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【高考导航】2018届高三数学理一轮复习第1章第3节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词


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CONTENTS
1 高考导航 考纲下载

第一章 集合与常用逻辑用语

2 3 4 5

主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
真题演练 明确考向

第三节 简单的逻辑联结词、
全称量词与存在量词

课时作业

1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 2.理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

[知识梳理] 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的 且 、 或 、 非 叫作逻辑联结词.

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

p

q

p且q p或q 非p 真 假 假 假 真 真 真 假 假 假 真 真

真 真 真 假 假 真 假 假

必记结论 1.真值表中“p且q”全真才真,“p或q”全假才假. 2.“或”“且”联结词的否定形式:“p或q”的否定是“非p且非q”;“p且 q”的否定是“非p或非q”.

2.全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,用 “ ? ”表示;含有全称量词的命题叫作全称命题. (2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量 词,用“ ? ”表示;含有存在量词的命题叫作特称命题.

必记结论 1.判定全称命题为真,需证明对任意x∈M,p(x)恒成立;判定全称 命题为假,我们只需找到一个x∈M,使p(x)不成立即可. 2.判定特称命题为真,只需找到一个x∈M,使p(x)成立即可;判定特称命题为 假,需证明对任意x∈M,p(x)均不成立.

3.含有一个量词的命题的否定
命题 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0) 命题的否定

?x0∈M,綈p(x0)

?x∈M,綈p(x)

必记结论

对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量

词的完整形式,再写出命题的否定,否则易出错.

[自主诊断] 1.已知命题p:所有有理数都是实数;命题q:正数的对数都是负数,则下列 命题中为真命题的是( D ) A.(綈p)∨q C.(綈p)∧(綈q) B.p∧q D. (綈p)∨(綈q)

解析:不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,从而上面叙述中只有(綈p) ∨(綈q)为真命题.

2.已知命题p:?x>0,总有(2x+3)ex>1,则綈p为( B ) A.?x0≤0,使得(2x0+3)ex0≤1 B.?x0>0,使得(2x0+3)ex0≤1 C.?x>0,总有(2x+3)ex≤1 D.?x≤0,总有(2x+3)ex≤1

解析:命题p为全称命题,所以綈p:?x0>0,使得(2x0+3)ex0≤1.

3.(2017· 山师大附中模拟)若命题p:?x∈R,log2x>0,命题q:?x0∈R,2x0 <0,则下列命题为真命题的是( A ) A.p∨(綈q) C.(綈p)∧q B.p∧q D.p∨q

解析:命题p和命题q都是假命题,则命题綈p和命题綈q都是真命题,故选A.

4.若命题“对?x∈R,kx2-kx-1<0”是真命题,则k的取值范围是
(-4,0] . ________

解析:“对?x∈R,kx2-kx-1<0”是真命题,当k=0时,则有-1<0;当 k≠0时,则有k<0且Δ=(-k)2-4×k×(-1)=k2+4k<0,解得-4<k<0,综 上所示,实数k的取值范围是(-4,0].

5.给出下列命题: ①?x∈N,x3>x2; ②所有可以被5整除的整数,末位数字都是0; ③?x0∈R,x2 0-x0+1≤0; ④存在一个四边形,它的对角线互相垂直.

①②③ . 则上述命题的否定中,真命题的序号为________

考点一

含逻辑联结词的命题及其真假判断
1.(1)已知命题p:?x∈R,3x>0;命题q: ?x0∈R,log 是( A )
1 2

x2 0 <0.则下列命题为真命题的

易知命题p是真命题;取x0=2, 则log122=-2,所以命题q是真
2

即时应用

命题,故选A.
A.p∧q C.(綈p)∧q B.(綈p)∨(綈q) D.p∧(綈q)

考点一
(2)(2017· 开封模拟 )已知命题 p1:?x∈ 1. “p∨q”“ p∧q”“ 綈p”形式命题真假的判断步骤 (0,+∞),3x>2x,p2:?θ∈R,sin θ+ (1)确定命题的构成形式; 3 (2) 判断命题 p,q的真假; cos θ= 2 ,则在命题 q1:p1∨p2;q2:p1∧
3 因为y=( 2 )x在R上是增函数,即

即时应用

3 x y = ( (3)根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假 2 ) >1.在(0,+∞)上恒成 p2;q3:(綈p1)∨p2和q4:p1∧(綈p2)中,真 立,所以命题p1是真命题;sin θ 2.含逻辑联结词命题真假的等价关系 (1)p∨q真?p,q至少一个真?(綈p)∧(綈q)假. +cos θ= 2sin(θ+π)≤ 2<3, 命题是( C ) 4 2 (2)p∨q假?p,q均假?(綈p)∧(綈q)真. A.q1,q3 B.q2,q3 所以命题p2是假命题,綈p2是真 (3)p∧q真?p,q均真?(綈p)∧(綈q)假. C. q1, q? Dp . q2(, 4 p,q至少一个假?(綈 (4) p∧ q假 )∨ 綈q q4 )真. 命题,所以命题q1:p1∨p2, (5)綈p真?p假;綈p假?p真. q4:p1∧(綈p2)是真命题,选C.

[即时应用 考点一 ]
1.命题p:关于x的不等式x2+2ax+4> 0,对一切x∈R恒成立;命题q:函数f(x) =(3-2a)x是增函数.若p或q为真,p且q
p为真:Δ=4a2-16<0,解得-2< a<2; q为真:3-2a>1,解得a<1. ∵p或q为真,p且q为假, ∴p,q一 真一假. ?-2<a<2, 当p真q假时, ? ? ?a≥1 1≤a<2; ?a≥2或a≤-2, 当p假q真时, ? ? ?a<1 a≤-2. ∴a的取值范围为[1,2)∪(-∞,- 2].

即时应用

为假,则实数a的取值范围为

[1,2)∪(-∞,-2] . ____________________

考点二

全称(特称)命题的否定及真假判断
2.(1)命题“存在φ0∈R,使得函数f(x)= 1 tan(πx+φ0)的图象关于点( ,0)对称”的否定 2 是( B ) A.存在φ0∈R,使得函数f(x)=tan(πx+φ0)的 1 图象都不关于点(2,0)对称 B.对任意的φ∈R,函数f(x)=tan(πx+φ)的 1 图象都不关于点(2,0)对称 C.对任意的φ∈R,函数f(x)=tan(πx+φ)的 1 图象都关于点( ,0)对称 2 D.存在φ0∈R,使得函数f(x)=tan(πx+φ0)的 1 图象关于点(2,0)不对称

所给命题是特称命题,因此其 否定一方面要把“特称”改 “全称”,另一方面要否定结 论,故其否定应该为“对任意 的φ∈R,函数f(x)=tan(πx+φ) 的图象都不关于点( 称”. 1 2 ,0)对

即时应用

考点二
(2)(2017· 西安质检)已知命题p:?x0∈R, log2(3x0+1)≤0,则( B 对含有量词的命题进行否定的方法 ) ∵3x>0,∴3x+1>1,则log2(3x (1)全称命题“?x∈M,p(x)”的否定为 “?x0∈M,綈 p(x0)”;特称命题“?x0 A.p是假命题;綈p:?x∈R,log2(3x+1)≤0 ∈M,p(x0)”的否定为“?x∈M,綈 p(x0)”. +1)>0,∴p是假命题;綈p:

即时应用

(2) 对含有存在 (全称 量词的命题进行否定需要两步操作: B. p是假命题; 綈p) : ?x∈R,log2(3x+1)>0 ①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词; ?x∈R,log2(3x+1)>0.故选B. ②将结论加以否定. x C.p是真命题;綈p:?x∈R,log2(3 +1)≤0 (3)这类问题常见的错误是没有变换量词,或者对于结论没给予否定.有些命题中 的量词不明显,应注意挖掘其隐含的量词. D. p是真命题;綈p:?x∈R,log2(3x+1)>0 (4) 常见词语的否定形式有
对任意 x∈A 使 p(x) 真 否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在 x0∈A 使 p(x0)假 原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个

考点二
2.已知命题p:?x>0,总有(x+1)ex> 1,则綈p为( B )

由全称命题“?x∈M,p(x)”的 否定为“?x0∈M,綈p(x0)”, 可得綈p:?x0>0,使得(x0+ 1)ex0≤1.故选B.

即时应用

A.?x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1 B.?x0>0,使得(x0+1)ex0≤1 C.?x>0,使得(x+1)ex≤1 D.?x≤0,使得(x+1)ex≤1

考点三

与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题

3.(2017· 济南模拟)给定命题p:对任意实数x,都有ax2+ax +1>0成立;命题q:关于x的方程x -x+a=0有实数根,
2

当p为真命题时,对任意实数x都 有ax2+ax+1>0成立?a=0或
?a>0, ? ∴0≤a<4. Δ < 0 , ?

1 [0,4] . 若p∧q为真,则a的取值范围是________

当q为真命题时,关于x的方程x2 -x+a=0有实数根?Δ=1- 1 4a≥0,∴a≤4. 1 p∧q为真时,0≤a≤4.

考点三
变式点1 若p∨q为真,问题不变.
由本例中知p∨q为真,分三种情 况: ①p真q假;②p假q真;③p、q均为 真,
? 1 ? 0 ≤ a < 4 , a > 即? ? 4 ?

答案:(-∞,4)

a<0或a≥4, 0≤a<4, ? ? ? ? 或? 1 或? 1 a≤4 a≤4. ? ? ? ? ∴a<4.

考点三
变式点2 变. 若p∨q为真命题,p∧q为假命题,问题不

1 ? 答案:(-∞,0)∪ 4,4? ? ?

? ? ? ?

∵p∨以命题真假为依据求 q为真命题,p∧q 为假命 题,参数的取值范围的步骤 ∴p,q一真一假. ∴若p真q假,则有0≤a<4,且 (1)要对两个简单命题进行化 1 1 a > ,∴ 简; 4 4<a<4; 若p假q真,则有 (2)判断“p或q”“p且q”“綈 ? ?a<0或a≥4, ∴a<0. ? 1 a≤ ? p 形式命题的真假; 4, ?” 故实数 a的取值范围为(-∞ , 0) (3) 列出含有参数的不等式 (组 )求 ?1 ? ? 解即可. ∪?4,4? ?. ? ?

常考带有逻辑联结词的命题真假判断及全称命题与存在性命题的否定.多以选 择、填空题形式考查,难度中档偏下. 1.(2016· 高考浙江卷)命题“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是 ( D ) A.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2 B.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2 C.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2 D.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2

解析:由于特称命题的否定形式是全称命题,全称命题的否定形式是特称命 题,所以“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式为“?x∈R,?n∈ N*,使得n<x2”.

2.(2015· 高考浙江卷)命题“?n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( D ) A.?n∈N*,f(n)?N*且f(n)>n B.?n∈N*,f(n)?N*或f(n)>n

C.?n0∈N*,f(n0)?N*且f(n0)>n0 D.?n0∈N*,f(n0)?N*或f(n0)>n0
解析:全称命题的否定为特称命题,因此命题“?n∈N*,f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定形式是“?n0∈N*,f(n0)?N*或f(n0)>n0”.

3.(2015· 高考全国Ⅰ卷)设命题p:?n∈N,n2>2n,则綈p为( C ) A.?n∈N,n2>2n B.?n∈N,n2≤2n C.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n

解析:命题p是一个特称命题,其否定是全称命题,故选C.

4.(2014· 高考湖南卷)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2 >y2,在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q中,真命题是( C ) A.①③ C.②③ B.①④ D.②④

解析:由不等式的性质可知,命题p是真命题,命题q为假命题,故①p∧q为 假命题,②p∨q为真命题,③綈q为真命题,则p∧(綈q)为真命题,④綈p为 假命题,则(綈p)∨q为假命题,所以选C.

5.(2013· 高考四川卷)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p: ?x∈A,2x∈B,则( C ) A.綈p:?x∈A,2x∈B C.綈p:?x∈A,2x?B B.綈p:?x?A,2x∈B D.綈p:?x?A,2x?B

解析:由命题的否定易知选C,注意要把全称量词改为存在量词.

π? 6.(2015· 高考山东卷)若“?x∈ 0,4? ? ,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小 ?
1 值为________ .

? ? ? ?

π 解析:∵0≤x≤4,∴0≤tan x≤1, π? ∵“?x∈ 0,4? ?,tan x≤m”是真命题. ? ∴m≥1.∴实数m的最小值为1.
? ? ? ?


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