棱长为 2,点 E 是正方形 BCC1B1 的中心,点 F 、 G1 E1

G 分别是棱 C1D1 , AA1 的中点. 设点 E1 , G1 分别是
点 E , G 在平面 DCC1D1 内的正投影. x

y

(1)求以 E 为顶点,以四边形 FGAE 在平面 DCC1D1 内的正投影为底面边界的棱锥 的体积;

1

(2)证明:直线 FG1 ? 平面 FEE1 ; (3)求异面直线 E1G1与EA 所成角的正弦值. 解: (1) 依题作点 E 、G 在平面 DCC1D1 内的正投影 E1 、G1 , 则 E1 、G1 分别为 CC1 、DD1

ED 、 的中点, 连结 EE1 、 则所求为四棱锥 E ? DE1 FG1 的体积, 其底面 DE1 FG1 EG1 、 DE1 ,
面积为

1 1 ? 2 ? 2 ? ? 1? 2 ? 2 , 2 2 1 2 又 EE1 ? 面 DE1 FG1 , EE1 ? 1 ,∴ V E ? DE1FG1 ? S DE1FG1 ? EE1 ? . 3 3

S DE1FG1 ? S Rt?E1FG1 ? S Rt?DG1E1 ?

(2)以 D 为坐标原点, DA 、 DC 、DD1 所在直线分别作 x 轴, y 轴, z 轴,得 E1 (0,2,1) 、

G1 (0,0,1) , 又 G(2,0,1) , F (0,1,2) , E (1,2,1) , 则 FG1 ? (0,?1,?1) , FE ? (1,1,?1) ,

FE1 ? (0,1,?1) ,
∴ FG1 ? FE ? 0 ? (?1) ? 1 ? 0 , FG1 ? FE1 ? 0 ? (?1) ? 1 ? 0 , 即 FG1 ? FE ,

FG1 ? FE1 ,
又 FE1 ? FE ? F ,∴ FG1 ? 平面 FEE1 . (3) E1G1 ? (0,?2,0) , EA ? (1,?2,?1) ,则 cos ? E1G1 , EA ??

E1G1 ? EA E1G1 EA

?

2 6

,设异

面直线 E1G1与EA 所成角为 ? ,则 sin ? ? 1 ?

2 3 ? . 3 3
z D1 A1 C1

例题 2.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 为 棱 AB 的中点。 求:D1E 与平面 BC1D 所成角的大小(用余弦值表示) 解析:建立坐标系如图, 则 A ? 2,0,0 ? 、 B ? 2,2,0 ? , C ? 0,2,0 ? ,

B1

A1 ? 2,0,2? , B1 ? 2,2,2? , D1 ? 0,0,2? , E ? 2,1,0? ,
???? ? AC ? ? ?2,2, ?2? , 1 ???? ? ??? ? ??? ? ? D1E ? ? 2,1, ?2? , AB ? ? 0,2,0? , BB1 ? ? 0,0,2? 。
A x

D

y C E B

2

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? A1C ?D1 E 3 不难证明 A1C 为平面 BC1D 的法向量,∵ cos A1C , D1 E ? ???? 。 ? ???? ? ? 9 A1C D1 E



D1E 与平面 BC1D 所成的角的余弦值为

3 。点评:将异面直线间的夹角转化为空间 9

向量的夹角。 例题 3.在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=a,E 为 BC 中点。 (1)求平面 PDE 与平面 PAB 所成二面角的大小(用正切值表示); (2)求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小. 解析: (1) 延长 AB、 DE 交于点 F, 则 PF 为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的棱, ∵PA⊥ 平面 ABCD,∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面 BPA 于 A, 过 A 作 AO⊥PF 于 O,连结 OD,则∠AOD 即为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的平面角。 易得 tan?AOD ?

5 5 ,故平面 PDE 与平 PAD 所成二面角的正切值为 ; 2 2

(2)解法 1(面积法)如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A, ∴DA⊥平面 BPA 于 A, 同时,BC⊥平面 BPA 于 B, ∴△PBA 是△PCD 在平面 PBA 上的射影, 设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为 θ , cosθ =S△PAB/S△PCD= /2 θ =45 。
0

即平面 BAP 与平面 PDC 所成的二面角的大小为 45°。 解法 2(补形化为定义法) 如图:将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体 ABCD-PQMN,则 PQ⊥PA、 PD,于是∠APD 是两面所成二面角的平面角。 在 Rt△PAD 中,PA=AD,则∠APD=45°。即平面 BAP 与平面 PDC 所成二面角的大小为 45°。 三:巩固练习: 四.小结 1.这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要 组成部分, 学习时要深刻理解它们的含义, 并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识 (特别是余弦定理)熟练解题。特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来,这 里要特别注意平面角的探求;
3

2.把空间问题转化为平面问题,从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个 基本步骤:“作”、“证”、“算”。 3.求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点: ①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离, 一般情况下, 力求明确所求角或距离的 位置; ②作线面角的方法除平移外, 补形也是常用的方法之一; 求线面角的关键是寻找两 “足” (斜足与垂足) ,而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理; ③求二面角高考中每年必考,复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种: 根据定义或图形特征作;根据三垂线定理(或其逆定理)作,难点在于找到面的垂线。 解决办法,先找面面垂直,利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线;作棱的垂面。 作二面角的平面角应把握先找后作的原则。此外在解答题中一般不用公式“cosθ =

S? ”求二面角否则要适当扣分。 S
④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法, 利用直接法求距离需找到点在面内的 射影, 此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质。 而间接法中常用的是等积法 及转移法; ⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离, 然后将所求量 置于一个三角形中,通过解三角形最终求得所需的角与距离。 4.注意数学中的转化思想的运用 (1)常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置; (2)常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置; (3)常用割补法或等积(等面积或等体积)变换解决有关距离及体积问题。

五.作业 课后记:

4


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