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平面向量的坐标运算 教案


平面向量的坐标运算 教案

教学目标 1.理解平面向量的坐标表示方法,包括起点是坐标原点的向量坐标 表示法,起点不是坐标原点的向量坐标表示法、相等向量的坐标表示法. 2.掌握已知平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示法. 教学重点和难点 重点:平面向量的坐标表示法,特别是起点不是坐标原点的向量坐 标表示法.平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标运算. 难点

:起点不是坐标原点的向量的坐标表示. 教学过程设计 (一) 复习平面向量的基本定理: 如果 一向量 、 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内任 =λ
1

,有且只有一对实数 λ 1、λ 2,使

、λ

2

.这里



表示这一平面内的一组基底.平面向量的基本定理说明:同一平面内 任一向量都可沿两个不共线的基底进行分解. (二)导入新课 1.平面向量的坐标表示 在直角坐标平面内, 分别取与 x 轴、 轴方向相同的两个单位向量 y 作为基底,由平面向量基本定理,对平面内任一向量 对实数 x,y,使 = 、

,有且只有一

x

+y

.我们把(x,y)叫向量 在 y 轴上的坐标.

的(直角)坐标.其中 x 叫

在x

轴上的坐标.y 叫

=(x,y)叫向量的坐标表示.

(1)目前我们已掌握了向量的三种表示方法:

表示法是向量的代数表示法,它有利于向量的运算. (2)根据向量可以平移的观点, 平面内与向量 为(x,y). 相等的向量的坐标也

(3)显然:

=(1,0),

=(0,1),

=(0,0).

(4)在坐标平面内设

=x

+y

,向量

的坐标为(x,y),这 的坐标.因此,

就是点 A 的坐标,反过来点 A 的坐标(x,y)就是向量

在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表 示. (5)设 A 点的坐标为(x1,y1),B 点坐标为(x2,y2)

2.平面向量的坐标运算 (Ⅰ)向量的加法:已知向量 和: =(x1,y1), =(x2,y2).两向量的



=(x1

+y1

)+(x2

+y2

)

=(x1+x2)

+(y1+y2)



(Ⅱ)向量的减法:已知向量 差:

=(x1,y1),

=(x2,y2).两向量的



=(x1

+y1

)-(x2

+y2

)

=(x1-x2)

+(y1-y2)



(Ⅲ)实数与向量的积:已知向量 λ

=(x,y)和实数 λ . .

=λ (x

+y

)=λ x

,λ y

(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与 差.实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. (2)根据向量差的坐标运算, 我们可以得到起点不是原点的向量的坐 标表示. 设 A 点(x1,y1),B 点(x2,y2). 求向量 的坐标.

作向量









.即

=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).

由此得到:一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐 标减去始点坐标. (三)学生课堂练习 (黑板板演,加课堂练习) 1.课本练习 3.已知 A、B 两点的坐标,求 、 的坐标.

(1) (-9,1). (3) 5,0).

=(3,4),

=(-3,-4).(2)

=(9,-1),



=(0,2),

=(0,-2). (4)

=(5,0),

=(-

2.课本练习 1 (1) + =(3,6), =(7,-5) (3) + =(0, 0), =(3,-4). 3.课本练习 2 -2 4.课本练习 4 ∴ AB∥CD. (四)教师讲解例题,巩固提高 例 1 已知 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别为(-2,1),(- 1,3),(3,4),求顶点 D 的坐标. 分析:平行四边形 ABCD 中, = .由此来确定 D 点的坐标. +4 - =(-7,2).(2) + =(1,11),





=(4, 6). (4)

+

=(3, 4),



=(-6,-8),4

+3

=(12,5). = .

=(1,-1),

=(1,-1),

解:设 D 点坐标为(x,y). =(1,2), =(3-x,4-y).





. (1,2)=(3-x,4-y).

∴D 点坐标为(2,2). 例 2 已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2,3),以 为一组基底来表示 分析: 向量 + + =λ +
1



+ + +λ
2



. 的坐标可求出, 、 的坐标可求出. 设

.可求出 λ 1、λ 2. =(-4,2), =(-5,1).

解: +

=(-3,5), +

=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). =(2,4).

=(1,3),





=λ

1

+λ

2



(-12,8)=λ 1(1,3)+λ 2(2,4)=(λ 1+2λ 2,3λ 1+4λ 2).







=32

-22



(五)小结:教师总结重点内容 1.向量的坐标表示 =(x,y).

2.起点不是原点的向量的坐标求法,A(xA,yA),B(xB,yB), (xB-xA,yB-yA).



一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点 坐标.

3.向量的坐标运算 + λ ·

=(x1,y1), -

=(x2,y2). (x1-x2,y1-y2).

=(x1+x2,y1+y2), =(λ x1,λ y1).

(六)作业


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