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2013-2014学年北京海淀区高二上学期期末考试理科数学试卷


2013-2014 学年北京海淀区高二上学期期末考试理科数学试 卷

一、选择题 1.抛物线 y 2 ? 2 x 的准线方程是 ( (A) x = )

1 2

(B) y =

1 2

(C) x = -

1 2

(D) y = -



1 2

2.若直线 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则实数 a ? ( (A) ?

)

1 2

(B) ?2

(C)

1 2

(D) 2

3.在四面体 O - ABC 中,点 P 为棱 BC 的中点. 设 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,那 么向量 AP 用基底 {a, b, c} 可表示为( )

(A) ?

1 1 1 a+ b? c 2 2 2 1 1 b? c 2 2

(B) ?a +

1 1 b? c 2 2

(C) a +

(D)

1 1 1 a+ b? c 2 2 2


4.已知直线 l ,平面 ? .则“ l ? ? ”是“ ? 直线 m ? ? , l ? m ”的( (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 5. 若方程 A. B. 表示焦点在 C. 轴上的椭圆, 则实数 D.

的取值范围是 (



6.已知命题 p : 椭圆的离心率 e ? (0,1) ,命题 q : 与抛物线只有一个公共点的直线是此 抛物线的切线,那么( (A) p ? q 是真命题 (C) (?p) ? q 是真命题 ) (B) p ? (?q) 是真命题 (D) p ? q 是假命题
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7.若焦距为 4 的双曲线的两条渐近线互相垂直,则此双曲线的实轴长为( (A) 4 2 (B) 4 (C) 2 2 (D) 2



8. 如图所示, 在正方体 ABCD ? A 点 E 是棱 CC1 上的一个动点, 平面 BED1 1B 1C1D 1 中, 交棱 AA1 于点 F .则下列命题中假命题 是( ... )

(A)存在点 E ,使得 (B)存在点 E ,使得

AC 1 1 //平面 BED 1F B1D ? 平面 BED1F
AC 1 1 D ? 平面 BED 1F

(C)对于任意的点 E ,平面

(D)对于任意的点 E ,四棱锥 二、填空题

B1 ? BED1F 的体积均不变

, 9 . 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 a = ( 2-

1, 3, ) b = (- 4, 2, x) . 若 a ^ b , 则

x=

. .

10.过点 (1,1) 且与圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 相切的直线方程是

11.已知抛物线 C : y 2 ? 4 x , O 为坐标原点, F 为 C 的焦点, P 是 C 上一点. 若

?OPF 是等腰三角形,则 PO =

.

12.已知点 F1 , F2 是双曲线 C 的两个焦点,过点 F2 的直线交双曲线 C 的一支于 A, B 两 点,若 ?ABF1 为等边三角形,则双曲线 C 的离心率为 .

13.如图所示,已知点 P 是正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 A 1D 1 上的一个动点,设异面 直线 AB 与 CP 所成的角为 ? ,则 cos ? 的最小值是 .

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14.曲线 C 是平面内与定点 F (2,0) 和定直线 x ? ?2 的距离的积等于 4 的点的轨迹.给出 下列四个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于 x 轴对称; ③曲线 C 与 y 轴有 3 个交点; ④若点 M 在曲线 C 上,则

MF

的最小值为 2( 2 ? 1) .

其中,所有正确结论的序号是___________. 三、解答题 15.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(4, 0) ,动点 M 在 y 轴上的正射影为点 N , 且满足直线 MO ? NA . (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)当 ?MOA ?

π 时,求直线 NA 的方程. 6

16.已知椭圆 C : 3x2 ? y 2 ? 12 ,直线 x ? y ? 2 ? 0 交椭圆 C 于 A, B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的焦点坐标及长轴长; (Ⅱ)求以线段 AB 为直径的圆的方程. 17.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, PB ? BC ,

PD ? DC ,且 PC ? 3 .

(Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 B ? PD ? C 的余弦值; (Ⅲ)棱 PD 上是否存在一点 E ,使直线 EC 与平面 BCD 所成的角是 30 ?若存在, 求 PE 的长;若不存在,请说明理由.
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18. 已知椭圆 M :

2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过如下五个点中的三个点:P ), 1 ( ?1, ? 2 a b 2

1 2 2 ) , P4 (1, ),P P2 (0,1) , P3 ( , 5 (1,1) . 2 2 2
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设点 A 为椭圆 M 的左顶点, B, C 为椭圆 M 上不同于点 A 的两点,若原点在

?ABC 的外部,且 ?ABC 为直角三角形,求 ?ABC 面积的最大值.

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析: 由抛物线方程可知,p ? 1 , 焦点在 x 轴正半轴, 所以其准线方程为 x ? ? 故 C 正确。 考点:抛物线准线方程。 2.D 【解析】 试题分析:因两直线平行,所以 ? 考点:两直线平行。 3.B 【解析】 试题分析:由向量减法的三角形法则可知 AP ? OP ? OA ,因为 P 为棱 BC 的中点,由向量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 可 知

p 1 ?? 。 2 2

1 1

a 1 ,解得 a ? 2 。故 D 正确。 ? 2 3

OP ?

1 OB ? OC 2

?

?







A ? P

O? P

1 ? O A 2

?

??

O B?

1 1 O ? C ? OB ? 正确。 A ?a 。故 2 2

b

c

考点:平面向量加法法则。 4.A 【解析】 试题分析:当 l ? ? 时, m ? ? ,则 l ? m ;当 ? 直线 m ? ? ,l ? m 时,l ? ? 或直线 l 与 l?m” 平面 ? 平行或直线 l 与平面 ? 相交但不一定垂直。 所以 “l ? ? ” 是 “ ? 直线 m ? ? , 的充分不必要条件。故 A 正确。 考点:1、线面垂直判定定理;2、线面位置关系。 5.D 【解析】 试题分析:将椭圆方程变形为

1 1 x2 y2 ? 0 ,解 ? ? 1,当焦点在 x 轴上时则有 ? 1 1 m 2?m m 2?m

得 0 ? m ? 1 。故 D 正确。 考点:椭圆的标准方程。 6.B 【解析】

c a 2 ? b2 b2 b2 a ? b ? 1 ? 2 ,因为 试题分析:椭圆的离心率 e ? ? ,所以 0 ? 2 ? 1 ,所 a a a2 a
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b2 b2 以 0 ? 1 ? 2 ? 1 ,所以 0 ? 1 ? 2 ? 1 ,即 0 ? e ? 1 ,所以命题 p 是真命题,则 ? p 是假 a a
命题。 当直线是抛物线的对称轴时直线与抛物线只有一个交点, 但此时直线不是抛物线的切 线,所以命题 q 是假命题, ? q 是真命题。 p ? q 真假判断口诀“有假则假” ; p ? q 真假判 断口诀“有真则真” 。 综上可知 p ? q 是假命题; p ? q 是真命题; (?p) ? q 是假命题; p ? (?q) 是真命题。故 B 正确。 考点:1、椭圆离心率;2、直线与抛物线的位置关系;3、复合命题真假判断。 7.C 【解析】 试题分析: 因为双曲线的两条渐近线互相垂直, 则此双曲线为等轴双曲线。 因为焦距 2c ? 4 ,
2 2 2 2 所以 c ? 2 。 因为 a ? b , 所以 c ? a ? b ? 2a , 解得 a ?

所以实轴长为 2a ? 2 2 。 2,

故 C 正确。 考点:等轴双曲线。 8.B 【解析】

EF , 试题分析:当点 E 为 CC1 的中点时,由对称性可知 F 也是 AA1 的中点,此时 AC 1 1 //
因为 AC 1 1 ? 面BED 1F , EF ? 面BED 1 F ,所以 AC 1 // 面BED 1F ,故 A 正确; 假设 B1D ? 面BED1F ,因为 BD1 ? 面BED1F ,所以 B1D ? BD1 。所以四边形 BB1D1D 为 菱形或正方形,即 BD=B1B 。因为 ABCD ? A 1B 1C1D 1 为正方体所以 BD= 2B 1B 。所以假 设不成立。故 B 不正确。 因为 A1B1C1D1 为正方形, 所以 AC 因为 BB1 ? 面A AC 1 1 ?B 1D 1, 1B 1C1 D 1, 1 1 ? 面A 1B 1C1D 1, 所以 BB1 ? AC 因为 B1D1 1 1, 所以 AC 因为 BD1 ? 面BB1D1D , BB1 ? B1 , 1 1 ? 面BB 1D 1D 。

所以 AC 1 ? A 1D ,因为 AC 1 1 1 1 ? BD 1 。同理可证 BD

A1D=A1 ,所以 BD1 ? 面AC 1 1 D ,因

为 BD1 ? 面BED1F ,所以 面BED1F ? 面AC 1 1 D 。故 C 正确。 设正方体边长为 a ,则 VB1 ? BED1F ? VD1 ? BB1F ? VD1 ? BEB1
3 ?1 1 ? a ? 2 ? ? ( ? a ? a) ? a ? ? 。故 D 正 ?3 2 ? 3

确。 考点:1、线线平行、线面平行;2、线线垂直、线面垂直;3、棱锥的体积。 9.

10 3

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【解析】 试题分析:因为 a ^ b ,所以 a ? b

2? ( 4)+ (- 1)? 2 3x = 0 ,解得 x =

10 。 3

考点:两空间向量垂直的数量积公式。 10. y ? 1 ? 0 【解析】 试题分析: 经验证点 A (1,1) 在圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 上, 圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心为 B (1,0) , 直线 AB 的斜率不存在,则所求切线的斜率为 0,又因为切线过点 (1,1) ,所以切线方程为

y = 1,即 y ? 1 ? 0 。
考点:圆的切线。 11.

3 或1 2

【解析】 试题分析: 由抛物线方程可知 F (1, 0) , 则 OF ? 1 。 设点 P 坐标为 (

y0 2 当O , y0 ) , F ? P F 4

时,由抛物线的定义可知 PF ?

y0 2 ? 1 ? 1 ,则 y0 ? 0 ,此时点 P 与原点重合故舍。当 4

OF ? OP 时, OP ? 1 。当 PF ? OP 时,由抛物线的定义可知 PF ?

y0 2 ? 1 ,所以 4

y0 2 y2 y2 3 ? 1 ? ( 0 )2 ? y0 2 ,解得 y0 2 ? 2 。所以 OP ? PF ? 0 ? 1 ? 。综上可得 PO = 4 2 4 4
3 或1 。 2
考点:1、抛物线的定义;2、抛物线的焦点坐标。 12. 3 【解析】 试题分析:由双曲线的对称性可知 F2 为 AB 的中点,又因为 ?ABF1 为等边三角形,所以

F1F2 ? AB 。设 ?ABF1 边长为 x ,所以

2c 4c ? sin 60 ,所以 x ? 。由双曲线的定义知 x 3

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c c 1 x 2c c ? 3。 ,即 a ? 。所以此双曲线方程为 e ? ? 2a ? x ? x ? ? c a 2 2 3 3 3
考点:1、双曲线的定义;2、双曲线的对称性;3、双曲线的离心率。 13.

3 3

【解析】 试题分析:因为 AB // CD ,所以 ?PCD 即为异面直线 AB 与 CP 所成的角为 ? 。因为

ABCD ? A 1B 1C 1D 1 是 正 方 体 , 所 以 CD ? 面ADD 1A 1 ,所以 1A 1 , 因 为 DP ? 面ADD
D C ? D P。所以 cos ? ?

CD CD CD 3 ,当 CP ? CA 。 ? ? 1 时, (cos ? ) min ? CP CA1 3CD 3

考点:1、异面直线所成的角;2、线面垂直、线线垂直。 14.①②④ 【解析】 试题分析:设 M ( x, y ) 曲线 C 上任意一点,则依题意可得 (x ? 2) ? y ? x ? 2 ? 4 ,将原
2 2

点代入验证,方程成立,说明曲线 C 过坐标原点,故①正确;把方程中的 x 不变,y 被-y 代 换,方程不变,说明曲线 C 关于 x 轴对称,故②正确;将 x?0 代入方程

(x ? 2)2 ? y 2 ? x ? 2 ? 4 可得 y ? 0 ,即方程只有一个根,所以③不正确;定点 F (2,0) 和
定直线 x ? ?2 可看做是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点和准线,设点 N 是抛物线上的任意一点,由 抛物线的定义可知点 N 到焦点和准线的距离相等,要使

MF

的最小值画图分析可知点

M ( x, y) 应在抛物线 y 2 ? 8x 的内侧且 x ? 2 ,当点 M ( x, y) 在 x 上时 MF 取得最小值,此
时 MF ? x ? 2 , 点 M 到直线 x ? ?2 的距离为 x ? 2 , 所以 x ? 2 ? x ? 2 ? 4 , 解得 x ? 2 2 , 此时 MF
min

? 2 2 ? 2 ? 2( 2 ? 1) 。故④正确。综上可得正确的是①②④。

考点:1、定义法求轨迹;2、对称问题;3、抛物线的定义;4、数形结合思想和转化思想。 15. (Ⅰ) y 2 ? 4 x ( x ? 0 ) ; (Ⅱ) 3x ? y ? 4 3 ? 0 或 3x ? y ? 4 3 ? 0 【解析】 试题分析: (Ⅰ)属直接法求轨迹问题,再根据 MO ? NA 列式子时,可根据直线垂直斜率 相乘等于 ?1列出方程,但需注意斜率存在与否的问题,还可转化为向量垂直问题,用数量 积为 0 列出方程 (因此法不用讨论故常选此法解决直线垂直问题) 。 因点 M 不能与原点重合

答案第 4 页,总 10 页

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故 x ? 0。 (Ⅱ) ?MOA ?

π ? 5? 即直线 OM 的倾斜角为 或 。故可求出直线 NA 的斜率, 6 6 6

由点斜式可求直线 NA 的方程。 试题解析:解: (Ⅰ)设 M ( x, y ) ,则 N (0, y ) , OM ? ( x, y) , NA ? (4, ? y) . 分 因为 直线 MO ? NA , 所以 OM ? NA ? 4x ? y 2 ? 0 ,即 y 2 ? 4 x . 所以 动点 M 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? 4 x ( x ? 0 ). (Ⅱ)当 ?MOA ? 4分 5分 2

π π 时,因为 MO ? NA ,所以 ?NAO ? . 6 3 π 2π 或 . 3 3
8分

所以 直线 AN 的倾斜角为

当直线 AN 的倾斜角为

π 时,直线 NA 的方程为 3x ? y ? 4 3 ? 0 ; 3 2π 时,直线 NA 的方程为 3x ? y ? 4 3 ? 0 . 3
1 2

当直线 AN 的倾斜角为

10 分

考点:1、求轨迹方程;2、直线方程的点斜式。
2 2 16. (Ⅰ)焦点坐标 (0, 2 2) , (0, ?2 2) ,长轴长 4 3 ; (Ⅱ) ( x ? ) ? ( y ? ) ?

3 2

9 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 将椭圆方程变形为标准方程, 即可知 a 2 , b 2 的值, 根据 a 2 ? b 2 ? c 2 可求 c 2 , 即可求出焦点坐标及长轴长。 (Ⅱ)将直线和椭圆方程联立,消去 y 得关于 x 的一元二次方 程,可求出两根,即为两交点的横坐标,分别代入直线方程可得交点的纵坐标。用中点坐标 公式可求中点即圆心的坐标,再用两点间距离公式可求半径。 试题解析:解: (Ⅰ)原方程等价于

x2 y 2 ? ? 1. 4 12
3分 5分

由方程可知: a 2 ? 12 , b2 ? 4 , c 2 ? a 2 ? b2 ? 8 , c ? 2 2 . 所以 椭圆 C 的焦点坐标为 (0, 2 2) , (0, ?2 2) ,长轴长 2 a 为 4 3 . (Ⅱ)由 ?

?3 x 2 ? y 2 ? 12, ? x ? y ? 2 ? 0,

可得: x ? x ? 2 ? 0 .
2

解得: x ? 2 或 x ? ?1 .
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所以 点 A, B 的坐标分别为 (2, 0) , (?1, ?3) . 所以 A, B 中点坐标为 ( , ? ) , | AB |?

7分 9分

1 2

3 2

(2 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3 2 .

所以 以线段 AB 为直径的圆的圆心坐标为 ( , ? ) ,半径为
2 2 所以 以线段 AB 为直径的圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ?

1 2

3 2

3 2 . 2
11 分

1 2

3 2

9 . 2

考点:1、椭圆的方程;2、直线与椭圆的相交弦问题;3、求圆的方程。 17. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先证 CD ? 平面 PAD 可得 CD ? PA 。同理可证 BC ? PA ,最后根据线 面垂直的判定定理可得 PA ? 平面 ABCD 。 (Ⅱ)可建系用空间向量法,先求边长得点的坐 标即可得向量的坐标。 先求面 PDC 和面 PDB 的法向量, 再求两个法向量所成角的余弦值。 两法向量所成的角与二面角相等或互补。 需观察图像的二面角的余弦值。 (Ⅲ) 假设棱 PD 上 存在点 E 满足条件。设 PE ? ? PD ? ? [0,1] 。在(Ⅱ)以求出面 PDB 的法向量,根据线面 角的定义可知直线 EC 与平面 BCD 所成的角正弦值等于 PE 与面 PDB 的法向量所成角的 余弦值的绝对值。列式求 ? ,若 ? ? [0,1] 则说明假设成立,否则假设不成立。 试题解析: (Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, CD ? AD . 因为 CD ? PD , AD 所以 CD ? 平面 PAD . 因为 PA ? 平面 PAD , 所以 CD ? PA . 同理, BC ? PA . 因为

6 ; (Ⅲ)存在, 2 ? 1 3

PD ? D ,
1分 2分

BC CD ? C ,
3分

所以 PA ? 平面 ABCD . (Ⅱ)解:连接 AC ,由(Ⅰ)知 PA ? 平面 ABCD .

因为 AC ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AC .
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4分

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因为 PC ? 3 , AC ? 2 , 所以 PA ? 1 . 分别以 AD , AB , AP 所在的直线分别为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 由题意可得: B(0,1,0) , D(1, 0, 0) , C (1,1, 0) , P(0, 0,1) . 所以 DC ? (0,1,0) , DP ? (?1,0,1) , BD ? (1, ?1,0) , BP ? (0, ?1,1) . 设平面 PDC 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) , 则?

? ?n ? DC ? 0, ? y ? 0, 即? 令 x ? 1 ,得 z ? 1 . ? x ? z ? 0. n ? DP ? 0 , ? ? ?

所以 n ? (1, 0,1) . 同理可求:平面 PDB 的一个法向量 m ? (1,1,1) . 所以 cos ? n, m ?? 6分

n?m 1? 0 ?1 6 . ? ? | n || m | 3 2? 3
6 . 3
8分

所以二面角 B ? PD ? C 的余弦值为 (Ⅲ)存在.理由如下:

若棱 PD 上存在点 E 满足条件,设 PE ? ? PD ? (?,0, ?? ) , ? ? [0,1] . 所以 EC ? PC ? PE ? (1,1, ?1) ? (?,0, ??) ? (1 ? ?,1, ? ?1) . 因为平面 BCD 的一个法向量为 AP ? (0,0,1) . 9分

所以 | cos ? EC , AP ?|?

EC ? AP EC AP

?

? ?1
2(1 ? ? ) 2 ? 1





1 2 . ? sin 30 ? , 解得: ? ? 1 ? 2 2 2(1 ? ? ) ? 1
2

? ?1

经检验 ? ? 1 ?

2 ? [0,1] . 2

所 以 棱 PD 上 存 在 点 E , 使 直 线 EC 与 平 面 B C D 所 成 的 角 是 30 , 此 时 PE 的 长 为

2 ?1 .

11 分
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考点:1、线线垂直、线面垂直;2、二面角;3、空间向量法解立体几何。 18. (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)因为 P 1 ( ?1, ?

8 x2 (Ⅱ) ? y 2 ? 1; 9 2

2 2 ) 和 P4 (1, ) 关于原点对称,由椭圆的对称性可知 2 2

P 1 ( ?1, ?

2 2 2 1 2 ) 和 P4 (1, ) 在椭圆上。因为 P4 (1, ) 在椭圆上则 P3 ( , )和P 5 (1,1) 不在 2 2 2 2 2

椭圆上。所以 P2 (0,1) 在椭圆上。解方程组可得 a 2 , b 2 的值。 (Ⅱ)需讨论哪个角为直角只讨 论 ?A 和 ?B 即可, 因为点 B, C 的位置没有固定,? C 和 ?B 的情况相同。 如当 ?A ? 90? 时, 设直线 BC : x ? ty ? m ,联立方程消去消去 y 得关于 x 的一元二次方程,由韦达定理得根与 系数的关系。根据 ?A ? 90? ,则直线垂直其斜率相乘等于 ?1,列式计算可得 m , m ? 0 则 说明原点在 ?ABC 的外部,符合条件,否则不符合条件舍掉。在求 ?ABC 面积时若采用先 求弦 AB 再求点 A 到 BC 的距离最后求面积的方法计算过于繁琐,所以求 ?ABC 的面积时 可用分割法,计算较简单。
2 ? ? 2? 2? 2? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (?1) 2 ? 2 ? 12 ? 2 ? 12 12 2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 知, 试题解析:解: (Ⅰ) 由 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a 2 b2 2 2 2

1 2 2 2 P3 ( , )和P ) , P2 (0,1) , P4 (1, ). 1 ( ?1, ? 5 (1,1) 不在椭圆 M 上,即椭圆 M 经过 P 2 2 2 2
于是 a2 ? 2, b2 ? 1 .

所以 椭圆 M 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1. 2

2分

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, (Ⅱ)①当 ?A ? 90? 时,设直线 BC : x ? ty ? m ,由 ? 得 ? x ? ty ? m,

(t 2 ? 2) y 2 ? 2tmy ? (m2 ? 2) ? 0 . 设 B( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) , 则 ? ? 16 ? 8m2 ? 8t 2 ? 0 ,
2tm ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? t ?2 ? 2 ?y y ? m ? 2. 1 2 ? t2 ? 2 ?

答案第 8 页,总 10 页

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所以 k AB k AC ?

y1 y2 y1 y2 ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 (ty1 ? m ? 2)(ty2 ? m ? 2)

?

y1 y2 t y1 y2 ? t (m ? 2)( y1 ? y2 ) ? (m ? 2)2
2

?

m? 2 ? ?1 . 2(m ? 2)
16 2 2 ? 8t 2 ? 0 ,所以 直线 BC : x ? ty ? ,此时 ? ? 16 ? . 9 3 3

于是 m ? ?

16 2 因为 y1 y2 ? ? 2 9 ? 0 ,故线段 BC 与 x 轴相交于 M (? , 0) ,即原点在线段 AM 的延 3 t ?2 长线上,即原点在 ?ABC 的外部,符合题设. 6分
所以 S?ABC ?

1 2 | AM | ? | y1 ? y2 |? | y1 ? y2 | 2 3

2 16 2t 2 2 ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? [( 32 ) 2 ? 4(? 2 9 )] 9 9 t ?2 t ?2

?

16 9t 2 ? 16 16 4t 4 ? 7t 2 8 ? 2 ? (4 ? )≤ . 2 4 2 81 (t ? 2) 81 t ? 4t ? 4 9
8 . 9
9分

当 t ? 0 时取到最大值

②当 ?A ? 90? 时,不妨设 ?B ? 90? .

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, ? 设直线 AB : x ? ty ? 2(t ? 0) ,由 ? 得 (t 2 ? 2) y2 ? 2 2ty ? 0 . ? ? x ? ty ? 2,
所以 y ? 0 或 y ?

2 2t . t2 ? 2

所以 B(

2t 2 ? 2 2 2 2t 2t 3 AB ? BC , ) BC : y ? ? tx ? ,由 ,可得直线 . t2 ? 2 t2 ? 2 t2 ? 2

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, 8t 2 (t 2 ? 1) ? 2 2 2 3 3 得 (t ? 2)(2t ? 1) y ? 2 2t y ? ?0. 由? 2t t2 ? 2 , ? y ? ?tx ? 2 t ?2 ?

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所以 yB yC ? ?

8t 2 (t 2 ? 1) ? 0. (t 2 ? 2)2 (2t 2 ? 1)
2t 2 , 0) . t2 ? 2

所以线段 BC 与 x 轴相交于 N (

显然原点在线段 AN 上,即原点在 ?ABC 的内部,不符合题设. 综上所述,所求的 ?ABC 面积的最大值为

8 . 9

12 分

考点:1、椭圆的对称性和方程;2、直线和椭圆的位置关系问题;3、三角形面积的求法。

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