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【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题5 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积 文


第1讲

空间几何体的三视图、表面积与体积

空间几何体的三视图 1.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( B )

解析:由题意知,选项 A,C 中所给的几何体的正视图、俯视图不符合要求,选项 D 中所给几何 体的侧视图不符合要求.故选 B. 2.(2014 福建卷)某空间几何体的正视图是三角形,则

该几何体不可能是( A ) (A)圆柱 (B)圆锥 (C)四面体 (D)三棱柱 解析:圆柱的正视图是矩形或圆,不可能是三角形,则该几何体不可能是圆柱.故选 A. 3.(2014 湖北卷 )在如图所示的空间直角坐标系 O xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是 (0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和 俯视图分别为( D )

(A)①和② (B)③和① (C)④和③ (D)④和② 解析:在空间直角坐标系 O xyz 中作出棱长为 2 的正方体,在该正方体中作出四面体,如图所 示,由图可知,该四面体的正视图为④,俯视图为②.故选 D.

1

4.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个 面中,直角三角形的个数为( D )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图中三棱锥 A BCD,利用长方 体模型可知,此三棱锥的四个面,全部是直角三角形.故选 D.

空间几何体的表面积与体积 5.(2015 新课标全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问 题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为“在屋内墙角处堆 放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的 体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放 的米约有( B )

(A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛 解析:设圆锥底面半径为 r, 因为米堆底部弧长为 8 尺, 所以 r=8,r= ≈ (尺), 所以米堆的体积为 V= × ×π ×( ) ×5≈
2

(立方尺),

又 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 所以该米堆有 ÷1.62≈22(斛),选 B.

2

6.(2015 新课标全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为( D )

(A) (B) (C) (D) 解析:由三视图可知,该几何体是一个正方体截去了一个三棱锥 ,即截去了正方体的一个角. 设正方体的棱长为 1,则正方体的体积为 1,截去的三棱锥的体积为 V1= × ×1×1×1= ,故剩

余部分的体积为 V2= ,

所求比值为 = .

7.(2015 河北沧州质检)已知一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为 俯视图的面积为( B )

,则其

(A)π +2 (B)2π +4

(C)2π +6

(D) π +4

解析:三视图所对应的空间几何体为一半圆锥拼接一三棱锥, 因为 V= × ×π a ×4+ × ×2a×a×4
2

= a (π +2)

2

=

,

3

所以 a =4, 所以俯视图的面积为 π a + ·2a·a=2π +4,故选 B. 8.(2015 大庆市二检)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画的是某几何体的三视图,则 该几何体的表面积为( A )
2

2

(A)32+4π (C)12+

(B)24+4π (D)24+

解析:该几何体为长方体与球的组合体,其中长方体的棱长分别为 2,2,3,球的半径为 1,故其 2 表面积为 2×2×2+2×3×4+4×π ×1 =32+4π ,故选 A. 多面体与球的切接问题 9.(2015 东北三校联合二模)一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为等腰直角三角形, 正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则此三棱锥外接球的表面积为( B )

(A)16π (B)9π (C)4π (D)π 解析:由三视图可知立体图形如图所示.

由 三 视 图 知 顶 点 A 在 底 面 BCD 上 的 射 影 E 为 BD 中 点 ,AE ⊥ 底 面 BCD,BC ⊥ CD,BC=CD=2,BD=2 ,AE=2,

设 O 为外接球球心,AO=R,OE=2-R, 则 AB=
2

=

,
2 2

在 Rt△BOE 中 R =(2-R) +( 因为 S=4π R ,
2

) ,得 R= ,

4

所以此三棱锥外接球的表面积为 9π . 10.(2015 甘肃兰州第二次监测)已知长方体 ABCD A1B1C1D1 的各个顶点都在球 O 的球面上,若 球 O 的表面积为 16π ,且 AB∶AD∶AA1= (A)1 (B) (C) (D)2
2

∶1∶2,则球心 O 到平面 ABCD 的距离为(

B )

解析:设外接球 O 的半径为 R,则 4π R =16π , 所以 R=2, 由题意知长方体的对角线为球的直径, 又 AB∶AD∶AA1= 设 AD=x,AB= 则 x +( 解得 x=
2 2

∶1∶2,

x,AA1=2x,
2 2

x) +(2x) =4 , ,

球心 O 到平面 ABCD 的距离为 AA1=x=

,选 B.

11.(2015 江西上饶三模)从点 P 出发的三条射线 PA,PB,PC 两两成 60°角,且分别与球 O 相 切于 A,B,C 三点,若 OP= ,则球的体积为( C )

(A) (B)

(C)

(D)

解析:设 OP 交平面 ABC 于 O′,

由题得△ABC 和△PAB 为正三角形, 所以 O′A= AB= AP, 因为 AO′⊥PO,OA⊥PA, 所以 = , = , = ,

所以 OA=

=

× =1,

即球的半径为 1,

5

所以其体积为 π ×1 = π .选 C. 12.(2015 东北三校第一次联合模拟)三棱柱 ABC A1B1C1 各顶点都在一个球面上,侧棱与底面 垂直,∠ACB=120°,CA=CB=2 ,AA1=4,则这个球的表面积为 .

3

解析:在△ABC 中,∠ACB=120°, CA=CB=2 ,

由余弦定理可得 AB=6, 由正弦定理可得△ABC 外接圆半径 r=2 设此圆圆心为 O′,球心为 O, 在 Rt△OAO′中,球半径 R= 故球的表面积为 S=4π R =64π . 答案:64π
2

,

=4,

一、选择题 1.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是(

D )

解析:根据几何体的三视图知识求解. 由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部是一个矩形,矩形中间无实线和虚线,因此俯视 图不可能是选项 D. 2.(2015 河南模拟)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且其体积为 , 则该几何体的俯视图可以是( D )

6

解析:根据正视图与侧视图的形状和几何体的体积是 ,

知底面积是 , 所以底面是一个半径为 1 的四分之一圆,故选 D. 3.(2015 河南六市第二次联考)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中侧视图是一个边 长为 2 的正三角形,则这个几何体的体积是( B )

(A)2 cm (B)

3

cm

3

(C)3

cm

3

(D)3 cm

3

解析:由三视图可知几何体如图所示,

其侧面 PCB 与底面垂直,且△PCB 为边长为 2 的正三角形, 底面为直角梯形,上底为 1,下底为 2,高为 2, 所以四棱锥的体积为 V= × ×(1+2)×2× ×2= .

4.(2015 赤峰模拟)已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图,俯视图是边长为 2 的正三 角形,侧视图是一直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图面积为( B )

(A)

(B)2

(C)4

(D)

解析:三棱锥的正视图如图所示,

7

所以该三棱锥的正视图面积= ×2×2=2. 故选 B. 5.(2015 太原市高三模拟)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是扇形,则该几何体 的体积为( B )

(A)4π

(B)2π

(C)

(D)

解析:由正视图可知该几何体的高为 H=3,其俯视图如图,

OA=OB=2,AC=

,AC⊥OB,

所以∠AOB= ,弧 AB 的长为 ,

所以扇形面积为 S= ×2× = ,

所以几何体的体积为 V=3× =2π . 选 B. 6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( B )

(A)6+

(B)7+

(C)8+

(D)7+2

解析:由三视图可知该几何体是底面为直角梯形(梯形上底长为 1,下底长为 2,高为 1),高为 1 的直棱柱,故其表面积为 1×1×2+ ×(1+2)×1×2+1×2+1× =7+ .

8

故选 B. 7.(2015 黑龙江高三模拟)一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都 如图所示.图中圆内有一个以圆心为中心边长为 1 的正方形.则这个四面体的外接球的表面 积是( B )

(A)π (B)3π (C)4π (D)6π 解析:由三视图可知,该四面体是正方体的一个内接正四面体 ,且正方体的棱长为 1,所以内 接正方体的对角线长为 ,即球的直径为 ,所以球的表面积为 S=4π ×( ) =3π ,故选 B.
2

8.(2015 辽宁沈阳高三一模)已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中,所有棱的长都为 3,顶点都在同一球 面上,则该球的表面积为( B ) (A)9π (B)21π (C)33π (D)45π 解析:如图,因为所有棱的长都为 3,

所以 OO1= , OA 即为其外接球的半径 R, 又 AO1= × ×3= ,

所以 R =O

2

+A
2

=( ) +(

2

)= ,

2

所以 S 球=4π R =21π . 故选 B. 9.(2015 河南六市联考)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是(

D )

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

9

解析:由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,

四边形 ABCD 为直角梯形,上底为 2,下底为 4,高为 2, 且 OA,AB,AD 两两垂直,OA=2, 所以该几何体的体积为 V= × ×2=4.

选 D. 10.(2015 郑州第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形, 则 xy 的最大值为( C )

(A)32

(B)32

(C)64

(D)64

解析:设三棱锥的高为 h,则根据三视图可得

所以 x +y =128, 因为 x>0,y>0, 2 2 所以 x +y ≥2xy,所以 xy≤64, 当且仅当 x=y=8 时取“=”号, 故 xy 的最大值为 64.选 C. 11.(2015 广西南宁二模)已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面 积为( B )

2

2

(A)24π (B)6π (C)4π (D)2π 解析:依题意知,该几何体是一个如图所示的三棱锥 A BCD,

10

其中 AB⊥平面 BCD,AB= BC=CD= ,BD=2,

,

将该三棱锥补成一个正方体, 则有(2R) =(
2

) +(

2

) +(

2

) =6,

2

所以 R= ,

所以外接球的表面积为 S=4π R =4π ×( ) =6π . 选 B. 12.(2015 唐山市一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( C

2

2

)

(A)4

(B)21+

(C)3

+12

(D)

+12

解析:根据三视图可知该几何体是正六边形截得的正方体下方的几何体,

因为正方体的棱长为 2, 所以根据分割的正方体的 2 个几何体的对称性得, S1= ×6×2 =12,
2

11

正六边形的面积为 6× ×(

) =3

2

,

所以该几何体的表面积为 12+3

.选 C.

二、填空题 13.(2015 广西南宁二模)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2,若它们 的侧面积相等且 = ,则 的值是 .

解析:设两个圆柱的底面半径分别为 r1,r2,高分别为 h1,h2, 则由题意知, = = · = ,①

又 2π r1·h1=2π r2·h2, 所以 = ,②

把②代入①可得, = ,

所以 =( ) =( ) = .

2

2

答案: 14.(2015 辽宁沈阳高三一模)已知某多面体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰 长为 4 的等腰直角三角形,正视图为直角梯形,则此多面体最长的一条棱长为 .

解析:由三视图知,该几何体是一个四棱锥, 如图所示,其底面是直角梯形,AD=4,AB=4,OA=4,BC=1,

12

则 OD= CD= OB= OC=

= =5, = = ,

,

=

, .

故多面体最长的一条棱长为 答案:

15.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

.

解析:由三视图知,几何体由一个四棱锥与四棱柱组成, 则体积 V= ×2×2×1+1×1×2= .

答案:

16.(2015 大连市高三一模)如图,半球内有一内接正四棱锥 S ABCD,该四棱锥的体积为 该半球的体积为 .

,则

13

解析:设球的半径为 R,则底面 ABCD 的面积为 2R , 因为半球内有一内接正四棱锥 S ABCD, 该四棱锥的体积为 ,

2

所以 ×2R ×R=

2

,所以 R =2

3

,

所以该半球的体积为 V= × π R =

3

π.

答案:

π

14


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