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2015年上海市高三三模浦东新区数学试卷(文科含答案)


2015 年上海市高三三模浦东新区数学试卷(文科含答案) 2015.5
注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚; 2. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、填空题: (本大题满分 56 分,每小题 4 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题纸相应 的编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若集合 A ? x 1 ? x ? 3 ,集合 B ? x x ? 2 ,则 A 2.函数 f ( x) ? x 2 ,( x ? ?2) 的反函数是

?

?

?

?

B?

? ?1, 2



y ? ? x, ( x ? 4 ) .
x ? 2 y ? 1? 0 .

3.过点 (1, 0) 且与直线 2 x ? y ? 0 垂直的直线的方程

4.已知数列 ?an ? 为等比数列,前 n 项和为 S n ,且 a5 ? 2S 4 ? 3 , a6 ? 2S 5 ? 3 ,则此数 列的公比 q ?

3

. 1 .

5.如果复数 z 满足 z ? i ? z ? i ? 2 ( i 是虚数单位) ,则 | z | 的最大值为 6.函数 y ? cos x 的单调增区间为
2

[k? ?

?
2

, k? ] ( k ? Z )



4
7. 行列式 ?3

2

k
则实数 k = 4 中第 2 行第 1 列元素的代数余子式的值为 ?10 , ?2

5 ?1 1

?14



y2 ?1 8.设 F1 , F2 是双曲线 x ? 24
2

的两个焦点, 且 3 PF P 是双曲线上的一点, 1 ? 4 PF 2 ,

则 ?PF 1 F2 的周长 24



9.设 A 、 B 、C 、 D 是球面上的四个点,且在同一个平面内, AB ? BC ? CD ? DA ? 1 ,

球心到该平面的距离是球半径的

3 倍,则球的体积是 2

8 2? 3



10.从 3 名男生和 4 名女生中选出 4 人组成一个学习小组.若这 4 人中必须男女生都有的概 率为

34 35



11.数列 ?an ? 中, an ?1 ?

1 ? an 且 a1 ? 2 ,则数列 ?an ? 前 2015 项的积等于 1 ? an
3 3 3 , ) ,则 c ? 2 2

3



12.若 a, b, c 均为平面单位向量,且 a ? b ? c ? ( 标表示)

? 3 1? ? ?? 2 ,? 2 ? ? ? ?

. (用坐

?x ? y ? 3 ? 0 ? P c o s ? A O P 13. 已知 P ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,O 为坐标原点,A(3, 4) , 则O ?x ?1 ? 0 ?
11 . 5 14.记符号 min ?c1, c2 , , cn ? 表示集合 ?c1, c2 ,
的最大值是 列 ?an ? 满足 ai ? ai ?1

, cn ? 中最小的数.已知无穷项的正整数数

? i ? N ? ,令 b
?

k

? min?n | an ? k ? ,? k ? N? ? ,若 bk ? 2k ? 1 ,则数

列 ?an ? 前 100 项的和为 2550 . 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项 是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 二元一次方程组 ?

? a1 x ? b1 y ? c1 , 存在唯一解的必要非充分条件是 ?a2 x ? b2 y ? c2 a b A.系数行列式 D ? 0 B.比例式 1 ? 1 a2 b2
C.向量 ?

( D )

? a1 ? ? b1 ? ? , ? ? 不平行 ? a2 ? ? b2 ?

D. 直线 a1x ? b1 y ? c1 , a2 x ? b2 y ? c2 不平行

16.用符号 ? x ? 表示不小于 x 的最小整数,如 ?? ? ? 4 , ? ?1.2? ? ?1 .则方程 ? x ? ? x ?

1 在 2

(1,4) 上实数解的个数为
A.0
2

( D ) B.1 C.2 D.3

x ? y 2 ? 1 的左顶点.如果存在过点 M ? x0 ,0? , ? x0 ? 0? 的直线交椭圆 4 于 A、B 两点, 使得 S△ AOB ? 2S△AOP , 则 x0 的取值范围为 ( C )
17.已知 P 为椭圆 A. 1, 3 ?

?

?

B. ? 3, 2

?

?

C. ?1,2 ?

D. ?1, ?? ?

18.在圆锥 PO 中,已知高 PO =2,底面圆的半径为 1 ;根据圆锥曲线的定义,下列四个图 中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线,其中点 M 为所在母线的中点, O 为 底面圆的圆心, 对于下面四个命题, 正确的个数有 ( C ) ①圆的面积为

? ; 4

②椭圆的长轴长为 13 ; ③双曲线两渐近线的夹角为 arcsin

4 ; 5

④抛物线中焦点到;准线的距离为 A.1 个 B.2 个

5 . 5
C. 3 个 D.4 个

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 7 分. 如图,边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面与圆

B A C O D E

O 所在平面相交于 CD , CE 为圆 O 的直径,线段

CD 为圆 O 的弦, AE 垂直于圆 O 所在平面,且
AE ? 1 .
(1)求异面直线 CB 与 DE 所成角的大小;

CD (及其内部)绕 AE 所在直线旋转一周形成一几何体,求该几何体体积. (2)将 ?A
解:(1)因为 CB // DA , AE 垂直于圆 O 所在平面,所以 AE ? DE , 所以, ? ADE 为异面直线 CB 与 DE 所成的角 ?????????????????2 分 在 Rt ?AED 中, AE ? 1 , DA ? 2 ,所以 sin ?ADE ? 即异面直线 CB 与 DE 所成的角为

? .????????????????????5 分 6 (2)由题意知,将 ?ACD (及其内部)绕 AE 所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两
圆锥的体积之差. 因为异面直线 CB 与 DE 所成的角为

1 ? ,得 ?ADE ? , 2 6

? ? ,且 CB // DA ,所以 ?ADE ? ,????7 分 6 6

又因为 AE ? 1 ,所以,在 Rt ?AED 中, DE ? 3 , DA ? 2 ?????????9 分 因为 CE 为圆 O 的直径,所以 ?CDE ?

?
2

,在 Rt ?CDE 中,

CD ? DA ? 2 , DE ? 3 ,所以 CE ? 7 ????????????????10 分
所以该几何体的体积 V ?

1 1 4 ? ? CE 2 ? AE ? ? ? DE 2 ? AE ? ? ????????12 分 3 3 3

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 如图在半径为 5 cm 的圆形的材料中,要截出一个“十字形” ABCDEFGHIJKL ,其为 一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形. ( O 为圆心) (1)若要使截出的“十字形”的边长相等( DE ? CD ) (图 1 ),此时边长为多少? (2)若要使截出的“十字形”的面积为最大(图 2 ) ,此时 ?DOE 为多少?(用反三 角函数表示)

图(1)

图(2)

解: (1) 当 “十字形” 的边长相等时, 过 O 作 OM ? DE 交 DE 于 E , 作 CN ⊥ OM 交 OM 于 N .设该“十字形”的边长为 2 x ,则 DM ? x , OM ? 3x . 在 Rt ?OMD 中,由勾股定理得, x ? ?3x ? ? 25 ? x ?
2 2

5 ??????????5 分 2

所以,边长 2 x ? 5cm ???????????????????????????6 分 (2)过 O 作 OM ? DE 交 DE 于 E ,作 CN ⊥ OM 交 OM 于 N .设∠ DOM ? ? , 则 OM ? 5cos ? , DM ? 5sin ? .

? ON ? CN ? 5sin ? , NM ? 5cos ? ? 5sin ? .????????????????8 分
所以, “十字形”的面积为

S ? (2OM )2 ? 4( NM )2 ? 100cos2 ? ?100(cos? ? sin ? )2
1 2 5 ?? ? 或 tan ? ? ) ? 0 ? ? ? ? 2 5 2? ?

? 100(

5 1 sin(2? ? ? ) ? ) 2 2

( 其中 cos ? ?

?????????????10 分

所以,当 2? ? ? ?

?
2

时, S max ? 50 5 ? 1 cm2 ???????????????12 分

?

?

此时, ?DOE ? 2? ?

?
2

? arccos

? 1 2 5 或 ? arctan 2 2 5

???????????14 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 设函数 f ( x ) 对任意 x ? R ,都有 f (2 x) ? a ? f ( x) ,其中 a 为常数.当 x ? [1,2) 时,

f ( x) ? sin(

?
2

x) .

(1)设 a ? 0 , f ( x) 在 x ? [4,8) 时的解析式及其值域; (2)设 ? 1 ? a ? 0 ,求 f ( x) 在 x ? [1 , ? ?) 时的值域. 解: (1)当 x ? [4,8) 时,于是

x ? [1,2) ,又 f (2 x) ? af ( x) 4
2

所以 f ( x) ? af ( ) ? a f ( ) 即 f ( x) ? a sin(
2

? ? ? 0 ? f ( x) ? a2 即 f ( x) 在 x ? [4,8) 时的值域为 (0, a 2 ] ?6 分 2 8 (2)由于 [1 , ? ?) ? [1,2) ? [2,22 ) ? [22 ,23 ) ? ? ? [2n ,2n ?1 ) ? ?

x ? [4,8) ?

?

x 2

?

?x

x 4

?

8

x) ??????????????3 分

只研究函数 f ( x) 在 [2 n ,2 n?1 ) ( n ? N ) 值域即可??????????????7 分 对于 x ? [2 n ,2 n?1 ) ( n ? N ) 得 于是 f ( x) ? af ( ) ? a f (
2

x ? [1,2) 2n

x 2

所以 f ( x ) ? a sin(
n

?x
2 n ?1

x x ) ? ? ? an f ( n ) 2 2 2

)

x ? [2 n ,2 n?1 ) ( n ? N ) ???????????????9 分

?
2

2 因为 ? 1 ? a ? 0
2

?

?x
n ?1

? ? ? 0 ? sin(

?x
2 n ?1

) ?1

n n n?1 所以当 n 为偶数时, f ( x) 在 [2 ,2 ) ( n ? N ) 上单调减,值域为 (0, a ] ;

且 (0,1] ? (0, a ] ? (0, a ] ? ? ? (0, a ] ? ? ???????????????10 分
4 2k n n?1 n 当 n 为奇数时, f ( x) 在 [2 ,2 ) ( n ? N ) 上单调增,值域为 [a ,0)

且 [a,0) ? [a ,0) ? [a ,0) ? ? ? [a ,0) ? ? ???????????????12 分 所以 f ( x) 的值域为 [a,0) ? (0,1] ??????????????????????14 分
3 5

2 k ?1

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知在数列 {an } 中, a1 ? 1 . (1)设 an ?1 ? 2an ? 1 ( n ? N ) ,求数列 {an } 的通项公式; (2)若 an?1 ? ?
?

?an ? 1 当n为偶数时 ,求数列 {an } 的前 2 m 项和 S 2 m ; 2 a 当 n 奇数时 n ?

(3)当 an ?1 ?

1 时,是否存在一个常数 p ,使 a2n ? p ? a2n?1 对任意正整数 n 都 an ? 1

成立?如果存在,请求出 p 的值,并证明;如果不存在,请说明理由. 解: (1)由题意 an?1 ? 2an ? 1,令 an?1 ? x ? 2?an ? x ? ,比较得到 x ? 1 , 故有 an?1 ? 1 ? 2?an ? 1? ,所以数列 ?a n ? 1?是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,??2 分 因此 an ? 1 ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n ,所以 an ? 2 n ? 1 , n ? N ? 。?????????????4 分 (2)由题意可知 a2n?1 ? a2n ? 1, a2n ? 2a2n?1 ,所以 a2n?1 ? 2a2n?1 ? 1 ,
? 由 a1 ? 1 ,可得到 a2n?1 ? 1 ? 2 n , a2n?1 ? 2 n ? 1 , n ? N

所以 a2n?1 ? 1 ? 2(a2n?1 ? 1) ,所以数列 ?a2n?1 ? 1? 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列, 又因为 a2n?2 ? 2a2n?1 ? 2?a2n ? 1? ,所以 a2 n?2 ? 2a2 n ? 2 ??????????6 分 由 a 2 ? 2 ,同样可以求得 a2n ? 2 n?1 ? 2 , n ? N ?????????????8 分
?

所以 S 2m ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ?? ? a2m?1 ? a2m

? ?a1 ? a3 ? ? ? a2m?1 ? ? ?a2 ? a4 ? ? ? a2m ?

? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 m ? m ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 m?1 ? 2m ? (2 m?1 ? 2 ? m) ? (2 m?2 ? 4 ? 2m) ? 3 ? 2 m?1 ? 3m ? 6 ,即 S 2 m ? 3 ? 2 m?1 ? 3m ? 6 ???????????10 分 1 (3)因为 f ( x ) ? 在 ?0, ? ?? 上单调递减且 f ( x) ? 0 , x ?1 由 an?1 ? f (an ) , a1 ? 1 可知数列 ?an ? 中的各项均满足 0 ? an ? 1
由要证明不等式的结构可令 f ( x) ? x ,解得 x ? 故猜想: 0 ? a 2 n ?

?

? ?

?

5 ?1 , 2

5 ?1 ? a2 n?1 ? 1 ,??????????????????13 分 2
1 1 2 , a3 ? f ( ) ? , 2 2 3

下面用数学归纳法证明: 证明:(i)当 n ? 1 时, a 2 ? f (1) ? 所以 0 ? a 2 ?

5 ?1 ? a3 ? 1 ,命题成立; 2

(ii)假设 n ? k k ? N

?

?

?时,命题成立,即有 0 ? a
5 ?1 ) ? f (a2 k ?1 ) ? f (1) 2

2k

?

由于 f ( x) 在区间 ?0, ? ?? 上单调递减, 所以 f (0) ? f (a 2 k ) ? f ( 即0 ?

5 ?1 ? a2 k ?1 ? 1 , 2

1 5 ?1 ? a2k ?2 ? ? a 2 k ?1 ? 1 , 2 2

再次利用函数 f ( x) 在区间 ?0, ? ?? 上单调递减, 得到 f (0) ? f (a 2 k ? 2 ) ? f ( 即0 ?

5 ?1 ) ? f (a2 k ?1 ) ? f (1) , 2

1 5 ?1 ? a2k ?2 ? ? a 2 k ?3 ? 1 , 2 2 所以 n ? k ? 1 时命题也成立, 5 ?1 所以 0 ? a 2 n ? ? a2 n?1 ? 1 2 5 ?1 即存在常数 p ? ,使 a2n ? p ? a2n?1 对任意正整数 n 都成立。???????16 分 2
23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 如图,矩形 ABCD 中, AB ? 2, BC ? 4 ,以矩形 ABCD 的 中心为原点, 过矩形 ABCD 的中心平行于 BC 的直线为 x 轴, 建 立直角坐标系, (1)求到直线 AD、BC 的距离之积为 1 的动点 P 的轨迹; (2)若动点 P 到线段 CD 中点 N 的距离比到直线 AB 的距 离大 4,求动点 P 的轨迹方程,作出动点 P 的大致轨迹;

A 2 B 4

D

C

(3)若动点 P 到直线 AD、 BC 的距离之积是到直线 AB、CD 的距离之积的 a ? a ? 0? 倍,求动点 P 的轨迹方程,并指出是怎样的曲线. 解: (1)如图,设 P ( x, y ) ,则 y ? 1 ? y ? 1 ? 1. ???????2 分 化简得 y ? ? 2或y ? 0 . 故动点 P 的轨迹为三条平行线; ????????4 分 (2)
y

? x ? 2?

2

? y 2 ? x ? 2 ? 4. ??????6 分
-2 O x

y 2 ? 8 ? x ? 2 ? x ? 2 ? . ??????????8 分

0, ? y2 ? ? ?16 ? x ? 2 ? ,

? x ? ?2 ? , ? x ? ?2 ? .

作图如图,一条抛物线和一条射线。???????10 分 (3)设 P ( x, y ) ,则 y ? 1 ? y ? 1 ? a x ? 2 ? x ? 2 .
2 2 2 2 化简得 ? y ? 1 ? a x ? 4 ? ? ? y ? 1 ? a x ? 4 ? ? 0 ,

? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? 2 2 2 2 即 ax ? y ? 4a ? 1 或 ax ? y ? 4a ? 1 ? a ? 0? . ????????????13 分 1 当 a ? 时,两条相交直线和椭圆;???????????????????14 分 4 当 a ? 1 时,双曲线和圆;???????????????????????16 分 1 当 a ? 且 a ? 1 时,双曲线和椭圆。??????????????????18 分 4


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